资源简介

茂名市田家炳中学 2025-2026学年第二学期高二级 4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求。
1． 工具正加速渗透职场，但数据安全问题已成为职场人士对 工具产生担忧的重要原因
之一．某传媒数据中心随机调查 位职场人，经统计，毫不担忧、轻微担忧、一般担忧、
比较担忧、极度担忧的人数分别为 、 、 、 、 ，则这 个数据的 分位数是（ ）
A． B． C． D．
2．若平面 的一个法向量为 ，平面 平面 ，则平面 的法向量的坐标
可以是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，抛物线 的焦点到坐标原点的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
4．记等差数列 的前 n项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．3
6．已知等差数列 中， ，其前 项和为 ．等比数列 中，
．则满足 的 的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知正项等比数列 ，满足 ，若存在两项 ，使得
，则 的最小值为（ ）
试卷第 1页，共 3页
A． B．2 C．1 D．
8．若函数 的单调递减区间为 ，则 的值为（ ）
A．6 B．3 C．-3 D．-6
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项
中，至少有两个选项符合题目要求。全部选对得 6分，选对但不全得 3分。
9．下列选项正确的是（ ）
A． ，则
B． ，则
C． ，则
D． ，则
10．在数列 中，若 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 为等比数列
B． 的前 项和
C． 的通项公式为
D． 的最小值为
11．函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在区间 上是增函数
B． 是奇函数
C． 在区间 上的值域为
D．若方程 在 上有三个不同实根，则实数 的取值范围为
试卷第 1页，共 3页
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．若曲线 在点 处的切线斜率为 2，则点 的坐标是_______．
13．已知数列 的前 项和为 ， ，则 _____.
14．函数 的导数为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。
15．（本题 13分）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；（5分）
（2）讨论 的单调性．（8分）
16．（本题 15分）已知数列 的满足 ， .
（1）求数列 的通项公式.（6分）
（2）设数列 ，前 n项和为 ，求 .（9分）
17．（本题 15分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ，
， ， 为 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；（5分）
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.（10分）
试卷第 1页，共 3页
18．（本题 17分）设数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式；（9分）
（2）求数列 的前 n项和 .（8分）
19．（本题 17分）已知椭圆 ，椭圆 与 有公共焦点，点 在 上.
（1）求 的方程；（5分）
（2）过点 的直线与 相交于 两点， 为 的中点，求直线 的方程.（12
分）
试卷第 1页，共 3页
茂名市田家炳中学 2025-2026 学年第二学期高二级 4 月月考
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B C B C D B AB BC
题号 11
答案 BD
1．C
【分析】将数据由小到大进行排序，利用百分位数的定义求解即可.
【详解】将 个数据由小到大进行排序为： 、 、 、 、 ，
因为 ，故这 个数据的 分位数为 .
2．B
【分析】根据两平面垂直，则其法向量垂直，进而其数量积为 0，逐一验证即可.
【详解】设平面 的法向量为 ，因为平面 平面 ，所以 ，
因为 ，
，
，
.
所以平面 的法向量的坐标可以是 .
3．B
【分析】利用抛物线性质得出焦点 ，再根据坐标求两点之间的距离即可.
【详解】在平面直角坐标系中，抛物线 的焦点为 ，
点 到坐标原点 的距离为 .
故选：B.
4．C
【详解】由等差数列前 项和性质可得， ，
因为 ，所以 ，
再根据等差数列中项性质： ，
代入得 ，即 ，
答案第 1页，共 2页
又已知 ，设公差为 ，则 ，解得 ，
即等差数列 的通项公式 ，
所以 .
5．B
【分析】根据给定的递推关系，依次计算确定周期即可得解.
【详解】数列 中， ，由 ，得 ，
，
，因此数列 是周期数列，周期为 3，
所以 .
故选：B
6．C
【分析】借助等差数列及求和公式与等比数列定义可求出 与 ，再利用 为正整数计算即
可得.
【详解】等差数列 的公差 ，
则 ，
等比数列 的公比 ，即 ，
令 ，当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， 的增长远快于 ，故无解；
故符合题意的 的个数为 .
7．D
【分析】利用等比数列性质可求解数列的通项公式，然后把已知条件转化为 ，
再用 1的代换法来求最小值即可.
【详解】由等比数列性质可得： ，又因为正项等比数列 ，所以
，
又因为 ，所以 ，即公比 ，
答案第 1页，共 2页
所以正项等比数列 的通项公式为： ，
再由 ，可得
，
则 ，
当且仅当 取等号，
故选：D
8．B
【分析】先求出导函数，再根据减区间求 .
【详解】由题意得 ，
因为函数 的单调递减区间为 ，
所以 的解集为 ，
即方程 的两根为 ，
所以 ，解得 ，
故选:B.
9．AB
【分析】利用基本初等函数求导公示表可直接判断 ABC，易知 ，求得其
导函数直接代入计算即可知 D错误.
【详解】对于 A，由 ，得 ，A正确；
对于 B，由 ，得 ，B正确.
对于 C，由 ，得 ，C错误；
对于 D，由 可知 ，则 ，D错误
故选：AB
10．BC
【分析】由 可得 ，可得 是公差为 3的等差数列，然后利用等
差数列的通项公式和求和公式逐项进行分析即可.
【详解】因为 ，易知 ，所以 ，
答案第 1页，共 2页
所以 是首项为 ，公差为 3的等差数列，故 A错误；
由 A知， ，
所以 的前 n项和 ，故 B正确；
由 B可知 ，所以 ，故 C正确；
因为 ，故 的最小值不为 ，故 D错误.
故选：BC.
11．BD
【分析】利用求导来判断三次函数的单调区间，从而可判断 A,利用 的解析式
可判断 B，利用三次函数的单调性求值域可判断 C，利用函数零点个数可判断 D.
【详解】对于 A，由 ，
当 ，得 或 ，即 在
上单调递增，
当 ，得 ，即 在 上单调递减，
从而可得 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，故 A错误；
对于 B，由 ，
，所以 是奇
函数，故 B正确；
对于 C，由 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
且 ，
所以 在区间 上的值域为 ，故 C错误；
对于 D，由 在 上单调递增，在 上单调递
减，
且 ，当 ， ，当 ，
，
所以方程 在 上有三个不同实根，则实数 的取值范围为 ，故 D
正确；
答案第 1页，共 2页
故选：BD
12．
【分析】根据导数的几何意义求解.
【详解】由 得
设 ，则 ，解得 ，
又 ，所以点 的坐标为 ，
故答案为： .
13．30
【分析】根据已知通项公式写出 ，分组求和即可.
【详解】由题设
故答案为：30
14．
【分析】根据求导法则和复合函数的导数计算直接得出结果.
【详解】 ．
故答案为：
15．（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）将 代入，利用导数的几何意义求解即可；
（2）求导得 ，分 和 求解即可.
【详解】（1）当 时， ， ．
， ．
曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2） ．
当 时， ， 是增函数．
当 时，令 ，解得 ．
答案第 1页，共 2页
当 时， ；当 ， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
16．（1）
（2）
【分析】（1）构造数列 ，判断该数列为等比数列，结合等比数列的通项公式可求
数列 的通项公式.
（2）利用“错位相减求和法”可求数列 的前 项和.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又 ，
所以数列 是以 2为首项，2为公比的等比数列.
所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
故 ，
两式相减得： ，
所以 .
17．（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）根据线面垂直性质可知 ，再由线面垂直判定定理可证明 平面
，即可得平面 平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果.
【详解】（1）底面 为矩形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
答案第 1页，共 2页
又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
可知平面 平面 ；
（2）由（1）可知 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线
为 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
易知 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ，
可得 ，
所以；
因此直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18．（1）
（2）
【分析】（1）根据递推公式进行整理得到数列通项公式即可.
（2）通过对所需要的数列的通项公式进行裂项，运用裂项相消的方法求和即可.
【详解】（1）当 时， ，得 ．
当 时， ，
，
两式相减得 ，则 ．
当 时， 符合上式，
答案第 1页，共 2页
所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以 ，
故 ．
19．（1）
（2）
【分析】（1）设椭圆 的方程为 ，即可求出 、 ；
（2）设 ， ，利用点差法求出直线 的斜率，再由点斜式求出直
线方程.
【详解】（1）依题意设椭圆 的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）因为 ，所以点 在椭圆内，直线 与椭圆相交，
设 ， ，则 ，
所以 ，即 ，
又点 为 的中点，所以 ，
所以 ，则 ，
即 ，所以直线 的方程为 ，即 .
答案第 1页，共 2页

展开更多......

收起↑