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孝感高中 2023 级高三年级
数学试题
本卷满分 150分 考试时间：120分钟
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知全集 是小于 的素数 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知 ，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
3.将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若 为奇
函数，则 的最小值是( )
A. B. C. D.
4.已知点 ， ，若圆 上存在点 ，使得 ，则正数
的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线 的右焦点为 ，若 关于直线 的对称点 在 上，则双
曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
6.若不等式 对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知正项数列 的前 项和 满足 ，若 ，记
表示不超过 的最大整数，则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
孝感高中 2023级高三年级 数学试题 第 4页，共 4页
9.记 为数列 的前 项和，已知 ，则( )
A. 是数列 中的项
B. 数列 是公比为 的等比数列
C.
D. 若 ，则数列 的前 项和小于
10.在一个有限样本空间中，假设 ，且 与 相互独立， 与 互斥，则( )
A. B. C. D. 若 ，则 与
互斥
11.如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线 ：
的一部分，则( )
A. 点 在 上
B. 在 处 的切线，其与 的交点的横纵坐标均为整数
C. 若 在 轴上方的部分为函数 的图象，则 是 的极 小值点
D. 在 轴左边的部分到坐标原点 的距离均大于
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知随机变量 ，且 ，则 的展开式中常数项为 ．
13.设点 ， ， ，若动点 满足 ，且 ，则 的
最大值为 ．
14.已知函数 有零点，当 取最小值时， 的值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13分)已知点 ， ， 为坐标原点，函数 ．
求 的解析式及最小正周期；
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三角形 中，角 ， ， 所对的边分别 ， ， ， 为 的角平分线， ，
，若 ，求 的面积．
16. (本小题 15分)如图，圆柱 中， 是底面圆 上的一条直径， ， 分别是底面 ， 圆周上
的一点， ， ，且点 不与 ， 两点重合．
证明：平面 平面 ；
若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15分)甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题 难度系数较低的 类问题以及难度
系数较高的 类问题 供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题甲遇到每类问题的概率均为
甲遇到 类问题时回答正确的概率为 ，回答正确记 分，否则记 分 甲遇到 类问题时回答正确的概率为
，回答正确记 分，否则记 分总得分记为 分甲回答每个问题相互独立．
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当进行完 轮游戏时，求甲的总分 的分布列与数学期望；
设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为 分的概率为 ．
(ⅰ)证明： 为等比数列；
(ⅱ)求 的最大值以及对应 的值．
18.(本小题 17分)椭圆 的离心率为 ，右顶点为 ，设点 为坐标原点，点 为
椭圆 上异于左、右顶点的动点， 面积的最大值为 ．
求椭圆 的标准方程；
设直线 交 轴于点 ，其中 ，直线 交椭圆 于另一点 ，直线 和 分别交直线 于
点 和 ，若 、 、 、 四点共圆，求 的值．
19.(本小题 17分)已知函数 ．
当 时，求函数 在 上的最小值
已知 ， ，若函数 有三个零点 ， ， ，且 ．
(ⅰ)求 的取值范围
(ⅱ)证明： ．
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数学答案
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 是小于 的质数 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：由题知全集 是小于 的素数 ，
因为 ，所以 ．
2.已知 ，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：因为 ，
所以 ，所以 的虚部为 ．
3.将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若 为奇函
数，则 的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数 的图象，由题意， ，它是奇函数，
则 ， ， ，
又 ，则其最小值是当 时， ．
4.已知点 ， ，若圆 上存在点 ，使得 ，则正数
的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为 ，所以 在以 为直径的圆上，
又 ， ，故以 为直径的圆的方程为 ，
即 在圆 上，又 在圆 上，
所以两圆有交点 ，则 ，
又 为正数，解得 ，即正数 的取值范围是： ．
5.已知双曲线 的右焦点为 ，若 关于直线 的对称点 在 上，则双
曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：设右焦点 ，其中 ，
设 关于直线 的对称点为 ，
则线段 的中点 在直线 上，且直线 与直线 垂直，
直线 的斜率为 ，则直线 的斜率 ，即 ；
把中点 代入直线 ，可得： ，即 ，
联立 解得 ，可得： ，所以 点坐标为 ，
因为点 在双曲线 上，可得： ，
又因为 ，设双曲线的离心率 ，则 ，
上式可化为 ，解得 ．
6.若不等式 对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：设 ，
则 的几何意义是直线 上的点 与曲线 上的点 的距离，
将直线 平移到与曲线 相切时，切点 到直线 的距离最小．
，令 ，则 ， ，
故 即为 点到直线 的距离，
则 ，所以
7.已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
解：
设 ，易知 在 上单调递增，则 ，
，
由复合函数的单调性法则：同增异减，可得：
要使 在 上单调递增，只需 在 上也单调递增，
即 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
即 ，由于条件也是“ ”，
所以“ ”是“ 在 上单调递增”的充要条件．
8.已知正项数列 的前 项和 满足 ，若 ，记
表示不超过 的最大整数，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：当 时， ， ， ．
当 时，由 ，及 可得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
因此 ，
则 ．
，
又当 时， ，
，
对于 ， ，
，
．
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记 为数列 的前 项和，已知 ，则( )
A. 是数列 中的项
B.数列 是公比为 的等比数列
C.
D.若 ，则数列 的前 项和小于
【答案】ACD
【解析】解：选项 A 当 为奇数时，令 ，又 ，故 不存在；
当 为偶数时，令 ，则 ，解得 ，
所以 是数列 中的项， 选项正确；
选项 B 因为 ，那么 ，
所以数列 是公比为 的等比数列， 选项错误；
选项 C 由题意得， ， 选项正确；
选项 D 若 ，则 ，
所以 ，
则数列 的前 项和 ， 选项正确．
10.在一个有限样本空间中，假设 ，且 与 相互独立， 与 互斥，则( )
A.
B.
C.
D.若 ，则 与 互斥
【答案】BCD
解：对于 ，由于 与 相互独立， ，
故 ，故 A错
对于 ，由 ， ，
由条件概率公式 ， ，故 B对
对于 ，由 ，及 ，
得 ，故 C对：
对于 ，由 ，故 ，
而 ，即 ，
解得 ，即 ，故 B与 互斥，故 D对．
11.如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线 ：
的一部分，则( )
A.点 在 上
B.在 处 的切线，其与 的交点的横纵坐标均为整数
C.若 在 轴上方的部分为函数 的图象，则 是 的极 小值点
D. 在 轴左边的部分到坐标原点 的距离均大于
【答案】ACD
解：对于 ，将点 代入曲线方程中，得到 ，即 ，
所以点 在曲线 上，故 A正确
对于 ，对于在 轴上方的部分，函数 ，
则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
则 是 的极小值点，故 C正确
对于 ，点 在 轴上方，则由 ， ，
可知 ， ，
则以 为切点的切线方程为 ，即 ，
将切线方程代入曲线方程中，得到： ，即 ，
则 ，
解得： 或 ，故 B错误；
对于 ，设 的解为 ， ， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
， ，
，所以 ，
设曲线上的点为 ，设 的解为 ， ，
到原点 的距离为 ， ，
由 可得 ，
令 ，
，令 ，解得： ，
因为 ，所以取 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
， ，
所以当 时， ， ，故 D正确．
故选： ．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知随机变量 ，且 ，则 的展开式中常数项为 ．
【答案】
解：正态分布 的均值 ，其概率密度曲线关于直线 对称，
而 P(X＜0)＝P(X＞a)，由对称性可知 ，得
二项式 展开式的通项为： ，
令 ，解得 ，
所以常数项为 .
13.设点 ， ， ，若动点 满足 ，且 ，则 的
最大值为 ．
【答案】
解：设 ，
因为点 ， ， ，动点 满足 ，
所以 ，化简可得 ，
即为动点 的轨迹方程．
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得
所以 ．
由 ，得 ，
即 ， ，
当且仅当 时，等号成立．
所以当 时， 的最大值为 ．
14.已知函数 有零点，当 取最小值时， 的值为 ．
【答案】
解：设 的零点为 ，则 ，即 ，
设 为直线 上任意一点，
当 时， 最小， 最小，
坐标原点 到直线 的距离为 ，因为 到原点的距离
，
下面求 的最小值，令 ，
则 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
此时 ，
所以直线 的方程为 ，
即直线 的斜率为 ，
所以 ， 所以 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
已知点 ， ， 为坐标原点，函数 ．
求 的解析式及最小正周期；
三角形 中，角 ， ， 所对的边分别 ， ， ， 为 的角平分线， ， ，
若 ，求 的面积．
【答案】解： ， ，
， ，
，
；
，
，
，
或 ， 或 ，
，设 ，则 ，
又 ，由角平分线定理得： ， ，
当 时，由余弦定理得： ，解得： ，
；
当 时， ， ，
，
三角形 的面积为 或 ．
16. 本小题 分
如图，圆柱 中， 是底面圆 上的一条直径， ， 分别是底面 ， 圆周上的一点，
， ，且点 不与 ， 两点重合．
证明：平面 平面 ；
若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】解： 证明：因为 是底面圆 上的一条直径，
所以 ，
因为 底面圆 ， ，
所以 底面圆 ，
因为 底面圆 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；
因为 底面圆 ， 圆 ，
所以 ， ，
所以 为二面角 的平面角，
故 ，又 ，所以 为等边三角形，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
，设 ，故 ， ，
，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则
解得 ，令 ，得 ，故 ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17. 本小题 分
甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题 难度系数较低的 类问题以及难度系数较高的 类问
题 供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题甲遇到每类问题的概率均为 甲遇到 类问题时
回答正确的概率为 ，回答正确记 分，否则记 分 甲遇到 类问题时回答正确的概率为 ，回答正确记 分，
否则记 分总得分记为 分甲回答每个问题相互独立．
当进行完 轮游戏时，求甲的总分 的分布列与数学期望；
设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为 分的概率为 ．
(ⅰ)证明： 为等比数列；
(ⅱ)求 的最大值以及对应 的值．
【答案】解： 可以取 ， ， ， ， ．
每次回答 类问题且回答正确的概率为 ，
回答 类问题且回答不正确的概率为 ，
每次回答 类问题且回答正确的概率为 ，
回答 类问题且回答不正确的概率为 ，
，
，
，
，
，
的分布列为：
；
证明： ， ，
由题意得甲累计得分为 分的前一轮得分只能为 分或 分，
故当 时， ，
所以 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
(ⅱ)根据(ⅰ)可知，
，
当 时，易得 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ．
令 可得 ，
所以 ，
经检验 ， 时均满足上式，故 G ，
所以 ，
而 显然随着 的增大而减小，
故 G ，
又因为 ，
所以当 时， 取到最大值，为 ．
18. 本小题 分
椭圆 的离心率为 ，右顶点为 ，设点 为坐标原点，点 为椭圆 上异于左、
右顶点的动点， 面积的最大值为 ．
求椭圆 的标准方程；
设直线 交 轴于点 ，其中 ，直线 交椭圆 于另一点 ，直线 和 分别交直线 于点
和 ，若 、 、 、 四点共圆，求 的值．
【答案】解： 由题意，设椭圆半焦距为 ，
则 ，所以 ，所以 ，
设点 ， ，
因为 ，所以 的最大值为 ，
将 代入，得 ，则 ， ，
所以椭圆的标准方程为 ．
设点 ，直线 方程为 ，
与椭圆方程联立得 ，
，即 ，
则 ，
直线 的方程为 ，
令 ，则点 的纵坐标 ，
直线 的方程为 ，
令 ，则点 的纵坐标 ，
当 、 、 、 四点共圆时，则 ，即 ，
，
则 ，由 ，解得 ．
19. 本小题 分
已知函数 ．
当 时，求函数 在 上的最小值
已知 ， ，若函数 有三个零点 ， ， ，且 ．
(ⅰ)求 的取值范围
(ⅱ)证明： ．
【答案】解： 当 时， ，令 ，则
，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故函数 ，
所以 在 上单调递增，则 在 上的最小值为 ；
由 ， ，得 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， ，所以函数 在 上单调递增，此时至多有一个零点，不符合题意
当 时，令 得 ，
当 或 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，注意到 ，
当 时， ，所以 ， ，
又 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递
减，
故 H ，所以 ，因为 ，所以 ，且 ， ，
则 ，
，
所以 在 内恰有一个零点 即在 有一个零点 ，
在 内有一个零点，即 ，在 内有一个零点，
故 有三个零点，则 的取值范围为 ；
证明：解法一：由题意知 ，又注意到 ，
所以 ，即 ，
因为 是 的零点，所以 ，要证 ，
即证 ，即证 ，
令 ，即证 ，
则 ，令 ，则 ，令
，
则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，而 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，而 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，而 ，则 在 上恒成立，则原不等式成立；
解法二：由题意知 ，又注意到 ，
所以 ，即 ，
当 时，先证明不等式 恒成立，
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即当 时，不等式 恒成立，
由 ，可得 ，即 ，
两边同除以 得 ，又 ，所以 ，
所以 ．

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