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2025-2026学年九年级下学期三月学情调查数学试题 DE的长是（ ）
一．选择题（共 8小题，每小题 3分，计 24分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列各选项中，是无理数的是（ ）
A．3.14 B．0 C． D．﹣2025
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．6.5
7．如图，在菱形 ABCD中，∠A＝60°，E是 AB边上一动点（不与 A、B重合），且∠EDF＝
∠A，点 F在边 BC上．下列结论：①AE＝BF；②∠ADE＝∠BEF；③△DEF是等边三角形；
A． B． C． D． ④△BEF的周长与点 E的位置无关．其中正确的结论有（ ）
3．如图 1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如
图 2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知 AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，
∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
8．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0）．将二次函数的图象向右
平移 m（m＞0）个单位，图象经过点 ，在平移后的图象上，当 n﹣2≤x≤n+1时，
函数的最小值为﹣3，则 n的值是（ ）
A．150° B．155° C．130° D．80°
4．下列运算正确的是（ ） A． 或 B． 或 C．1 D．
A．a2 a3＝a6 B．a5+a5＝2a5
C．（﹣a2）3＝a6 D．（﹣ab2）5＝a5b10 二．填空题（共 5小题，每小题 3分，计 15分）
5．关于一次函数 y＝2x的图象，下列说法正确的是（ ） 9．因式分解：x2y﹣4y＝ ．
A．经过点（1，1） B．在第二、四象限 10．五角星是常见的美丽图案，我国国旗上就有五个五角星，五角星图案中包含着许多数学知
C．关于 x轴成轴对称 D．y随 x的增大而增大 识，标准的五角星每个顶角都是 36°．如图是活动课上同学们按如下步骤，沿虚线通过剪纸
6．如图，在 Rt△ABC中，CD是斜边 AB上的中线，CB＝5，CD＝6.5，DE⊥CB于点 E，则 剪出的一个五角星，要得到一个标准的五角星，∠α应为 度．
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三．解答题（共 13小题，共计 81分，解答题应写出过程）
14．（5分）计算： ．
15．（5分）解不等式组： ．
11．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演 16．（5分）先化简，再求值： ，其中 ．
变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图 1，图 1的轮廓是一个边长为 a的正方形，其 17．（5分）如图，在边长为 1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，用无刻度
中 a2＝8，小等腰直角三角板 M的面积为 ，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼 直尺作图．
（1）画△A'B'C'，使它与△ABC关于直线 l对称；
成一个新的图形，其轮廓和 M板的位置如图 2所示，则图 2的面积为 ．
（2）在直线 l上作点 P，使 AP+CP的值最小；
（3）在直线 l上找一点 Q，使点 Q到 AB、BC两边的距离相等．
18．（5分）如图，∠A＝∠D，点 E，F在 BC上，AF∥DE，且 BE＝CF．判断 AB与 CD的数
12．我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 与
量关系和位置关系，并证明．
直线 y＝3x交于第一象限内的点 A，点 P在射线 OA上，分别过点 P作 x轴、y轴的垂线，交
双曲线 于点 B、C，将线段 PB、PC和函数 的图象在 B、C之间的
部分围成的区域（不含边界）记为区域 W．如果区域 W内恰有 8个整点，那么点 P的横坐
标 x的取值范围是 ．
13．如图，AB是⊙O的弦，D为半径 OA的中点，过 D作 CD⊥OA交弦 AB于点 E，且 CE＝CB，
若 BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 ． 19．（5分）某公司销售 A、B两种设备，第一季度共卖出 2000台，第二季度卖出 A种设备的数
量比第一季度多 6%，卖出 B种设备的数量比第一季度多 5%，两种设备的总销售量增加了
110台，第一季度两种设备各卖了多少台？
20．（5分）广州的白云山、越秀山、莲花山和大夫山被誉为广州四大名山，不仅风景秀美而且
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有丰厚的历史底蕴，是广州市民喜欢游玩之地．小明、小丽两家人决定周末去游玩，并用抽 23．（7分）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调
卡片的方式从白云山、越秀山、莲花山和大夫山（分别记为 A、B、C、D）选出一个景点．他 查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各 7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），
们准备了 4张不透明的卡片，正面分别写上 A、B、C和 D．卡片除正面字母不同外其余均相 并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
同．
（1）小明随机抽取一张卡片，则抽取到 A卡片的概率是 ；
（2）小明随机抽取一张卡片后，放回洗匀，小丽再随机抽取一张卡片，请用列或画树状图
的方法求他们都抽取到同一地点的概率．
21．（6分）如图，在综合实践课上，李玲要测量一棵与地面垂直的大树 AB的高度，她从大树
底部点 B处水平前进 12m到达斜坡 CD的底部点 C处，然后沿斜坡 CD前行 6m到达最佳测
甲、乙两种西瓜得分表
量点 D处，在点 D处测得树顶 A的仰角为 30°，DE⊥AB于点 E，已知斜坡的坡角为 45°，
序号 1 2 3 4 5 6 7
且点 A，B，C，D，E在同一平面内，求大树 AB的高度．（参考数据： 1.41，
甲种西瓜（分） 75 85 86 88 90 96 96
， 2.45） 乙种西瓜（分） 80 83 87 90 90 92 94
甲、乙两种西瓜得分统计表
平均数 中位数 众数
甲种西瓜 a b 96
乙种西瓜 88 90 c
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
22．（7分）为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、读好书、好读书，学校决定购买若干甲、
（2）从离散程度看， 种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表
为 3000元和 2500元，学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共 60台．
中的信息分别写出他们的理由．
（1）若恰好支出 170000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？ 24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点 D为⊙O上一点，连接 AD并延长至点 C，使∠DBC
（2）若购买乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的 2倍，问甲、乙两种品牌的平板电脑各购
＝∠DAB，过点 D作 AB的垂线，交⊙O于点 E，点 F为劣弧 AE上一点，连接 EF并延长交
买多少台时花费最少？最少花费是多少元？ BA的延长线于点 P，连接 DF与 AB交于点 G．
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（1）求证：BC是⊙O的切线； ，BF相交于点 P，∠D＝∠EPF．求证： ．
（2）若⊙O的半径为 1，设 ，试求 y关于 x的函数解析式． 小明发现，以 A为圆心，AB长为半径画弧，交 BC于点 Q，连结 AQ．通过等腰三角形和平
行四边形的性质可证明△AQE∽△BCF．再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下
面是小明的部分证明过程：
证明：如图③，以 A为圆心，AB长为半径画弧，交 BC于点 Q，连结 AQ．
∵AB＝AQ，
∴∠ABC＝∠AQB．
∵四边形 ABCD是平行四边形，
25．（8分）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 OE表示水平的路面，以
∴∠ABC＝∠D．
O为坐标原点，以 OE所在的直线为 x轴，以过点 O作垂直于 x轴的直线为 y轴，建立平面
∵∠ABC+∠C＝180°，∠D+∠C＝180°，
直角坐标系．根据设计要求 OE＝12m，该抛物线的顶点 P到 OE的距离为 9m．
∴∠AQB+∠C＝180°．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数解析式；
∵∠AQB+∠AQE＝180°，
（2）现需在这一隧道内壁的同样高度的 A、B处安装上照明灯，如图所示，若要求 A、B两
∴∠AQE＝∠C．
个照明灯之间的水平距离为 8m，求出此时 A、B两个照明灯距离地面的高度．
请你补全余下的证明过程．
【拓展迁移】如图④，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝5，CD＝4，点 E在边
BC上，F为 CD的中点，连结 AE，BF相交于点 P．若∠D＝∠EPF＝60°，则 AE的长
为 ．
26．（10分）【综合与实践】如图①，在矩形 ABCD中，AB＝3，AD＝5，点 E，F分别在边 BC，
CD上，连结 AE，BF相交于点 P，AE⊥BF．若 BE＝1，则 CF＝ ；
【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题：
如图②，在平行四边形 ABCD中，AB＝3，AD＝5，点 E，F分别在边 BC，CD上，连结 AE
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参考答案 ，
一．选择题
将 代入得 ．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 17．解：（1）与△ABC关于直线 l对称的△A′B′C′，如图 1即为所求；
答案 C B C B D C C A
二．填空题
9．y（x+2）（x﹣2）．
10．54．
；
11．7．
（2）如图 2，点 P即为所求；
12．2＜x ．
13．2 ．
三．解答题
；
14．解：原式＝3﹣2 2 （3）到 AB、BC两边的距离相等的点 Q，如图 3即为所求．
＝5﹣2 2
＝5．
15．解：由 2x+1＞3得：x＞1，
由 4x﹣1＜7得：x＜2，
则不等式组的解集为 1＜x＜2．
．
16．解：
18．解：AB＝CD，AB∥CD，
证明：∵点 E，F在 BC上，且 BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
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∴BF＝CE， 所以小明与小丽抽到同一地点的概率 ．
∵AF∥DE，
21．解：由题意可知：BC＝12m，CD＝6m，∠ADE＝30°，
∴∠AFC＝∠DEB，
如图：过点 D作 DF⊥BC，垂足为 F，连接 AC，
∴180°﹣∠AFC＝180°﹣∠DEB，
∴∠AFB＝∠DEC，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∵斜坡的坡角为 45°，
∴AB＝CD，∠B＝∠C，
∴AB∥CD． ∴CF＝DF CD 6＝3 （m），
19．解：设第一季度 A种设备卖了 x台，B种设备卖了 y台，则第二季度 A种设备多卖了 6%x ∵DE⊥AB，
台，B种设备多卖了 5%y台， ∴∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴四边形 BEDF是矩形，
根据题意得： ，
∴BE＝DF＝3 （m），DE＝BF＝BC+CF＝（12+3 ）m，
解得： ．
∵∠ADE＝30°，
答：第一季度 A种设备卖了 1000台，B种设备卖了 1000台．
∴AE＝DE tan30°＝（12+3 ） （4 ）m，
20．解：（1）小明抽到 A卡片的概率是 ；
（2）画树状图为： ∴AB＝AE+BE＝4 3 4×1.73+2.45+3×1.41＝13.6（m），
∴大树 AB的高度为 13.6m．
22．解：（1）设甲种品牌的电脑购买了 x台，乙种品牌的电脑购买了 y台．
则 ，
解得 ，
共有 16种等可能的结果数，其中小明与小丽抽到同一卡片的结果数为 4，
答：甲种品牌的电脑购买了 40台，乙种品牌的电脑购买了 20台；
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（2）设甲种品牌的电脑购买了 m台，乙种品牌的电脑购买了（60﹣m）台， ∴∠ADB＝90°，
由题，60﹣m≤2m， ∴∠DAB+∠ABD＝90°，
解得 m≥20； ∵∠DBC＝∠DAB，
设费用为 w，则 w＝3000m+2500（60﹣m）＝500m+150000， ∴∠ABD+∠DBC＝90°，
∵500＞0， ∴∠ABC＝90°，
∴w随 m的增大而增大， 又∵AB是⊙O的直径，
∴当 m＝20时，w最少，此时 w＝500m+150000＝160000， ∴BC是⊙O的切线；
∴甲种品牌的电脑购买 20台，乙种品牌的电脑购买 40台最省钱，最少费用为 160000元． （2）解：如图，连接 OD，OE，AE，BF，
23．解：（1）a 88，
将甲种西瓜得分重新排列为：75，85，86，88，90，96，96，
其中位数 b＝88，
乙种西瓜得分的众数 c＝90，
故答案为：88，88，90；
∵∠PEA＝∠PBF，∠P＝∠P，
（2）∵s 2甲 [（75﹣88）2+（85﹣88）2+（86﹣88）2+（88﹣88）2+（90﹣88）2+（96﹣88） ∴△PAE∽△PFB，
2+（96﹣88）2] ， ∴ ，
s 2乙 [（80﹣88）2+（83﹣88）2+（87﹣88）2+（90﹣88）2+（90﹣88）2+（92﹣88） ∴PE PF＝PA PB，
2 2 ∵DE⊥AB，且 AB为⊙O的直径，+（94﹣88） ]＝21.4，
s 2＞s 2， ∴ ，甲 乙
∴乙种西瓜的得分较稳定， ∵ ，
故答案为：乙；
∴∠BOE＝∠DFE，
（3）甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．
∵∠PFG+∠DFE＝180°，∠POE+∠BOE＝180°，
乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高．
∴∠POE＝∠PFG，
24．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∵∠P＝∠P，
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∴△PEO∽△PGF， 则 BF＝AF＝4，
∴ ， ∴AQ＝FQ﹣AF＝2，BQ＝QF+BF＝10，
∴A点的横坐标为 2，B点的横坐标为 10，
∴PE PF＝PO PG，
∴PA PB＝PO PG， 令 x＝2，代入抛物线的解析式 ，
设 AG＝m，则 PG＝x+m， 得 y＝5，
∴x（x+2）＝（x+1）（x+m）， ∴此时 A、B两个照明灯距离地面的高度为 5m．
∴ ， 26．【综合与实践】解：∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF＝90°．
∴ ．
在矩形 ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝AD＝5，
25．解：（1）∵OE＝12m，该抛物线的顶点 P到 OE的距离为 9m，
∴∠CBF+∠ABF＝90°，
∴抛物线的顶点 P（6，9），
2 ∴∠BAE＝∠CBF，∴可设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣6） +9，
∵∠ABE＝∠C＝90°，
把（0，0）代入，得 ，
∴Rt△ABE∽Rt△BCF，
∴抛物线的解析式为 ；
∴ ，
（2）∵A、B距离地面的高度相同，
∵BE＝1，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称．
∴CF ．
如图，过点 B作 y轴的垂线 BQ，交 y轴于点 Q，交抛物线的对称轴于点 F，则 BF经过点 A
． 故答案为： ；
【类比探究】证明：以 A为圆心，AB长为半径画弧，交 BC于点 Q，连结 AQ，如图，
则 AB＝AQ，
由（1）知，抛物线的对称轴为 x＝6，则 FQ＝6． ∴∠ABC＝∠AQB．
∵AB＝8， ∵四边形 ABCD是平行四边形，
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∴∠ABC＝∠D．
∴GD CD＝2，CG CD＝2 ，
∵∠ABC+∠C＝180°，∠D+∠C＝180°，
∵AD∥BC，CG⊥AD，BH⊥AD，
∴∠AQB+∠C＝180°．
∴四边形 BCGH为矩形，
∵∠AQB+∠AQE＝180°，
∴GH＝BC＝5，BH＝CG＝2 ，
∴∠AQE＝∠C．
∴AH＝AD﹣GD﹣GH＝1，
∵四边形 ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC， ∴AB ．
∴∠D+∠C＝180°， ∵F为 CD的中点，
∵∠EPF＝∠D， ∴CF＝DF＝2，
∴∠EPF+∠C＝180°． ∵AD∥BC，
∵∠EPF+∠PEC+∠C+∠CFP＝360°， ∴∠FBM＝∠Q，∠FCM＝∠D＝60°，
∴∠PEC+∠CFP＝180°，
∴CM CF＝1，FM CF ，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴BM＝BC+CM＝6，
∴∠PEB＝∠CFP．
∴BF ．
∴△AQE∽△BCF，
在△BFC和△QFD中，
∴ ．
∵AB＝AQ， ，
∴ ； ∴△BFC≌△QFD（AAS），
【拓展迁移】解：过点 C作 CG⊥AD于点 G，过点 BH⊥AD于点 H，过点 F作 FM⊥BC交 ∴BF＝QF ，BC＝DQ＝5，
BC的延长线于点 M，延长 BF，交 AD的延长线于点 Q，如图，
∴AQ＝AD+DQ＝13
∵∠D＝∠EPF，
∴∠QDF＝∠QPA．
∵∠Q＝∠Q，
∵∠D＝60°，CG⊥AD， ∴△QDF∽△QPA，
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∴ ，
∴ ，
∴QP ，
∴BP＝BQ﹣QP＝2QF﹣PQ ，
∵AD∥BC，
∴△BPE∽△QPA，
∴ ，
∴BE ．
过点 A作 AN⊥CB，交 CB的延长线于点 N，则四边形 ANBH为矩形，
∴BN＝AH＝1，AN﹣BH＝2 ，
∴EN＝BN+BE ，
∴AE ．
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