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2025-2026 2学年高三下学期 3月份学情评估检测数学试题 6．已知抛物线 C：y ＝2px（p＞0）的焦点为 F，准线为直线 l，横坐标为 3的点 P在抛物线 C
上，过点 P作 l的垂线，垂足为 Q，若|FQ|＝|PQ|，则 P等于（ ）
注意事项：
A．1 B．2 C．3 D．4
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题
卡上填写清楚. 7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1、F2，经过 F1且斜率为 的直线
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， l与 C交于 A、B两点（A在 B上方），F2在 l上的射影点恰为 AF1的中点，则 C的离心率为：
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. （ ）
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟. A． B． C． D．
8．已知圆 C ：（x﹣1）2+（y﹣2）21 ＝1，圆 ，M，N分别是圆 C1，
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项
C2上两个动点，P是 x轴上动点，则 PN﹣PM的最大值是（ ）
中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则（ RA）∩B＝（ ） A． B． C． D．
A．{﹣2} B．{﹣2，2} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣2，﹣1，2}
2．若复数（2﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第四象限，则实数 a的取值范围是（ ） 二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个
A． B． 选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，
有选错的得 0分）
C．（2，+∞） D．
9．为了解 2025年贵州省青少年科普知识挑战赛，现将 1000名学生科普竞赛成绩（满分 100分，
3．在△ABC中， ， 2 ，则 （ ） 成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，A学校 1200名学生的成绩近似服从正
态分布 N（90，σ2），且成绩低于 70分的占 0.1，则成绩在（90，110]分的有多少人（ ）
A．240 B．360 C．480 D．600
5．已知双曲线 C： 的一条渐近线方程为 ，则 m＝（ ）
A．1 B．2 C．8 D．16
A．a的值为 0.005 13．已知函数 f（x）＝x2﹣x，对抛物线 C：y＝f（x）持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
B．估计这组数据的众数为 75 在点（2，f（2））处作 C的切线，交 x轴于（x1，0）；
C．估计成绩低于 60分的有 250人 在点（x1，f（x1））处作 C的切线，交 x轴于（x2，0）；
D．估计这组数据的第 85百分位数为 85 在点（x2，f（x2））处作 C的切线，交 x轴于（x3，0）；
10．已知函数 f（x）＝xa﹣logbx（a＞0，b＞0且 b≠1），下列说法正确的是（ ） …
A．当 0＜b＜1时，f（x）可能存在两个零点 由此能得到一个数列{xn}，称{xn}为“牛顿数列”，则 x1的值为 ；若
B．若 f（x）≥1恒成立，则 a+lnb≥2 ，则 的最大值为 ．
C．若 f（x）≥1恒成立，则 ab的最小值为 e
14．设 x∈R，用[x]表示不超过 x的最大整数，则 y＝[x]称为高斯函数．下列关于高斯函数的说法
D．若 f（x）≥1恒成立，且 f（x1）＝f（x2）（x1＜x2），则 0＜x1x2＜1
正确的有 ．
11．将边长为 2的正方形 ABCD（图 1）沿对角线 BD折成直二面角 A﹣BD﹣C（图 2），则（ ）
①[﹣x]＝﹣[x]；
②x﹣1＜[x]≤x；
③任意 x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y]；
④任意 x≥0，y≥0，[xy]≤[x][y]．
四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
A．AB∥CD
15．（13分）设数列{a
B AC BD n
}满足 an+1＝3an﹣2an﹣1（n≥2），a1＝1，a2＝2．
． ⊥
（1）求数列{an}的通项公式；C．直线 AD与 BC所成角为 45°
（2）在数列{an}的任意 ak与 ak+1项之间，都插入 k（k∈N*）个相同的数（﹣1）kk，组成数
D．点 D到平面 ABC的距离是
列{bn}，记数列{bn}的前 n项的和为 Tn，求 T27的值．
16．（15分）在数字化校园建设中，某学校引入“智慧阅读”积分体系，学生阅读书籍获得的积
三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
分满足特殊函数规律，定义这类函数为“阅读积分函数”．具体定义如下：对于定义域为 R的
12． 已 知 ， 则 a0+a1+2a2+3a3+… +10a10＝ 函数 f（x），若对任意实数 x1，x2，都有 f（x1+x2）+f（x1﹣x2）＝2f（x1）+2f（x2）﹣4，则称
． f（x）为“阅读积分函数”．已知某学生的“阅读积分函数”f（x）＝x2+bx+c．
（1）求 f（x）的解析式． 合计 45
（2）若函数φ（x）在定义域 D上先单调递减再单调递增或先单调递增再单调递减，则称φ（x （1）完成 2×2列联表，并根据小概率值α＝0.005，判断我市市民对本次龙舟赛喜爱程度是否
）是 D上的“单峰函数”．已知函数 g（x）＝f（x）﹣kx+1（k∈R）是[﹣2，3]上的“单峰函数”， 与性别有关；
求 k的取值范围． （2）已知在地方组 500米直道赛比赛中，闯入决赛的有 4支市区代表队：浔阳区，经开区、
（ 3）设函数 ，若对任意 x1， x2∈（ 0， +∞），且 x1≠ x2，都有 漉溪区、八里湖新区和 4支县区代表队：共青城市、武宁县、湖口县、修水县．假设决赛中各
支队伍的实力相当，设随机变量 X表示决赛后前 3名中市区代表队的队数，求 X的分布列及
，求 m的最大值．
数学期望．
17．（15分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，已知底面 ABCD为矩形，侧面 PAD是正三角形，侧
面 PAD⊥底面 ABCD，M是棱 PD的中点，AD＝2． 附： ，其中 n＝a+b+c+d．
（1）证明：AM⊥平面 PCD； α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
（2）若二面角 M﹣BC﹣D为 ，求异面直线 AB与 PC所成角的正切值． x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（17分）已知函数 f（x）＝ex﹣ax+m（a，m∈R）．
（1）求函数 f（x）的单调区间．
（2）定义：若函数 f（x）满足对于任意的实数 k，b，直线 y＝kx+b与函数 y＝exf（x）+
kx+b的图象总相切，则称函数 f（x）具有性质 TX．
（i）证明：当 m＝0时，“a＝e”是“函数 f（x）具有性质 TX“的充要条件；
18．（17分）九江银行 “庐山杯”长江经济带龙舟邀请赛在九江市得阳区南门湖隆重举行，本次
（ⅱ）若函数 f（x）具有性质 TX，记 m＝g（a），试判断 g（a）是否具有性质 TX．
赛事共邀请了来自长江经济带 11个沿江省市、江西省 11个地市和九江市 16个县（市、区）共
计 37支代表队参赛，赛后，某网络直播平台对我市市民发起了本次龙舟赛喜爱程度的调查，现
随机抽取 100份进行调查统计，得到如表联表．
喜爱 不喜爱 合计
男 20 60
女 15 40
参考答案 所以当 n≥2，n∈N
*时， ，又 a1＝1也满足该关系，
一．选择题 所以数列{an}的通项公式为 ；
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）数列{bn}中在 ak+1之前共有 项，
答案 D C C C B B C A
当 k＝5时， ，
当 k＝6时， ，
二．多选题
题号 9 10 11 ∴ （﹣1
2+22﹣32+42﹣52+62）
答案 ABC BCD BD 26﹣1+21＝84．
三．填空题 16．解：（1）由“阅读积分函数”知，对任意实数 x1，x2，都有 f（x1+x2）+f（x1﹣x2）＝2f（x1）
12．21． +2f（x2）﹣4，
13． ； ． 将 f（x）＝x2+bx+c代入“阅读积分函数”的定义式 f（x1+x2）+f（x1﹣x2）＝2f（x1）+2f（x2
14 ）﹣4，．②③．
得（x +x 2 21 2） +b（x1+x2）+c+（x1﹣x2） +b（x1﹣x2）+c＝2（ ）+2b（x1+x2）+4c﹣4，
5 77 化简，整理得 2bx2+2c﹣4＝0，四．解答题（共 小题，满分 分）
15 1 a 3a 2a n 2 因该等式对任意实数 x2恒成立，故 2b＝0且 2c﹣4＝0，解得 b＝0，c＝2，．解：（ ）因为 n+1＝ n﹣ n﹣1（ ≥ ），
a a 2a 2a a 1 a 2 故 f（x）＝x
2+2；
所以 n+1﹣ n＝ n﹣ n﹣1，又 1＝ ， 2＝ ，
所以数列{an+1﹣an}为首项为 1
2
，公比为 2的等比数列， （2）g（x）＝f（x）﹣kx+1＝x ﹣kx+3是开口向上的二次函数，对称轴为 ．
所以 ， “单峰函数”要求 g（x）在[﹣2，3]上先减后增（开口向上无法先增后减），
n 2 n∈N* 因此对称轴需落在区间（﹣2，3）内，即 ，解得﹣4＜k＜6．所以当 ≥ ， 时， ，
故 k的取值范围是（﹣4，6）；
所以 ，
（3）由 f（x）＝x2+2 （2）如图，，得 ．
任取 x1，x2∈（0，+∞），且 x1＞x2＞0，则：
在平面 PAD内，过点 M作 MH⊥AD，垂足为 H，显然 ，
由侧面 PAD⊥底面 ABCD，交线为 AD，得 MH⊥底面 ABCD，BC 底面 ABCD，
则 BC⊥MH，过 H作 HN⊥BC，垂足为 N，连接 MN，显然 MH∩HN＝H，
．
MH，HN 平面 MNH，则 BC⊥平面 MNH，而 MN 平面 MNH，
由于 x1＞x2＞0，
因此 BC⊥MN，
故：x1﹣x2＞0，x1x2+x1+x2＞0，（x1+1）（x2+1）＞0，
则∠MNH即为二面角 M﹣BC﹣D的平面角，其大小为 ，
因此 h（x1）﹣h（x2）＞0，即 h（x）在（0，+∞）上单调递增．
在 Rt△MHN中， ，则 ，
由 h（x）单调递增，对任意 ．
由 NH∥CD，DH∥CN，得四边形 CDHN为平行四边形，则 ，
，
由 AB∥CD，得∠PCD（或其补角）为异面直线 AB与 PC所成角，
当 x1，x2→0时，分子 x1x2+x1+x2→0，分母（x1+1）（x2+1）→1，故该比值趋近于 0．
由（1）知 CD⊥平面 PAD，则△PCD为直角三角形， ，
因此， 的下界为 0，故 m的最大值为 0．
所以异面直线 AB与 PC所成角的正切值为 ．
17．解：（1）在四棱锥 P﹣ABCD中，由底面 ABCD为矩形，得 CD⊥AD， 18．解：（1）2×2列联表补充如下：
由侧面 PAD⊥底面 ABCD，侧面 PAD∩底面 ABCD＝AD，CD 平面 ABCD， 喜爱 不喜爱 合计
得 CD⊥平面 PAD，又 AM 平面 PAD，则 CD⊥AM， 男 40 20 60
又侧面 PAD是正三角形，M是 PD的中点，则 PD⊥AM，
女 15 25 40
又 PD∩CD＝D，PD，CD 平面 PCD，
合计 55 45 100
所以 AM⊥平面 PCD．
2 x8.249 7.879 当 m＝0，a＝e时，f（x）＝e ﹣ex，f′（x）＝e
x﹣e，
易知χ ＞ ，
所以可判断该市市民对本次龙舟赛喜爱程度是与性别有关；
显然存在 x0＝1，使得 成立，
（2）易知 X的所有可能取值为 0，1，2，3，
所以函数 f（x）具有性质 TX，所以充分性成立．
所以 ， ，
， ， 因为函数 f（x）具有性质 TX，所以存在 x0使得 ，即 ，
则 X的分布列如下： 得 a（x0﹣1）＝0，得 a＝0或 x0＝1，
X 0 1 2 3 当 a＝0时，方程组无解，不合题意，
P 所以 x0＝1，所以 ，所以必要性成立．
所以当 m＝0时，“a＝e”是“函数 f（x）具有性质 TX”的充要条件．
故 ． （ⅱ）根据 f（x）具有性质 TX，
即有函数 f（x）满足对于任意的实数 k，b，
19．解：（1）因为 f（x）＝ex﹣ax+m（a，m∈R），所以 f（x）的定义域为 R，f′（x）＝ex﹣a． 直线 y＝kx+b与函数 y＝exf（x）+kx+b的图象总相切，
当 a≤0时，f′（x）＞0，所以函数 f（x）在 R上单调递增．
当 a＞0时，由 f′（x）＞0得 x＞lna，所以函数 f（x）在（lna，+ 可得存在 x 使得 ，即 ．∞）上单调递增； 0
由 f′（x）＜0得 x＜lna，所以函数 f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减． 由 ，得 a＞0，且 x0＝lna，
综上所述，当 a≤0时，函数 f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间；当 a 所以 ，即 g（a）＝﹣a+alna（a＞0）．
＞0时，函数 f（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lna）． g′（a）＝lna，易知 g′（1）＝0，而 g（1）＝﹣1≠0，所以 g（a）不具有性质 TX
（2）（ⅰ）设出切点坐标，根据新定义：若函数 f（x）满足对于任意的实数 k，b，直线 y＝kx
+b与函数 y＝exf（x）+kx+b的图象总相切，则称函数 f（x）具有性质 TX，
列方程可得 f（x0）＝0，f′（x0）＝0，
设直线 y＝kx+b与函数 y＝exf（x）+kx+b的图象的切点为（x0，y0），
若函数 f（x）具有性质 TX，则 ，得 ．

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