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2026学年八年级数学下学期第一次月考测试卷（1-2章）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知一元二次方程有一个根为，则k的值为（　　）
A．1 B．3 C． D．
6．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．估计的值应在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
9．天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法：
①化简：，一共有4种不同的形式；
②化简：，一共有4种不同的结果；
③若（n为正整数），则当时，．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．计算：___________．
12．方程的解是______．
13．若最简二次根式与是同类二次根式，则_____．
14．若一元二次方程的两个根为，则的值是_____________．
15．学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________．
16．阅读下列材料：
当为实数时，求的最大值．设，将其化为关于的一元二次方程，得．因为为实数，就是这个方程有实数根，所以，得，即的最大值为，则为实数时，的最小值是______．

三、解答题（本题共8小题，共72分．）
17．（8分）计算
(1) (2)
18．（8分）解方程：
(1) (2)
19．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取满足条件的最大整数值时，求方程的根．
20．（8分）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下：
解：．
，，，．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小．
21．（10分）《疯狂动物城2》于2025年11月26日上映．某影院抓住商机，购买了一批卡通玩偶，每个成本为24元，当售价定为每个36元时，平均每天售出60个．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出10个．
根据以上信息，解决问题：
(1)每个玩偶降价______元时，影院每天销量可达到100个；
(2)影院当天想获得650元利润，则每个玩偶应降价多少元．
22．（10分）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
23．（10分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
(1)利用材料1解决下面的问题：
当时，求这个三角形的面积：
(2)利用材料2解决下面的问题：
已知三条边的长度分别是，记的周长为．
①当时，请直接写出中最长边的长度________；
②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
24．（10分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求多项式的最小值．
解：．因为，所以，
因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
(1)【理解探究】
已知代数式，则的最小值为_____；
(2)【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；
(3)【拓展应用】
如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？
参考答案
一、选择题
1．D
解：由题意得，，
解得．
故选：D．
2．D
解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D、是最简二次根式，该选项符合题意；
故选：D．
3．B
解：∵
移项得，
配方：两边加1（一次项系数2的一半的平方），得
即
故选B．
4．D
解：A、与不是同类二次根式，无法合并，不符合题意；
B、54，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意，
故选：D．
5．B
解：根据题意，将代入中，有：，
解得：，
故选：B．
6．B
解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则11月营业额为万元，12月营业额为万元，
∵按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，
∴，
故选：B．
7．B
解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得，
故选：B．
8．C
解：，
∵，
∴，
∴，
∴估计的值应在5到6之间．
故选：C．
9．C
解：设草坪带的宽度为米，
由题意得，
故选：C．
10．B
解：① ∵，，，
∴，
由于a和b符号组合，有4种结果：，
故①正确；
② ∵要求，即，
∴原式，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
结果有3种不同结果，故②错误；
③ ∵，
∴，
当时，均为负，均为正，
，
当时，，
故③错误；
综上，①正确；
故选B．
二、填空题
11．
解：．
12．
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
13．6
解：∵最简二次根式与 是同类二次根式，
∴，解得，
故答案为：6．
14．10
解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，，
∴，
故答案为：10．
15．
解：设有x支球队，每两队之间比赛一场，则总比赛场数为，
根据题意，总场数为场，所以方程为．
故答案为：．
16．
解：设，
将化为关于的一元二次方程．
关于的一元二次方程有实数解，
，
解得，
，的最小值是．
故答案为：．

三、解答题
17．（1）
（2）
18．（1）解：
∴
∴
∴或
解得，．
（2）解：
∵，，
∴
∴
解得，．
19．（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴判别式，得；
（2）解：由（1）知，则满足条件的最大整数值为，
此时原方程为，
因式分解得，
∴或，
解得，．
20．解：．
，
，
，
，
．
21．（1）解：元，
即每个玩偶降价4元时，影院每天销量可达到100个；
故答案为：4
（2）解：设每个玩偶应降价x元，根据题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），
答：每个玩偶应降价7元．
22．（1）解：设当羊圈的宽为，则羊圈的长为，
根据题意，得，
化简，得，
解得或20，
当时，，不合题意，舍去；
当时，；
答：当羊圈的长和宽分别为，时，能围成一个面积为的羊圈；
（2）解：羊圈的面积不能达到．理由如下：
令，
化简，得，
，
方程没有实数根，
羊圈的面积不能达到．
23．（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：①当时，
，，，
∴中最长边的长度为．
②∵，
∴，，
∴
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值，
∴，
∴
．
24．（1）解：
当时，，因此 有最小值，最小值为，
∴ A的最小值为，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
，，
；
（3）解：由题意得：，
当时，的面积最大，且最大面积为．

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