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2026学年八年级数学下学期期中测试卷（1-4章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则下列不等式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为，则阴影部分面积等于（ ）
A． B． C． D．
5．若一个三角形的两边长分别是7，14，则它的第三边长不可能是（ ）
A．8 B．12 C．15 D．21
6．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽
8．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
9．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．关于的方程的解是正数，则的取值范围是___________．
12．正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为______．
13．如图，平分，，，，则是____三角形．
14．如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为_______________．
15．在中，，点D为中点，如果，，则______
16．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）分解因式：
(1) (2)
18．（6分）解不等式（组）：
(1)； (2)．
19．（8分）如图所示的直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，．
(1)在图中画出向左平移3个单位后的；
(2)在图中画出绕原点O逆时针旋转后的；
(3)写出、的坐标．
20．（8分）《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约．
(1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？
(2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？
21．（10分）先阅读材料，再回答问题：
材料：分解因式：
解：
回答问题：
(1)材料中最后一步分解因式的结果是___________．
(2)分解因式：，结果是___________．
(3)分解因式：，结果是___________．
(4)若，则的值为___________．
22．（10分）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，．
(1)与垂直吗？请说明理由；
(2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度．
23．（12分）如图，在等边中，点D为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长，交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)过点D作交于点G，连接交于点H，求证：．
(3)若，，则的长为______（用含a，b的式子表示）．
24．（12分）请回忆北师大版八年级上册数学教材的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；并给出了证明的方法．
(1)结合图①，用几何语言表示上述定理
几何语言： ∵
∴ （ ）
(2)如图②，在中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：．
(3)如图③，在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，求的值是多少？
参考答案
一、选择题
1．D
解：根据概念可知，A、B、C不是中心对称图形；D是中心对称图形．
故选：D．
2．D
解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误；
∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误；
∵C选项中，原式分解错误，错误；
∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确；
∴故选：D．
3．C
解：∵，
∴，，，；
故只有选项C变形正确，符合题意．
4．B
解：∵点F是的中点，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
，
∴，即阴影部分的面积为．
故选：B．
5．D
解：设三角形的第三边长为x，
∵两边长分别为7和14，
∴，
即，
∴第三边长不可能是21．
6．B
解：解第一个不等式
两边同乘3得，
移项得；
解第二个不等式，
移项得，
∵不等式组无解，
∴可得．
解得，
所以m的取值范围是．
7．B
解：∵原式=
=
=
∵根据密码手册：对应“我”，对应“施”，对应“爱”，对应“恩”，
∴组合后明文可能为“我爱恩施”，
故选：B．
8．C
解：如图：连接交于点O，
∵，，，
∴垂直平分，是等边三角形，，
∴,
∵，
∴，,
∴是等边三角形，是等腰三角形,
∴，
∴，
∴．
9．D
解：∵三边之比为，
∴设三边分别为，，．
∵周长为，
∴，
∴．
∴三边分别为，，．
∵，
∴三角形为直角三角形，直角边为和．
∴面积为．
故选：D．
10．C
解：由作法得：，
∵，
根据题意无法得到与相等，
∴无法确定与的大小关系，故A选项错误；
根据题意无法证明，故B选项错误；
∵是的角平分线，
，
∴，
∴，
∴，故C选项正确；
根据题意无法得到，的大小关系，故D选项错误；
故选：C．
二、填空题
11．
解：，
，
，
，
∵的方程的解是正数，
∴，
解得．
12．
解：设正方形I的边长为，正方形Ⅱ的边长为，则．
由面积差得．
根据平方差公式，．
代入，得．
所以．
故这两个正方形的边长之和为
故答案为：10．
13．直角
解：，
∵平分，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
14．
解：由题意得，，
∴点表示的实数为，
故答案为：．
15．20
解：在中，D为中点，，，，
，，
∴，
又，
，
．
16．24
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
三、解答题
17．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．（1）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
化系数为1，得；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
19．（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求，
（3）解：由作图可得，、的坐标分别为、．
20．（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：，
解得：x，
又∵x为正整数，
∴．
∴艺术类图书最多还可以摆放87本
（2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为34，35，
∴共有2种摆放方案，
方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；
方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书．
21．（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：由（1）（2）可知，
；
（4）解：，
∴，
∴，
解得．
22．（1）解：与垂直，理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可设，则有，
∵，
∴，即，
解得：，
∴．
23．（1）解：由折叠得，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点A作于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
24．（1）解：几何语言： 于点，，点为上一点，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）；
（2）证明：如图，连接，
直线m是边的垂直平分线，
，
直线n是边的垂直平分线，
，
，
，
；
（3）解：连接，
，
边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，
，
，
，
是等边三角形．
，
，
．

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