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2026学年八年级数学下学期期中自测卷（1-4章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
3．若是整数，则一定能被整数（是一位整数）整除，整数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．已知关于x、y的方程组解都为正数，且满足，，，则z的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A． B． C． D．
7．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，德，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．德州游 C．我爱德州 D．美我德州
8．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
9．如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①若，则；②；③若，，则．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算：________．
12．如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则_______．
13．如图，矩形的边在x轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点B的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点C的坐标为____________．
14．如果关于x的方程的解不大于1，且m是一个正整数，则x的值为__________．
15．如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个．
16．如图，点D是等边内一点，，，，则的度数是______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
18．（6分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用元．
(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；
(2)若学校计划采购A、B型号空调共台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？
19．（8分）如图，是等边三角形，为边延长线上一点，平分，．
(1)求证：；
(2)判别是什么特殊三角形？并说明理由．
20．（8分）某社区计划在健身活动区安装照明设施．社区内有两个健身活动区A和B，它们之间的距离为250米．社区小路紧邻活动区，计划在小路上选一点E安装总电箱，并由此分别铺设地下电缆到A和B，勘测人员测得点E到直线的垂线段的长度为120米，且线段的长度为150米．规划示意图如下．
(1)请计算从电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆的长度．
(2)判断线段的长度是否是健身区B到小路的最短距离？并说明你的理由．
21．（10分）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”．
(1)不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）
不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）．
(2)若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围；
(3)若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围．
22．（10分）已知是等边三角形，点D是的中点，点E在射线上，点F在线段上，．
(1)如图1，若点F与点B重合，
①求证：；
②当的面积为S时，用含S的代数式表示的面积．
(2)如图2，若点E在线段上，当时，求的值．
23．（12分）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
(1)运用配方法将多项式进行因式分解：；
(2)试说明多项式的值总是一个正数；
(3)当________，多项式有最小值，且最小值为________．
24．（12分）在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题：
示例：比较与的大小
如图①，在正方形网格中作△OPQ，使，，，
∵在中，，
∴．
(1)参考示例的方法，在图②中构造图形，比较与，并说明理由；
(2)如图③，点A、B、C、D均在格点上，点M是上任意一点，若满足取最小值，在图③中画出点M（保留作图痕迹），直接写出的值为________；若连接，直接写出的度数为________．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵，，，平分交于点，
∴且点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．C
解：解不等式组得，
不等式组的所有整数解的和是18，
不等式组的整数解为6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、、，
或 ，
故选：C．
3．D
解：∵ ，是整数，
∴，，为三个连续整数，其中必有2的倍数和3的倍数，
∴能被乘积一定能被整除，
∴整数的最大值为．
故选：D．
4．B
解：∵，，，
∴，
∴．
由折叠性质可知：，，
∴，
设，则，．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故选：B．
5．A
解：解这个方程组的解为：，
由题意，得，
则原不等式组的解集为；
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
6．C
解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，．
故选：C．
7．C
解：
∵对应我，对应爱,对应德,对应州，
∴因式分解结果对应的密码信息是我爱德州．
8．C
解：如图：连接交于点O，
∵，，，
∴垂直平分，是等边三角形，，
∴,
∵，
∴，,
∴是等边三角形，是等腰三角形,
∴，
∴，
∴．
9．C
解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示：
∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，
∴，
∴，
∴沿着表面需要爬行的最短路程为，
当蚂蚁沿着该长方体的表面（左面和上面）爬行的展开如图所示：
∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，
∴，
∴，
∴沿着表面需要爬行的最短路程为，
当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示：
∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，
∴，
∴，
∴沿着表面需要爬行的最短路程为，
∵是最小的数，
∴即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为，
故选：C．
10．D
解：∵在中，，平分，
∴，
∴，
故①正确；
∵在中，,
∴,
∵和是和的平分线，
∴，
∵
∴
，
故②正确；
作于M，于N，
∵和的平分线相交于点O，，
∴，
∵，
∴
．
故③正确．
故选：D．
二、填空题
11．
解：原式=
，
故答案为：．
12．3
解：∵为等边三角形，为中线，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3．
13．
解：∵点的坐标为，
∴，，
∴在中，，
∵将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，
∴，，
∴，
∴在矩形中，，，，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为．
14．或1
解：
∴，
解得，
∵m是一个正整数，
∴的值为1或2，
当时，；
当时，；
故答案为：或1．
15．
解：为等腰三角形，
以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、，
此时，和为等腰三角形，
以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
作的垂直平分线，与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
即满足条件的点位置有4个，
故答案为：4．
16．
解：如图，将绕点C顺时针旋转得，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故答案为：
三、解答题
17．（1）解：在，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴．
18．（1）解：设型空调单价为元，型空调单价为元，
则，
解得：，
答：A型空调每台需元，B型空调每台需元；
（2）解：设型空调购台，则型空调购台，
则，
解得：，
对应方案为：
①，，费用：（元）；
②，，费用：（元）；
③，，费用：（元），
因此共有三种采购方案．
19．（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：为等边三角形，
∵，
∴，
即，
∴，
∴为等边三角形．
20．（1）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，，
答：电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆的长度；
（2）解：的长度是健身区B到小路的最短距离，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴的长度是健身区B到小路的最短距离．
21．（1）解：解不等式得
解不等式得
两个不等式没有公共解，因此没有公共整数解，
故不是的“同根不等式”
解不等式得
解不等式得
两个不等式的公共解为，存在无数个公共整数解，
故是的“同根不等式”
（2）解不等式得
解不等式得
不是的“同根不等式”
两个不等式没有公共整数解，
解得
（3）解不等式，整理得
解不等式，整理得
①当时，不等式化简为
要使两个不等式有公共整数解，需满足
解得，符合条件；
②当时，不等式化简为
，
两个不等式的公共解为，
因此所有都符合条件
综上，的取值范围是或
22．（1）①证明：是等边三角形，点D是的中点，
∴，，
∴，
，点F与点B重合，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：是等边三角形，点D是的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点D作交于点G，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，
点D是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
23．（1）解：
（2）解：
，
即多项式的值总是一个正数；
（3）解：
∵，且当时，取得最小值，为0，
∴当，多项式有最小值，且最小值为．
故答案为：；
24．（1）解：结论：．
理由：如图②所示构造，使得，，
∵在中，，
∴；
（2）如图，点M即为所求，
如图，连接，作点C关于的对称点，连接交于点M，
∵，
∵关于轴对称，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：，．

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