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2026学年八年级数学下学期期中自测卷（19-21章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若，，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．估算的值在（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和0之间 D．0和1之间
4．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．5
5．如图，在中，，，，点在上，点F在上，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
6．如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
7．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有多少个？( )
A．12 B．16 C．24 D．25
8．如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交 AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是( )
A．变大 B．先变大后变小 C．先变小后变大 D．不变
10．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以、为邻边作矩形，连接．在下列结论中：矩形是正方形； ； 平分； ．其中正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知，，则_____．
12．如图，在四边形中，，，，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长为___________．
13.在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为的正方形，则原长方形纸片的对角线为_______．
14．在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则_______．

15．如图，点D是等边内一点，，，，则的度数是______．
16．图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）根据已知条件，求代数式的值
(1)已知x、y为实数，且，求的值；
(2)已知，求代数式的值．
18．（6分）阅读材料：若，则我们称与是关于的调匀数．例如，3与是关于的调匀数．
(1)5与______是关于1的调匀数；与_____是关于的调匀数；
(2)若，且与是关于的调匀数，求的值；
(3)若与是关于的调匀数，同时，与是关于的调匀数，求的值．
19．（8分）如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
20．（8分）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ；
(2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长．
21．（10分）如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，求矩形的面积．
22．（10分）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，交于点，若，求的长．
23．（12分）在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题：
示例：比较与的大小
如图①，在正方形网格中作△OPQ，使，，，
∵在中，，
∴．
(1)参考示例的方法，在图②中构造图形，比较与，并说明理由；
(2)如图③，点A、B、C、D均在格点上，点M是上任意一点，若满足取最小值，在图③中画出点M（保留作图痕迹），直接写出的值为________；若连接，直接写出的度数为________．
24．（12分）问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点延长交于点F，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)如图②，若，求证：
(3)若，，求DE的长．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵ ，，
A. ，故A项错误，不符合题意；
B. ，故B项错误，不符合题意；
C. ，计算正确，符合题意；
D. ，故D项错误，不符合题意；
故选：C．
2．B
解：∵，，，平分交于点，
∴且点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．C
解：
，
∵，
∴，即，
∴，即，
∴估计的值在和0之间．
4．A
解：由题意知，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形；
∵点是的中点，点是四边形边上的动点，
∴当垂直于菱形的一边时，有最小值，
过点作于点，
当点为的中点时，连接，
则为的中位线，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，
∴，
解得：，
∴，
即的最小值是．
5．C
解：连接，
，
，
又 ，
，
在中，
，，，
，，
又 ，
，
为等边三角形，
，，，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
即，
故选：C．
6．B
解：∵，，，
∴，
∴．
由折叠性质可知：，，
∴，
设，则，．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故选：B．
7．D
如下图，对网格编号
情况一：平行四边形的一个点在BF上，另两个点在MG上，有：
ABMI、ABQO、ABIG、AFGI、AFOQ、AFIM共6个
情况二：平行四边形的一个点在BF上，另两个点在PH上，有：
AEHV、AEVN、AENZ、AEZP、ACPZ、ACZN、ACNV、ACVH共8个
情况三：其他符合条件平行四边形有：
AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVN、AOKN、AQSN共11种
故共有：6+8+11=25种
故答案为：25
8．C
解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示：
∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，
∴，
∴，
∴沿着表面需要爬行的最短路程为，
当蚂蚁沿着该长方体的表面（左面和上面）爬行的展开如图所示：
∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，
∴，
∴，
∴沿着表面需要爬行的最短路程为，
当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示：
∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，
∴，
∴，
∴沿着表面需要爬行的最短路程为，
∵是最小的数，
∴即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为，
故选：C．
9．D
连接AC交BD于O，连接EO、AG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵EG是AP的垂直平分线，
∴AG=PG，∠AEG=∠AOB=90°，
∴A、E、G、O四点共圆，
∴∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，
∴∠EOG=∠APG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，
∵AE=PE，
∴OE∥BC，
∴∠EOB=∠DBC=∠ABC，
∵菱形ABCD固定，
∴∠ABC的度数固定，
即∠APG的度数不变，
故选D．
10．A
解：如图，过作于点, 过作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形为正方形，故正确；
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴平分，故正确；
∴，故错误；
当时，点与点重合，
∴不一定等于，故错误；
综上可得：正确；
故选：．
二、填空题
11．10
解：∵，，
，
，
．
12．
解：如图，过作的平行线，延长交平行线于
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
13．
解：∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
∴长方形的长为，长方形的宽为，
∴原长方形纸片的对角线为，
故答案为：．
14．
解：延长、交于H，连接，

，，
四边形为平行四边形，
，平分，
，，，
为等腰三角形，
，
平行四边形为菱形，
，且均为等边三角形，
，，
，
，
为等腰三角形，
又四边形为平行四边形，
，，，
，
在与中，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
解：如图，将绕点C顺时针旋转得，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故答案为：
16．
解：设，，
则，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
当时，如图，
则，
过点C作于点H，
∴，则，
∴在中，，
，
∵，，
∴．
当时，如图，
则，
过点作于点，
∴，则，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴．
∵O，E两点的距离减小了，
即，
∴，
∴，
∴点C的竖直高度上升．
故答案为：
三、解答题
17．（1）解：已知x、y为实数，且，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴x，y都是正数，
∴
．
18．（1）解：，，
∴5与是关于1的调匀数；与是关于的调匀数；
（2）解：∵与是关于的调匀数，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：根据题意，可得，
解得，
∴．
19．（1）证明： ，
∴，，
在和中，
；
（2）解：在中，，
，
平分，
，
，
，
．
20．（1）解：（秒），（秒）．
当运动时间为t（）时，，，，，
根据题意得：，
解得：t，
∴当四边形是矩形时，t的值为．
故答案为：；
（2）解：当四边形为菱形时，，
∴，
解得：，
∴，
∴ ．
答：的长为．
21．（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
又四边形是菱形，
，即，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得，
∴．
22．（1）证明：∵，，
∴为的中位线，
，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
，，
，，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：连接，
，，
∴是的中位线，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
．
23．（1）解：结论：．
理由：如图②所示构造，使得，，
∵在中，，
∴；
（2）如图，点M即为所求，
如图，连接，作点C关于的对称点，连接交于点M，
∵，
∵关于轴对称，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：，．
24．（1）解：四边形是正方形．理由如下：
是由绕点B沿顺时针方向旋转得到的，，
，，
又，
，
四边形是矩形．
由旋转的性质可知，，
四边形是正方形．
（2）证明：如图，过点D作于点，
，，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
，
，
由旋转的性质可知，，
∵四边形是正方形，
，
，
．
（3）解：四边形是正方形，
，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得（负值已舍），
，
，
如图，过点D作于点，
根据（2）可知，
，，
，
在中，由勾股定理，得．

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