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2026学年七年级数学下学期第一次月考自测卷（1-3章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若是完全平方式，则m的值是（ ）
A．13或 B．13 C． D．6或
2．“煮熟的鸭子飞了”，从数学的观点看，这句俗语中描述的事件是（ ）
A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定
3．如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．为了估计椭圆的面积，琪琪在长为cm，宽为cm的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表：
移植总数
成活数
成活的频率
根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，下列计算结果正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．在数学课上，老师给出如图所示的图形，已知和射线，，现在老师让同学们画，且边，根据老师的要求画出图形，判断和的数量关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．相等或互补
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算：______．
12．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____．
13．已知整数满足且，则的值为_____．
14．小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则______（填“公平“或“不公平”）．
15．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有______项，含项的系数是______．
16．如图，直线，与的角平分线交于点E，的延长线交于点F，过点F作，交延长线于点点M在线段上，点N在线段上，且平分，连接，若，的度数为______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，直线、交于点，平分，．
(1)求的度数；
(2)画射线，使，求的度数．
18．（6分）如图，某学校有一块长为，宽为的长方形土地，计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个边长为的正方形喷水池．
(1)求绿化面积是多少平方米；
(2)当，时，求绿化面积．
19．（8分）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，．
(1)判定和的位置关系，并说明理由．
(2)若，且，求的度数．
20．（8分）当，时，试说明．
小明做如下尝试： ∵，， ∴=（①______）， =（②______）， ∴（③______） ∴…… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴④______，⑤______， ∴ ∴……
(1)阅读上述材料并填空；
(2)继续完成小明与小丽的说理．
21．（10分）如图，已知，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，，．
(1)若，求的度数．
(2)试说明：FH平分．
22．（10分）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：．
(1)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请画出图形；
(2)已知，，求的值；
(3)已知，求的值；
(4)已知，求的值．
23．（12分）某学校九年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在书画区域的次数
落在书画区域的频率
(1)完成上述表格：__________；__________；假如你去转动该转盘一次，估计你获得书画奖品的概率约是__________（精确到）；
(2)甲乙两人购物后各获得一次转动转盘的机会，他们认为两人恰好都获得书画奖品的概率和两人恰好都获得手工奖品的概率一样大，请判断这句话的正误；__________（填写正确或错误）
(3)若本次义卖活动共有800人各获得一次转动转盘的机会，请估计本次义卖活动共送出多少张书画奖品？
24．（12分）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．

(1)若，则 ；
(2)作交于点，且满足，当时，试说明：；
(3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值．
参考答案
一、选择题
1．A
解：是完全平方式，，
，
即或，
解得：或，
故选：A．
2．A
解：由不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件，
∵煮熟的鸭子不具备飞行能力，“煮熟的鸭子飞了”这一事件在现实中一定不会发生，
∴该事件是不可能事件，
故选：．
3．B
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
4．D
解：大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为，
长方形的面积为：，
则椭圆的面积为．
5．A
解：∵，，，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
6．C
解：在大量重复试验中，频率稳定于概率，
∵移植总数时，成活频率为，此时试验次数最多，频率最接近概率，
∴估计幼树成活的概率约为，
故选：．
7．C
解：根据题意，得：长方形的长为，宽为，
则，，
，
，
，，
，
∴
∴，
解得：，
故选：C．
8．B
解：设，，则，，
∴，，
如图，过点作，过点作，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．A
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故①正确；
∴
，故②正确；
∴，故③正确；
∴
∴
∴当时，；
当时，，故④错误．
综上所述，计算结果正确的是①②③．
故选：A．
10．D
解∶当在右侧时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当在左侧时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，和的数量关系是相等或互补．
故选：D．
二、填空题
11．
解：原式．
故答案为：1．
12．
解： ，
，
，
，
水面与槽底平行，
；
故答案为：．
13．2
∵，3不是10000的公约数，
∴
则b=0
∴
∵整数满足
∴符合题意
∴a=-2，b=0，c=3，d=4
∴=-8+0+6+4=2
故答案为：2．
14．不公平
解：∵当末位数字是2或4时，摆出的三位数是偶数，当末位数字为3时，摆出的三位数是奇数，
∴摆出的三位数是偶数的概率为，摆出的三位数不是偶数的概率为，
∵，
∴这个游戏不公平，
故答案为：不公平．
15．
解：，展开式有2项，
，展开式有3项，
，展开式有4项，
，展开式有5项，
……，
以此类推可知，的展开式有项，
∴展开式中，共有项；
，展开式中从左往右第二项的系数为1，
，展开式中从左往右第二项的系数为2，
，展开式中从左往右第二项的系数为3，
，展开式中从左往右第二项的系数为4，
……，
以此类推可知，的展开式中从左往右第二项的系数为，
令，则的展开式中从左往右第二项的系数为，
∴的展开式中，含项的系数是，
故答案为：；．
16．
解：，理由如下：
，
，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
设，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
三、解答题
17．（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）①如图，当在直线的上方时，
∵，
∴，
∵，
∴；
②如图，当在直线的下方时，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上所述：的度数为或．
18．（1）解：
，
绿化面积为平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
答：绿化面积为19平方米．
19．（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．（1）解：小明的尝试：
∵，，
∴，，
∴；
小丽的尝试：
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：①；②；③；④5；⑤3；⑥；
（2）解：小明的证明：
∵，，
∴，，
∴；
即，
∴；
小丽的证明：
∵，，
∴，，
∴，
即，
∴，
整理得：．
21．（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，即平分．
22．（1）解：如图，可以验证：；
（2）解：，
，
，
又，，
；
（3）解：设，，则，
，
，
，
，
即；
（4）解：设，，则，
，
，
，
，
，
．
23．（1）解：，
当次数很大时，频率将会接近0.6，获得书画奖品的概率约是0.6，
故答案为：295，0.6，0.6；
（2）解：（书画），（手工），
（两人都书画），
（两人都手工），
，
该说法错误，
故答案为：错误；
（3）解：张
答：估计本次义卖活动共送出480张书画奖品．
24．（1）解：∵，
，．
，
．
平分，
．
．
故答案为：．
（2）∵，
．
，
．
平分，
．
．
．
，
．
．
，
．
，
．
∴．
（3）．
当时，则，如图，

∵，
．
，
．
．
．
当回转时，时，则，如图，

∵，
．
，
．
．
当时，，如图，

．
．
，
．
．
综上，的值或或．

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