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2026学年七年级数学下学期第一次月考自测卷（第1-3章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数
C．一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球
D．在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯
3．如图，直线与直线相交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知：，求：代数式的值为（ ）
A． B．5 C． D．25
5．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
6．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，要使直线，则（ ）
A．直线绕点逆时针旋转 B．直线绕点逆时针旋转
C．直线绕点顺时针旋转 D．直线绕点顺时针旋转
8．如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．若一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，不是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知直线，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．_____．
12．如图，直线和交于点O，∠AOC=80 ,∠BOE=3∠EOD ，则的度数为 _______．
13．若的结果中不含有的一次项，则的值为_________．
14．将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么_________．
15．体育课上、、三人练习踢足球，足球从一人传到另一个人就记为踢一次．若踢了三次后，要使踢到处的概率最小，应该从______开始踢．
16．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）已知，，.
(1)求证：；
(2)求的值.
18．（6分）已知，．
(1)求证：代数式的值与的取值无关；
(2)若，求的值．
19．（8分）如图所示，直线与相交于点，于点，平分，且．
(1)求的度数．
(2)求的度数．
20．（8分）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次研究中，一共调查了 名学生；
(2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是
(3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？
21．（10分）如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）
解：∵（ ）
∴（ ）
同理可得（ ）
∴（ ）
又∵（ ）
∴（ ）
即（ ）（ ）
∴（ ）（ ）（ ）
22．（10分）图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷．
(1)小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________；
(2)如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________；
(3)如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由．
23．（12分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ___________，
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若，，则___________；
【类比应用】
（3）若，求的值；
【知识迁移】
（4）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度．
24．（12分）已知直线，直线分别与直线，相交于点，，点，分别在直线，上，且在直线的左侧，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，．
(1)当点在线段上运动时，试探索，，之间的关系，并给出证明；
(2)当点在线段外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索，，之间的关系（不需要证明）．
参考答案
一、选择题
1．A
解：∵，
∴， ，
∴，，
∴．
故选：A．
2．C
解：、掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，该选项不符合题意；
、掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数的概率为，该选项不符合题意；
、一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球的概率为，该选项符合题意；
、在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯的概率为，该选项不符合题意；
故选：．
3．B
解：∵，，
∴，
∴．
4．C
解：∵，
，
，
．
故选：C．
5．A
解：①箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球是黑球是不可能事件，故①正确；
②从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，则从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，故②正确；
③在一个箱子里放有1个白球和2个红球，红球的个数多于白球的个数，则从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．故③正确；
综上可知，正确的是①②③，
故选：A
6．B
解：如下图所示，
，
，
，，
，
.
7.B
解：如图：
直线与直线的夹角为，其邻角为：
直线与直线的夹角为，两者角度差为： 要使，
将直线绕点逆时针旋转，使它与的夹角变为，与相等
与是同位角，同位角相等，两直线平行．
故选：B．
8．B
解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则长方形的长为，宽为，
，，．
，
，
，
∴
．
故选：B．
9．B
解：∵用1，2，3组成无重复数字的三位数，总共有6种：123，132，213，231，312，321．
其中平稳数为123和321，共2个．
∴非平稳数有4个．
∴非平稳数的概率为．
故选B．
10．B
如图，过点B作，过点D作，
∵直线，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
二、填空题
11．
解：
，
故答案为：．
12．
解：∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ．
13．
解:
，
，
，
若的结果中不含有的一次项，则，
解得．
故答案为：．
14．
解：如图，
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∵长方形纸片的两条长边平行，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
解：从开始踢时，共有种等可能路径，其中三次后球在处的路径有种，概率为；
从开始踢时，共有种等可能路径，其中三次后球在处的路径有种，概率为；
从开始踢时，共有种等可能路径，其中三次后球在处的路径有种，概率为．
由于，因此从开始踢时，踢到处的概率最小．
故答案为：．
16.
解：如图，过F作，
∵，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，
∴可设，，
∴，，
∴四边形中，
，
即，①
又∵，
∴，②
∴，
解得．
三、解答题
17．（1）证明：，
.
即.
（2）解：．
18．（1）解：证明：
∴代数式的值与的取值无关
（2）解：∵，
∴
∵，
∴
19．（1）解：因为，
所以,
因为
所以．
（2）解：因为，，
所以．
因为平分，
所以．
所以
20．（1）爱好运动的人数为，所占百分比为
共调查人数为：人，
故答案为：100；
（2）∵爱好上网人数为：人，
∴爱好上网的人数所占百分比为，
爱好阅读人数为：人，
补全条形统计图，如图所示，

阅读部分圆心角是，
故答案为：；
（3）爱好阅读的学生人数所占的百分比为，
用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为；
故答案为．
21．解：∵（ 已知），
∴（垂直的定义），
同理可得（垂直的定义），
∴（等量代换），
又∵（ 已知），
∴（等式的性质），
即，
∴（）（ ）（同位角相等，两直线平行）．
22．（1）解：个小方格中埋藏着个地雷，
小明踩中“地雷”的概率是，
故答案为：；
（2）解：个小方格中埋藏着个地雷，
小明踩中“地雷”的概率是，
故答案为：；
（3）解：小明的第二步踩在区域的小方格上，可能踩中地雷的概率是，
小明的第二步踩在区域外的小方格上，可能踩中地雷的概率是，
，
为了尽可能不踩中“地雷”，
小明的第二步应踩在区域外的小方格上．
23．（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，
所以有，
故答案为：；
（2）∵，，
；
（3）∵，
∴
（4）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得，
，
即，，
，
，
，，
，
即．
24．（1）解：．
证明：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（2）解：不成立．
有两种情况：
①当点在线段的延长线上，此时，
理由：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
②当点在线段的延长线上，此时，
理由：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．

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