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3.1 图形的平移
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．下列运动属于平移的是（）
A．落叶随风飘零 B．行驶的自行车后轮
C．火箭升空的运动 D．翻开数学课本
2．如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（ ）
A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm
3．如图，把 ABC向右平移得到，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是（ ）平方米．
A．36 B．42 C．56 D．都不对
5．第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．或
6．如图，三角形沿着x轴向右平移3个单位长度得到三角形，，，则三角形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．平面直角坐标系中，点，，经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， ABC中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知等边三角形的顶点、的坐标分别是、，把经过连续9次这样的变换得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，锐角三角形ABC中，，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，最小正方形的边长为1，将字母“V”向左平移________格（两个“V”无重叠）后与平移前的图形可以组成字母“W”．
12．如图，把两个相同的直角三角板重叠后，沿边推动其中一块，使它平移到某一位置，已知，，，用含的代数式表示四边形的面积___．（结果化成最简形式）
13．在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点A的对应点是直线上一点，则点B与其对应点间的距离为______．
15．随着3D打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图，这是利用3D打印技术打印的“5G”字样的艺术字，若定位点A的坐标为，定位点B的坐标为，则打印喷头从点A先向右再向下移动至点B时，向右和向下移动的距离之和为________．
16．如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接．
（1）线段的长是__________；
（2）当取得最小值时，点M的坐标是__________．
17．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．在中，∠D=90 ，，点的坐标为，点的坐标为．
（1）若为直线上的一点，当时，的取值范围是________．
（2）将沿轴向左平移，平移距离为．当与直线有交点时，的取值范围为________．
18．如图，平面直角坐标系中，，，将直线平移交坐标轴于C、D点，平分，平分，过点B作交的延长线于点N，下列结论中：①；②平分；③点O到的距离等于点O到的距离，都等于；④延长交于点Q，则．其中正确的有______．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，已知点A坐标为，点C坐标为，点，B在格点上．
（1）描出A，C两点的位置，写出点B的坐标；
（2）连结，将平移，使点A平移到点，画出平移后所得的．
20．（8分）（1）如图，在某一禁毒基地的建设中，工人们准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为 a米的通道，求剩余草坪的面积是多少平方米．
（2）在 ABC中，，为 ABC的中线，且 将 ABC周长分为与两部分，求三角形各边长．
21．（10分）如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点．
（1）求的度数；
（2）试判断与之间的位置关系，并说明理由．
22．（10分）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的．已知过点，交于点．
（1）求的大小；
（2）求证：是等边三角形．
23．（10分）如图1，在长方形中，，．
（1）则的长为______；
（2）如图2，，垂足是E，作点关于的对称点F，连接，．
①若连接，试求的长；
②若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段、上时，请求出相应的m的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
（1）点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
（2）当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
（3）当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
参考答案
一、选择题
1．C
解：A．落叶随风飘零不是平移，不符合题意；
B．行驶的自行车后轮不是平移，不符合题意；
C．火箭升空的运动是平移，符合题意；
D．翻开数学课本不是平移，不符合题意．
故选：C．
2．B
解：∵将线段平移得到线段
∴，
∵
∴
∵平移的距离为
∴，
∴四边形的周长为：
故选：B．
3．D
解：A：根据平移的性质说法正确，不符合题意；
B：根据平移的性质说法正确，不符合题意；
C：根据平移的性质说法正确，不符合题意；
D：根据平移的性质说法不正确，符合题意；
故选：D．
4．B
解：
（平方米）．
故种植花草的面积是42平方米．
故选：B
5．D
解：点P平移后位于y轴上，则点Q平移后位于x轴上；
则平移为：向左平移个单位，向下平移个单位，
而，
故此时点P平移后的坐标为；
点P平移后位于x轴上，则点Q平移后位于y轴上；
则平移为：向左平移个单位，向下平移个单位，
而，
故此时点P平移后的坐标为；
综上，点P平移后的坐标为或；
故选：D．
6．A
解：∵，，
∴，
∴，
∴．
∵三角形沿着x轴向右平移3个单位长度得到三角形，
∴，
∴角形的面积为∶．
故选A．
7．D
解：如图，
∵经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时，
∴当时，线段的长度最短，
∵点，，
∴此时点横坐标为，纵坐标为．
∴．
故选：D．
8．D
解：∵，为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
平移，使得点F与点G重合，点C的对应点为P，作点P关于的对称点H，过点H作，交线段于点，线段交于点，连接，如图所示：
根据轴对称的性质可知：，由平移可知：，
∴，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即当取最小值时，的度数为；
故选D．
9．D
解：如图，作，垂足为D．
∵点、的坐标分别是、，
∴轴，
∵三角形为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴点A坐标为，
由题意得经过第1次变换后点A的对应点坐标为，
第2次变换后点A的对应点坐标为，
第3次变换后点A的对应点坐标为
第4次变换后点A的对应点坐标为，
……，
∴第n次变换后点A的对应点坐标为：当n为奇数时，；当n为偶数时，．
∴ ABC经过连续9次这样的变换得到，则点的对应点的坐标是．
故选：D
10．C
解：第一种情况：如图，当点在BC上时，过点C作，
由 ABC平移得到，
，
，，
，
①当时，
设，则，
，，
，
，
解得：，
，
②当时，
设，则，
，，
，
，
解得：，
，
第二种情况：当点在 ABC外时，过点C作，
由 ABC平移得到，
，
，，
，
①当时，
设，则，
，，
，
，
解得：，
，
②当时，由图可知，，故不存在这种情况，
综上所述，或或，
故选：
二、填空题
11．2
解：将字母“V”向左平移2格会得到字母“W”，平移后画出图形如下：
故答案为：2．
12．
解：由平移得，，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
13．
解：∵点，点，平移线段，使点落在点处，
∴可得，向左平移4个单位，向上平移1个单位，
∴点向左平移4个单位，向上平移1个单位得到，
故答案为：．
14．4
解：∵点A的坐标为，沿x轴向右平移后得到，
∴点的纵坐标为3，，轴，
∵点是直线上一点，
∴当时，由得，
∴，
∴，
即点B与其对应点间的距离为4，
故答案为：4．
15．13
解：∵平移到点，
∴点A先向右8个单位，再向下移动5个单位至点B，
∴向右和向下移动的距离之和为，
故答案为：13．
16． （1）1 （2）
解：（1）∵直线m与x轴平行，，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∵轴，
∴；
故答案为：；
（2）将点向上平移1个单位得到，连接，
设，则，
则，
∴，
∴，
当三点共线时，最小，即取得最小值，
∵为定值，
∴此时，取得最小值，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴，
故答案为：．
17．
解：（1）为直线上的一点，
，
当时，，
解得：，
故答案为：；
（2）点的坐标为，点的坐标为，
，
，，
，
，
在中，令，则，
解得：，
，
当点平移到点时，与直线有交点，此时平移距离为最小，的最小值为，
在中，令，则，
解得：，
当点平移到点时，与直线有交点，此时平移距离为最大，的最大值为，
的取值范围为，
故答案为：．
18．①②④
解：①如图，过点M作，
∵，
∴，
∴，，，
∵平分，平分．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
因此①正确；
②∵，
∴
∴，
又，
∴，
∵，，
即平分，
因此②正确；
③∵，，，
∴ AOB是直角三角形，
点O到的距离为，
∵是平移得到的，而点C、点D的坐标不定，
∴点O到的距离不一定是．
因此③不正确；
④∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故答案为：①②④
三、解答题
19．
解：（1）解：如图，点A，C即为所求，．
（2）解：如图， ABC，即为所求．
20．
解：（1）
平方米；
（2）∵为 ABC的中线，
∴，
设，则，
若，，
∴，
∴，
∴，；
若，，
∴，
∴，
∴，．
21．
解：（1）解：由平移的性质知，，
∴；
（2），理由如下：
由平移的性质知，，，
∴，
∴，
∴．
22．
解：（1）解：∵是等边三角形，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）证明：由平移可知：，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
23．
解：（1）解：∵长方形，
∴；
在中，，
由勾股定理得：；
（2）解：①∵，，
，
，
在中，，
由勾股定理得：；
∵对称，
∴垂直平分，
设与交于点，则，
∵，即：，
∴，
∴；
②设平移中的三角形为，如图：
由对称点性质可知，．，
由平移性质可知，．
①当点落在上时，
，
，
，
，即；
②当点落在上时，
，
，
，
，
∵，
∴，
为等腰三角形，
，
，即．
24．
解：（1）解：点的坐标是，点的坐标为，
由平移的性质得，
点的坐标，
；
由题意得，，，
点的运动速度为每秒2个单位长度，
出发5秒时，运动的距离为10个单位长度，
此时点在上，且，
点的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：当点在上运动时，
，
点的坐标为；
当点在上运动时，
，
点的坐标为，
点的坐标为；
（3）解：四边形的面积为，
，
当点在上运动时，边上的高为4，
即，
解得，
点的坐标为或，

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