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3.2 图形的旋转
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．中心对称图形以其独特的对称性，给人以美感，被认为是数学美的一个重要方面．下列数学图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，、、三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点逆时针旋转得到，则旋转角为（ ）度
A．45 B．60 C．90 D．135
3．如图，把 AOB绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（ ）
A．9 B．12 C．17 D．21
4．如图， ABC的三个顶点的坐标分别为、、，将 ABC绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中，，，，将 ABC绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在 ABC中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图， ABC和关于点成中心对称，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知点为第二象限内一点，点为x轴正半轴上一点，将点A绕点B逆时针旋转得到点，若点在y轴上，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
9．如图， AOB与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
10．在平面直角坐标系中，等边 AOB如图放置，点A的坐标为．每一次将 AOB绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到的对应点的坐标是__________．
12．如图，将 ABC绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为_______．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________．
14．如图，在平面直角坐标系中， AOB可以看作是将绕某个点旋转而得到____________．
15．如图，在平面直角坐标系中，线段在第二象限，其中A点坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转，得到线段，则点的坐标为________．
16．如图，在 ABC中，，将 ABC绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______．
17．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______．
18．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴上，点B在x轴上，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段．
（1）当点B坐标为时，点C坐标为______；
（2）当点B在x轴上运动时，点C的运动轨迹的函数关系式为______．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图所示，和关于点O中心对称，
（1）请用尺规作图作出点D，连接、．
（2）求证：．
20．（8分）如图，将 ABC绕点A逆时针旋转一个角度，得到 ADE，
（1）求证：平分；
（2）若，求旋转角的度数．
21．（10分）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接．
（1）求证： ACD≌ BCE；
（2）若，，求的长．
22．（10分）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至 BEC处，此时点、、三点正好在同一直线上．
（1）求的度数；
（2）求的长；
（3）求的面积．
23．（10分）如图1，在 ABC中，，，点为 ABC内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
（1）若，则 ；
（2）求证：；
（3）好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在 ABC中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数．
24．（12分）在中，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转（ 得到线段，连接．
（1）【观察猜想】如图1，当点P在边上时，线段与线段的数量关系是_______，线段与线段所夹锐角的度数为_______；
（2）【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断 （1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
（3）【拓展应用】若点Q到的距离为1，请直接写出线段的长．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、该图形绕着某个点旋转后，不能与原来的图形重合，所以它不是中心对称图形．
B、此图形绕着其中心旋转后，能与原来的图形重合，符合中心对称图形的定义，所以它是中心对称图形．
C、该图形绕着某个点旋转后，不能与原来的图形重合，不是中心对称图形．
D、该图形绕着某个点旋转后，不能与原来的图形重合，不是中心对称图形．
故选：B．
2．A
解：由图形得，由旋转的性质得，
∴，
∴旋转角为45度．
故选：A．
3．B
解：根据旋转的性质可得：．
故选：B．
4．D
解：由题意，画图如下：
由图可知：A的对应点的坐标为；
故选：D．
5．A
解：在 ABC中，，
∵，，
∴，
由旋转可知，，
∴．
故选：A．
6．D
解：在三角形中，，，
，
由旋转的性质可知：，
，
又，
，
，
故选：D．
7．C
解： ABC和关于点成中心对称，
，，．
．
，
．
故选：C ．
8．A
解：如图所示，过点A作轴于点C，则，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点为第二象限内一点，点为x轴正半轴上一点，
∴，
∴，
故选：A．
9．B
解： AOB与关于点成中心对称，
故,
根据勾股定理，，
故．
故选：B．
10．C
解：第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在x轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，,
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在x轴正半轴，，
……，
每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴，
而，
在x轴负半轴上，且，
∴点的坐标为．
二、填空题
11．
解：如图，过作轴于点，过作轴于点，
∵，
∴，，
由旋转性质可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
解：如图，设交于点，
∵将 ABC绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
13．
解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，
则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
14．
解：如图，连接，分别作线段、线段的垂直平分线，相交于点，
则点即为旋转中心．
故答案为：．
15．
解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，
∵A点坐标为，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点在第一象限，
∴点的坐标为．
故答案为：．
16．
解：在 ABC中，，将 ABC绕点按逆时针方向旋转后得到，
，，．
如图，过点作于点，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
．
，，
．
17．2
解：如图，取的中点，连接，
等边三角形的边长为8，
，
，
，，
是的中点，
，
，
线段绕点B逆时针旋转得到，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，
，，
，
线段长度的最小值是2，
故答案为：2．
18．
解：（1）如图所示，过点C作轴于D，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）设点B的坐标为，
如图所示，当点B在x轴负半轴时，过点C作轴于D，
同理可证明，
∴，
∴，
∴，
∴点C在直线上；
如图所示，当点B在x轴正半轴或原点时，过点C作轴于D，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C在直线上；
综上所述，点C在直线上；
∴点C的运动轨迹的函数关系式为，
故答案为：．
三、解答题
19．
解：（1）解：如图，点D即为所求作，连接、；
（2）解：∵和关于点O中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
20．
解：（1）证明：如图：
由旋转得，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，设与交于点O，
由旋转得，，，
∵，
∴，
∴ .
∵，
∴.
∵是的一个外角，
∴，
∴，
解得：，
∴旋转角的度数为．
21．解：（1）证明：由旋转可得，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（）知，
∴，，
∵ ABC是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
，
∴．
22．
解：（1）解：正方形，
，
将绕点顺时针旋转至 BEC处，
∴ BPA≌ BEC，且旋转角度为，
，，
是等腰直角三角形，
，
点、、三点正好在同一直线上，
；
（2）解：∵ BPA≌ BEC，，，，
，，
∵∠BEP=45 ，
，
是等腰直角三角形，，
，
；
（3）解：是等腰直角三角形，，
∴S BPE=BE BP= ×2×2=2，
∵∠PEC=90 ,CE=,PE=2，
∴S CEP=CE PE= ××2=2，
过点作于点，如图所示：
∵∠BPE=45 ，
是等腰直角三角形，
，
∴BH2+PH2=2BH2=BP2，
，
，
∴S ABP=AP BH= ××=1,
∴S BPC=S BPE+S CEP-S BEC=2+2-1=3．
23．
解：（1）解：由旋转的性质可知：，，，，，
在和中，
，
，
，
故答案为：6；
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，
绕点逆时针旋转得到，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，在上取点，使，连接，
，，
，
，，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
24．
解：（1）解：在中，，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下：
同理可得，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（1）（2）可得不管点P（不与点C重合）运动到何处都有，
∴，
∴点Q在过点D且与垂直的直线上运动；
如图3-1所示，当点Q在点C左侧时，过点Q作于M，设直线交于N，
∴，
∵，
∴，
∴，
，；
同理，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图3-2所示，当点Q在点C右侧时，过点Q作于M，设直线交于N，连接，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．

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