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第二章《一元二次方程》单元测试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
3．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
4．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．关于y的方程，下面解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴，
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．关于一元二次方程，下列说法正确的是（ ）
A．若方程有实数根，则
B．若方程无实数根，则
C．当时，方程有两个不相等的实数根
D．当时，方程的根为
7．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知整式，．下列说法：
①．当时，满足条件的x的积为2；
②．当时，则存在这样的实数根、能使；
③．当时，则整式可取到最小值，最小值为0；
④．当方程与存在一组互为倒数的实数根时，符合条件的整数与一共有2组．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
10．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（ ）
A．设这批椽的数量为x株，则
B．这批椽的总运费为24文
C．一株椽的价钱为24文
D．这批椽一共有9株
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
1．已知是一元二次方程的一个根，则的值是______．
2．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为________．
3．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：
与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______．
4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________．
5．已知方程的解是；方程的解是，则方程的解为______．
6．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”．
7．如图，在 ABC中，已知，，，点，是 ABC边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）

（1）当为______时，是等腰三角形；
（2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形．
8．2025年5月17日－22日，第34届“哈洽会”在哈尔滨成功举办，有若干家公司参加了其中一个分会场，且每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此“哈洽会”分会场的公司有_________家．
三、解答题（10小题，共66分）
1．用适当的方法解方程：
(1) (2) (3) (4)
2.解方程：
3.先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根．
4．阅读材料：对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1为这个代数式的“不动值”．
(1)关于x的代数式的“不动值”是 ．
(2)判断关于x的代数式是否有“不动值”，若有，请求出代数式的“不动值”；若没有，则说明理由．
(3)若关于x的代数式只有一个“不动值”，求a的值．
5．已知，是两个不相等的实数，且满足，．
(1)求式子的值；
(2)若与两数异号，求实数k的取值范围．
6．某公司主营铁路建设施工．
(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？
(2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值．
7．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数．
8．某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只．
(1)求从2023年到2025年的年平均增长率；
(2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由．
9．如图，在 ABC中，∠B=90 ，，，，、是 ABC边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒．
(1)________（用含的代数式表示）；
(2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值．
(3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值．
(4)点在运动过程中，通过计算说明能否把 ABC的周长平分？
10．某家具厂承接长方形实木桌面订单，设桌面的长为x分米，宽为y分米（，长和宽均为实数）．已知实数满足．
(1)求证：
(2)实际生产要求：桌面的长和宽均为正整数，且指定，同时满足，求这个桌面的长和宽．
参考答案
一、选择题
1．A
解：一元二次方程的一般形式为（），其中是一次项，为一次项系数，
又一元二次方程的一次项是，
该方程的一次项系数是．
故选：A．
2．A
解：是方程的根，
∴a×12+b×1+3=0，
即，
，
．
3．C
解：，
原方程化为 ，
移项得 ，
二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为．
故选：C．
4．B
解：由题意得，，
∴该一元二次方程为，
故选：B．
5．D
解：甲、方程化简得，甲写成，故甲解法错误；
乙、直接两边除以，未考虑的情况，会漏解，故乙解法错误；
丙、移项时符号错误，正确移项应为，丙写成，导致后续结果错误，故丙解法错误；
丁、化简得，配方得，得，即，解得，，解法完全正确；
综上可知丁的解法完全正确，选项D符合题目要求．
故选：D．
6．A
解：∵一元二次方程中，，，，
∴判别式，
、若方程有实数根，则，即，
解得，故正确，符合题意；
、若方程无实数根，则，即，
解得，故错误，不符合题意；
、当时，，
∴方程有两个相等的实数根，故错误，不符合题意；
、当时，，
∴方程无实数根，故错误，不符合题意；
故选：．
7．A
解：关于的方程的解是，，
方程的解是或，
解得，；
故选A．
8．C
解：①当时，方程满足条件的x的积为，故①正确；
②当时，方程，
此时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
此时，
∴该方程无解，
∴当时，不存在这样的实数根、能使，故②错误．
③，
∵，
∴，
∴
，
∴可取到最小值，最小值为0，故③正确；
④设方程的一个根为a，则的一个根为，则
∴，，
∴，
由，，得：，
∴，
整理得：，
∴，
∵m，n均为整数，
∴或或或，
解得：（舍去）或（舍去）或或，
当时，的判别式，的判别式，满足实数根条件，
当时，的判别式，的判别式，满足实数根条件，
∴符合条件的整数与一共有2组，故④正确．
综上，正确说法为①③④，共3个．
故选：C
9．B
解：∵ 方程为，
∴ 长方形的长为，宽为，小正方形的边长为．
∵ 小正方形的面积为64，
∴ ，即（边长为正）．
∵ 大正方形的边长为，大正方形的面积为，
∴ （大正方形边长为正）．
∵ ，，
∴ 两式相减得：，
即，解得．
将代入，得，
解得．
故选：B．
10．B
解：设这批椽的数量为株，一株椽的价钱为p文，
∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴，
又∵这批椽的价钱为216文，
∴，
将p代入得：，即，
解方程：，，
解得或（舍去），
∴，
，
总运费为文，
∴A、C、D正确，B错误．
故选：B．
二、填空题
1．
解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，即，
∴，
故答案为：．
2．5或
解：当，即时，
方程为：，
即，
解得：（舍去），；
此时，
当，即时，
方程为：，
解得：，（舍去）；
．
故答案为：5或．
3．2024
解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，
，
，
，，
解得：，，
将，代入，得，
，且
代数式的最小值是2024，
故答案为：2024．
4．
解：∵关于的一元二次方程有两个实数根．
∴．
解得 ．
由根与系数的关系可得：，．
将其代入得：
．
解得 ．
∴的取值范围为．
5．
解：由题意，方程的解是，
方程的解是，
可以发现，上述两个方程满足：
关于的一元二次方程，解是，其中、是常数，
∴方程，即的解为 ．
故答案为 ：．
6．125
解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
根据题意，得，
解得：或(舍去)，
三轮传染后总感染人数为，
故答案为：125．
7． 6
解：（）如图，
由于，要使是等腰三角形，只能，，
在 中，，
，解得，
故答案为：；
（）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况，
①如图，当时，
可得，
，
，
，
在 中，，
，
，
，即，解得；
②如图，当时，
可知，即，解得；
③如图，当 ，过点作，垂足为点，
则，
，
，
，
，
，解得；
综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形．
故答案为：，，．
8．
解：设参加此“哈洽会”分会场的公司有家，
依题意得：，
整理得：，
解得，（不符合题意，舍去），
即参加此“哈洽会”分会场的公司有家．
故答案为：．
三、解答题
1．（1）解：
或
解得，；
（2）解：
解得，；
（3）解：
或
解得，；
（4）解：
或
解得，．
2．解：设，
则，
因式分解，，
解得或，
当时，即
移项得，，
因式分解得，
解得或，
当时，即
移项得，，
因式分解得，
解得或，
综上，原方程的解为或或或．
3．解：
∵a是关于x的方程的根，
∴
∴
∴原式
4．（1）解：当时，则，
∴，
∴或，
解得或，
∴关于x的代数式的“不动值”是和2；
（2）解：该代数式没有“不动值”，理由如下，
当时，则．
∵，
∴原方程无实数根，
∴该代数式没有“不动值”；
（3）解：∵代数式只有一个“不动值”，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得．
5．（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根，
由根与系数的关系得：；
（2）解：方程有两个不相等的实数根，
判别式,
解得,
与两数异号,
,
解得,
综上所述，的取值范围是．
6．（1）解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米，
∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍，
∴，
解之得：，
∴桥梁施工最多是4千米．
（2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米，
设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，
∵总成本为254亿元，
∴，
解之得：，
由题意可知：二季度平地施工里程为千米，隧道施工里程为千米，桥梁施工里程为千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3，
∵二季度总成本与一季度相同，
∴，
即，
解之得：（舍去）或，
故．
7．设最小数为x，则最大数为，
，
，
解得（舍去），
所以小欧框出的最小数是12．
8．（1）解：设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意得，
解得（舍去）
答：从2023年到2025年的年平均增长率为；
（2）解：设，则，
由题意得，，
整理得，
解得或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴鸡场的长和宽分别为．
9．（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则．
已知，由，可得．
（2）点从向运动，速度为，，
故在上时，运动时间满足．
当是等腰三角形时，，则两腰为与
由，，令，
即，
解得．
验证：，符合在上的条件．
（3）当是以为底边的等腰三角形时：
此时，腰为．
如图1，则．
∵，
∴．
又∵ 在中，，
∴．
∴．
∴．
．
已知点的速度为，故．
当是以为底边的等腰三角形时：
此时，腰为．
如图2，则．
．
∴．
综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形．
（4） ABC周长为，若平分周长，则每部分为．
若在上，（）：
，，则，
令，得，但，不符合在上的条件．
若在上（）：
，．
周长被分成和，
即，与．
令，得（符合）；
验证：时，，，和为；
，，，和为，确实平分．
10．（1）解：方法一：，
根据韦达定理，可看作一元二次方程的两个根，
将，代入，方程化为：，
两边同乘以a得：，
原方程有两个不相等的实数根
，
，
方法二：，
，
．
∵，，
∴
．
（2）解：把代入，得
把，代入，
得：，
为一元二次方程的两个根，
解方程得：
答：长方形的长为5分米，宽为4分米．

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