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第一章《二次根式》单元测试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．当时，二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．与互为倒数
B．若则
C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等
D．若，则
9．已知，则的值为（ ）．
A．1 B．2 C． D．
10．已知多项式，下列说法正确的有（　　）个．
①若，则；
②若为整数，则整数x的值为2或6；
③的最小值为；
④令，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
1．比较大小： ______ （填 、或）
2．若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值______．
3．当时，化简的结果是__________．
4．计算：________．
5．将式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．所有符合条件的的值的和为_____
6．已知，则代数式的值是______．
7．已知，则___________．
8．现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为_________．
三、解答题（10小题，共66分）
1．已知实数x、y满足，求的立方根．
计算：．
3．如果一个三角形的三边的比例是，我们称它是“阶梯根式三角形”，比如：三角形的三边为“”或“”的都是“阶梯根式三角形”．
(1)已知下列三角形的三边，分别判断是否为“阶梯根式三角形”．
① ②
(2)“阶梯根式三角形”是直角三角形吗？判断并说明你的理由．
4．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如：
任务：
(1)分母有理化：___________；
化简“理想二次根式”：___________．
(2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值．
5．计算
(1)； (2)；
6．阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简：
解：因为且，所以，所以．
(1)仿照上述方法化简：①；②．
(2)比较与的大小．
已知．求的值．
当取什么值时，式子有最大值？请求出这个最大值．
已知，求式子的值．
10．已知，C点为射线上一动点，以为直角边在右侧构造等腰直角．
(1)如图1，连接，与相等吗？请说明理由；
(2)若，求；
(3)若，射线与射线交于点E，当 为等腰三角形时，求m与n的数量关系．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意；
D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．C
解：∵二次根式的被开方数需大于等于0，且分母不能为0，
∴，
解得，
∵分式，且，
∴分子，
解得，
∴综合两个不等式的解，x的取值范围是．
故选：C．
3．C
当时，
．
故选：C．
4．D
解：因为二次根式的被开方数必须为非负数，选项A中与的被开方数为负数，无意义，所以A错误不符合题意；
因为，所以B错误不符合题意；
因为，所以C错误不符合题意；
因为有意义时，即，所以，所以D正确符合题意；
故选：D．
5．B
∵最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，
对选项A，=，被开方数含有分母，不是最简二次根式，
对选项C，分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式，
对选项D，==，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，
对选项B，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，
∴选B.
6．B
解：过点A作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴根据勾股定理可得：，
即，
∴，
∵，
根据勾股定理可得：，
∴，
故选：B．
7．A
解：根据题意得：
，
．
故选：．
8．C
A.，不是互为倒数，选项错误；
B.若，由于，则，选项错误；
C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确；
D.由可得，结合可得，，则，选项错误；
故选：C
9．A
解：，
，
，
，
．
故选：A．
10．A
解：①当时，，故①正确；
②当整数时，则为整数，
为整数，
为整数，取整数，
当或或或时，为整数，故②错误；
③，
当时，的最小值为，故③错误；
④
，
，
，
，
，
，
故④错误，
故选：A．
二、填空题
1．
解：，，且
，
故答案为：
2．（答案不唯一）
∵属于真分数，
∴，且为整数，
∴可以取，即，
故答案为：（答案不唯一）．
3．1
解：因为 ，
所以 ，
因此．
故．
故答案为：1．
4．
解：．
故答案为：．
5．80
解：∵，
又∵式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．
则化简后是，其中为整数，
即可以转化为2乘以一个平方数，
令（为正整数），则，
又，解得，
∴满足条件的n的值为1，2，3，4，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴所有符合条件的的值的和为．
故答案为：80．
6．
解：把代入代数式得，
原式
．
故答案为：．
7．
解：，
，
，
．
故答案为．
8．60
解：正方形的面积为，故边长为 = cm．
将一组对边缩短 cm，
则缩短后的对边长度为 = cm．
另一组对边长度不变，仍为 cm．
因此长方形的面积为
=
=
= cm ．
故答案为：60．
三、解答题
1．解：∵实数、 满足，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
∴，
∴，
∵分母 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ 的立方根为，
∴的立方根为 ．
2．解：
3．（1）解：①将三边、、按从小到大排列为，，．
(两边同除以)，符合“阶梯根式三角形”的定义，故①是阶梯根式三角形；
②将三边、、化简为、、，按从小到大排列为，，．
，符合定义，故②是阶梯根式三角形；
（2）解：是直角三角形．理由如下：
设“阶梯根式三角形”的三边为，，．
，且，
，满足勾股定理的逆定理，
“阶梯根式三角形”是直角三角形；
4．（1）解：；
；
（2）解：
．
．
．
5．（1）解：
；
（2）解：
；
6．（1）解：①
．
②
；
（2）解：
．
7．解：∵，
∴，
，
∴
．
8．解：由题意，得，解得．
当，即时，有最大值，最大值为8．
9．解：由题意得，
，，
解得，，
原式
．
10．（1）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：当点C在上时，
∵，
∴，
同理（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
当点C在的延长线上时，
∵，
∴，
同理（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
综上，为或；
（3）解：．
如图，连接，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
∴只存在，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，即，
由（2）知，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

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