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【北师大版】七下数学全册知识点汇总
第一章整式的乘除
【1】单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如： 的系数为-2，次数为4，单独的一个非零数的单项式次数是0。
【2】多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如： 项有a 、-2ab、x、1, 二次项为( 一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2, 2, 1, 0, 系数分别为1, -2, 1, 1, 叫二次四项式。
【3】整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。
【4】同底数幂的乘法法则： (m，n都是正整数)
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意：底数可以是多项式或单项式。如：
【5】幂的乘方法则： (m，n都是正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：
幂的乘方法则可以逆用：即( 如：
【6】积的乘方法则：( (n是正整数)
积的乘方，等于各因数乘方的积。
【7】同底数幂的除法法则： 都是正整数，且m>n)n
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：
【8】零指数和负指数；
即任何不等于零的数的零次方等于 1。
是正整数)，即一个不等于零的数的-p次方等于这个数的p次方的倒数。
如：
【9】科学记数法
较大数的科学记数法：如：12090000=1.209×10 (保留一位数)
较小数的科学记数法：如：0.00000721=7.21×10 (第一个非零数字前零的个数)
【10】单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
注意：
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①、积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②、相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③、只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④、单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤、单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：
【11】单项式乘以多项式，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a + b+c)= ma+ mb+ mc (m,a,b,c都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。
如：
【12】多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
如：
【13】单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
如：
【14】多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即: (am+ bm+ cm)÷m= am÷m+ bm÷m+ cm÷m=a+b+c
【15】平方差公式：
【16】完全平方公式：
【17】完全平方公式( 之间的关系
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第二章 相交线与平行线
一、两直线的位置关系
1、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行(表示符号“//”)
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样(这里，我们把重合的两直线看成一条直线)判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合(因为两点确定一条直线)
2、对顶角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
3、余角：定义：如果两个角的和是90 ，那么称这两个角互为余角。
性质：同角或等角的余角相等。
4、补角：定义：如果两个角的和是180 ，那么称这两个角互为补角。
性质：同角或等角的补角相等。(了解邻补角)
5、垂线
(1)定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足表示符号“⊥”。
符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O：
(2)性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
(3)性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
6、垂线的画法：
(1)过直线上一点画已知直线的垂线；(2)过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；
②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
垂线的画法(以线段外过一点做线段的垂线，垂足不在线段上为例)
用直角三角板画垂线，可简单地说成：“一落”、“二过”、“三画”、“四标”.
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如图，线段BC，过点A作线段BC的垂线，垂足为点D.
7、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO 是垂线段。PO 是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
注意：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
二、两条直线平行的条件
1、同位角、内错角、同旁内角： 同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。(三线八角)
同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，这样的一对角叫做同位角。
内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
2、平行线的判定：注意：几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系。两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
简称：同位角相等，两直线平行。
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
简称：内错角相等，两直线平行。
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
简称：同旁内角互补，两直线平行。
补充平行线的判定方法：(1)平行线的定义：如果两条直线没有交点(不相交)，那么两直线平行
(2)平行于同一条直线的两直线平行。
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几何符号语言：
∵∠3=∠2 ∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)
∵∠1=∠2 ∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)
∵∠4+∠2=180° ∴AB∥CD (同旁内角互补，两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。平行线的判定是写角相等，然后写平行。
3、平行线的画法：
利用三角板的平移画平行线，其画法可以总结为：“一落”、“二靠”、“三移”、“四画”.
一落：三角板的一边落在已知直线；
二靠：靠紧三角板的另一边放上另一块三角板；
三移：使第一块三角板沿着第二块三角板移动，使其经过原直线的一边经过已知点；
四画：沿三角板过已知点的一边画出直线.这时所画直线就一定与已知直线平行.
4、平行公理——平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(与垂直公理相比较记)
5、平行线的性质：
(1)两直线平行，同位角相等。(2)两直线平行，内错角相等。(3)两直线平行，同旁内角互补。
第三章 变量之间的关系
1、变量、自变量、因变量、常量
变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。注意：变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。
常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.
2、函数的三种表示方法：
(1)列表法(用表格)上自下因
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采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
(2)解析法(关系式)后自前因
关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值
(3)图像法(用图象)横自纵因
对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象(这个图象就叫做平面直角坐标系)。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。表示的步骤是：
①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。
②描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(横轴或x轴)上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴(纵轴或y轴)上的点来表示因变量。
③连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。
3、理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义(坐标)，特别是图像的起点、拐点、交点
4、事物变化趋势的描述
对事物变化趋势的描述一般有两种：
(1)随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而增加(大))；
(2)随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐减小(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而减小)。
注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)等等。
5、估计(或者估算)
对事物的估计(或者估算)有三种：
①利用事物的变化规律进行估计(或者估算).
例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次(年)的变化情况(平均每次的变化量=(尾数一首数)/次数或相差年数)等等；
②利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值；
③利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.
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一、单个速度变化图象分析：
A、V﹣t图(速度与时间) B、S-t图(路程与时间)
图象分析： 线段OA 表示汽车正在加速行驶； 线段 AB表示汽车正在匀速行驶(速度v不变)； 线段 BC 表示汽车正在减速行驶； 线段 CD 表示汽车停止了( 图象分析： 线段 OA表示汽车正在离开出发地，并匀速行驶； 线段 AB 表示汽车停止了( S不变); 线段 BC 表示汽车正在返回出发地，依旧是匀速行驶； 线段CD表示已经回到了出发地了 (v =0，S=0)
二、多个速度变化图象分析：
1.增长速度
三种变量之间关系的表示方法优缺点分析：
优点 缺点 备注
列表法 对于表中自变量的每一个值可以不通过计算，直接把因变量的值找到，查询时很方便 只能列出部分自变量与因变量的对应值，难以反映变量间的变化全貌，而且从表中看不出变量间的对应规律 通常自变量表示在表格的上方，因变量表示在表格的下方
解析法 简明扼要，规范准确 有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示，求对应值也需要逐个计算，比较麻烦 通常自变量表示在式子的右边，因变量表示在式子的左边
图象法 形象直观，可以很形象地反映事物变化的全过程，变化的趋势和某些性质(因变量的增减性，点的对称，最大值或最小值)等 图象是近似的，局部的，观察或由图象确定的因变量的值往往是不准确的 通常自变量用水平方向的数轴(横轴)上的点来表示，因变量用竖直方向的数轴(纵轴)上的点来表示
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第四章 三角形
一、三角形及其有关概念
1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是 A、B、C的三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：
(1)三角形的两边之和大于第三边。
(2)三角形的两边之差小于第三边。(三角形的第三边大于两边之差小于两边之和)
(3)作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系：
(1)三角形三个内角和等于 180°；
(2)直角三角形的两个锐角互余。
拓展：
①三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
②外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，这个性质叫做三角形的稳定性。
四边形具有不稳定性。
6、三角形的分类：
(1)三角形按边分类：
(2)三角形按角分类：
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把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段：
(1)三角形的角平分线：
定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点(内心)。交点在三角形的内部。
(2)三角形的中线：
定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点(重心)，交点在三角形的内部。
(3)三角形的高线：
定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。
性质：三角形的三条高所在的直线交于一点(垂心)。
锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；
直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；
钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；
区别 相同
中线 平分对边 三条中线交于三角形内部 ①都是线段 ②都从顶点画出 ③所在直线相交于一点
角平分线 平分内角 三条角平分线交于三角形内部
高线 垂直于对边 (或其延长线) 锐角三角形：三条高线都在三角形内部
直角三角形：其中两条恰好是直角边
二、图形的全等
全等图形：定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。性质：全等图形的形状和大小都相同。全等三角形
1、全等三角形及有关概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的表示：
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
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3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，形状大小相等。
4、三角形全等的判定：
(1)边边边：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
(2)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
(3)角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”)
(4)边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
拓展：直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有“HL”定理(斜边、直角边定理)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
5.证题的思路：
注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
②全等三角形面积相等.
6、用尺规做三角形(依据判定)“SAS”“ASA”“SSS”
A、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
B、五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线；
题目一：已知三边作三角形。
已知:如图,线段a, b, c.
求作: △ABC,使AB=c, AC=b, BC=a.
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a
(已知三边作三角形)
作法：
(1)作线段AB=c;
(2)以A为圆心b为半径作弧，
(3)以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C；
(4)连接AC, BC。则△ABC 就是所求作的三角形。
题目二：已知两边及夹角作三角形。
已知:如图,线段m, n, ∠α.
求作: △ABC,使∠A=∠α, AB=m, AC=n.
(已知两边及夹角作三角形)
作法：
(1)作∠A=∠α;
(2)在 AB 上截取AB=m , AC=n;
(3)连接BC。则△ABC 就是所求作的三角形。
题目三：已知两角及夹边作三角形。
已知:如图, ∠α, ∠β,线段m.
(已知两角及夹边作三角形)
求作: △ABC,使∠A=∠α, ∠B=∠β, AB=m.
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作法：
(1)作线段 AB=m;
(2)在 AB的同旁作∠A=∠α,作∠B=∠β, ∠A 与∠B 的另一边相交于C。
则△ABC 就是所求作的图形(三角形)。
第五章 生活中的轴对称
一、轴对称
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。
3、性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
二、等腰三角形
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)
(3)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形。
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等
三、线段的垂直平分线(简称中垂线)：
定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
作法：作已知线段的垂直平分线。
已知：线段AB
求作：AB 的垂直平分线。
作法：
(1)分别以A、B为圆心,大于 AB/2的长为半径作弧两弧相交于点 C 和 D；
(2)作直线CD.
则直线CD 就是线段 AB 的垂直平分线。
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四、角平分线的性质：
1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3、作已知角的角平分线。
已知:如图, ∠AOB,
求作:射线OP,使∠AOP=∠BOP (即OP 平分∠AOB)。
作法：
(1)在OA 和OB分别截取OM, ON 使OM=ON
(2)分别以 M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交∠AOB 内于 P;
(3)作射线OP。
射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
五、等边三角形：了解
1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：
(1)具有等腰三角形的所有性质。(2)等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
3、等边三角形的判定
(1)三边都相等的三角形是等边三角形。(2)：三个角都相等的三角形是等边三角形
(3)：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
六、轴对称的性质、运用(两线段之和最小)
1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点(对称点)，能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。
2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
七、镜面对称
1.当物体正对镜面摆放时，镜面会改变它的左右方向；
2.当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向；
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3.如果是轴对称图形，当对称轴与镜面平行时，其镜子中影像与原图一样；
学生通过讨论，可能会找出以下解决物体与像之间相互转化问题的办法：
(1)利用镜子照(注意镜子的位置摆放)；(2)利用轴对称性质；
(3)可以把数字左右颠倒，或做简单的轴对称图形；
(4)可以看像的背面；(5)根据前面的结论在头脑中想象。
第六章 概率初步
1、在一定条件下一定发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件，叫做不可能事件；必然事件和不可能事件统称为确定事件。有些事情事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件。
2、在试验次数很大时，不确定事件发生的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性。一般地，把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P (A).
3、注意：在大量重复试验中，我们常用不确定事件发生的频率来估计事件发生的概率
说明概率是个定值，而频率随不同试验次数而有所不同，是概率的近似值，二者不能简单地等同.
4、事件A发生的概率记作 P (A)则: 0≤P(A)≤1。
必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，不确定事件发生的概率P(A)为0与1之间的一个常数。
5、等可能事件概率
(1)一次试验中，可能出现的结果有限多个.
(2)一次试验中，各种结果发生的可能性相等.
设一个实验的所有可能的结果有n种，每次试验有且只有其中的一种结果出现，如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个实验的结果是等可能的。
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为： 注意: 0≤P(A)≤1
一共有n种结果，每种结果出现的可能性都相同，事件A出现的结果有m种，所以事件A发生的概率为
6、游戏是否公平：游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同，即获胜概率相同。
7、摸到红球的概率：P(摸到红球)
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