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人教七年级数学下知识点总结
第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.1 相交线
知识点一 邻补角
1.定义:有一条公共边,另一边互为反向延长线， A D
具有这种关系的两个角互为邻补角.
如图,直线 AB,CD 相交于点O， c B
则邻补角有:∠AOC与∠BOC，∠AOD;∠BOD与∠BOC，∠AOD. 邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角. 2.性质:邻补角互补.
温馨提示:
邻补角是成对出现的,如果两个角互为邻补角,那么这两个角在位置和数量
上都存在相对关系,位置上两个角相邻,数量上两个角相加等于 180°.
知识点二 对顶角 A i C
1.定义:如果两个角有一个公共顶点，而且一个角
的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这
两个角互为对顶角.如图，直线 AB.CD 相交于点0，
∠1与∠2 有公共的顶点O,而且∠AOC的两边分别
D B
是∠BOD两边的反向延长线,这样的两个角叫对顶角.
2.特点:(1)顶点相同;(2)角的两边互为反向延长线;(3)是成对出现的.
3.理解对顶角的要领:
一看是不是两条直线相交所成的角,对顶角与相交线是唇齿相依的,哪里有相交直线,哪里就有对顶角,反过来,哪里有对顶角,哪里就有相交线;
二看是不是有公共顶点;
三看是不是没有公共边.
符合这三个条件时,才能确定这两个角是对顶角,只具备一个或两个条件都不行.
易错点 准确地找出对顶角
需两看:(1)看是不是两条直线相交所得的角;
(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.对顶角总是
成对出现的,它们是互为对顶角;一个角的对顶角只有一个,当两条直线相交时,
有两对对顶角.
5.1.2 垂线
知识点一 垂线的定义
定义:当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时,就说这两条直线是互相垂直的,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交
D 点叫垂足. DA B
如图,直线 AB,CD互相垂直，
记作AB⊥CD或CD⊥AB,读作 AB垂直
f
于CD,垂足为 O.
温馨提示:
(1)两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况,特殊在交角都是直角,垂
线是其中一条直线对另一条直线的称呼.如图,AB是CD的垂线，也可以说CD是AB的垂线.
(2)如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直时,特指它们所在的直线互相垂直.
(3)根据两条直线互相垂直的定义可知:两条直线互相垂直,则四个交角为直角;反之,若两条直线交角为直角,则这两条直线互相垂直.
知识点二 垂线的性质
性质1:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.
知识点三 点到直线的距离
定义:如图所示,过点A作直线l的垂线, A B l
垂足为 B,线段AB叫做垂线段,线段 AB的
长度叫做A到直线l的距离.
点到直线的距离是一个数量，只有通过度量才能得到.
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
知识点一 同位角 C l B
定义:两个角的一条边在截线的同旁,另一条边
A i
在截线上,这样的两个角是同位角.如图,∠1与∠2,
∠3 与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8都是同位角，辨别 42
同位角时要注意位置上的两个“同”字,在第三条直 846
线的同旁,被截两直线的同方向.同位角指的是两个角 的位置关系,与角的大小没有关系.
同位角基本形状为“F”型,如图中的几种情形:
亽 t d i t t i
h
知识点二 内错角
定义:两个角在截线的两旁,在被截线的内侧, C l
这样的两个角是内错角.如图∠7与∠2，∠5与∠4
A i D
都是内错角.辨认内错角时,要看清两个角是否在被
截两直线之间,是否在截线的两旁.内错角指的是两 台步
个角的位置关系,与角的大小没有关系. 内错角基本形状为“Z”型.如图中的几种情形: Bit
i
2 i i s
温馨提示:
判断内错角的关键在于从复杂的图形中找到构成这两个角的“三线”,有时
需要将有关部分“抽出”或把无关的略去不看,有时又需要把图形补全.
知识点三 同旁内角 C
定义:两个角在截线的同旁,在被截线的内侧,
A i 京 D
这样的两个角是同旁内角。如图，∠7 与∠4，
B
∠5 与∠2 都是同旁内角. 要看清两个角是否
在截线的同旁,是否在被截两直线之间.同旁
内角指的是两个角的位置关系,与角的大小没有关系.
易错点 识别同位角、内错角和同旁内角出错
在复杂图形中识别一个角的同位角、内错角和同旁内角时,为防止漏解,可分情况讨论,即把这个角的两边分别作为共线边(即截线)来讨论.
5.2 平行线及判定
5.2.1 平行线
知识点一 平行线
1.定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线. a b
如图,直线a与b平行，记作a//b.
2.平行线的定义包括三层含义:
(1)“在同一平面内”,就是说平行线是在同一平面而言的; (2)平行线指定的是“两条直线”,而非两条射线或线段; (3)“不相交”就是说两条直线没有交点.
3.同一平面内,不重合的两条直线的位置关系有两种: (1)相交;(2)平行.
知识点二 平行公理以及推论
1.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 2.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,即若直线a//b,b/c,则a//c。
对平行公理的理解要注意两点:
(1)“直线外一点”,说明了点与直线的位置,即点在直线外，而不在直线上;
(2)“有且只有一条直线”,“有”说明存在一条直线,“只有”说明这样的直线是唯一的.
易错点 对平行公理理解不透彻，造成判断错误
平行线的定义中要注意“同一平面内、不相交、两条直线”这三个限制条件;
平行公理中要注意“经过直线外一点”这一限制条件.解题时容易忽略这些限制条
件,进而使得判断错误.
5.2.2 平行线的判定
知识点一 同位角相等,两直线平行 A 3 4 ˋ2 E 13
两条直线被第三条直线所截,如果同位角
相等,那么这两条直线平行. D
C
简称:同位角相等,两直线平行. F
如图，∠1与∠2是同位角，∠1=∠2,则直线 AB平行于CD. 用几何符号表示:因为∠1=∠2,所以AB//CD.
知识点二 内错角相等,两直线平行 A y 4 E B
两条直线被第三条直线所截,如果内错角
相等,那么这两条直线平行.
c D
简称:内错角相等,两直线平行. F
如图，∠1与∠3是内错角，∠1=∠3，则直线 AB平行于CD.
用几何符号表示:因为∠1=∠3,所以AB//CD.
知识点三 同旁内角互补,两直线平行 A 3 4 ˋ2 E 13
两条直线被第三条直线所截,如果同旁
内角互补,那么这两条直线平行. C D
简称:同旁内角互补,两直线平行. F
如图，∠4 与∠3 是同旁内角，∠4+∠3=180°，则直线AB平行于 CD.用几何符号表示:因为∠4+∠3=180°,所以AB//CD.
易错点 不能准确识别截线与被截线,从而误判两直线平行
要识别一对角是哪两条直线被第三条直线所截而成的角,要从组成角的两边
人手:两个角的共线边所在直线就是截线,即第三条直线,另外两边所在的直线就
是两条被截线.正确地区分截线和被截线是正确判断两直线平行的关键.
5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
知识点一 平行线的性质
性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,
简称:两直线平行,同位角相等. A 3Lf E B
如图,已知 AB// CD,我们可以得到∠1=∠2.
c 4 D
用几何符号表示为:因为 AB//CD,所以∠1=∠2
F
(两直线平行,同位角相等).
性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等. 简称:两直线平行,内错角相等.
如图,已知 AB/ CD,我们可以得到∠2=∠3.
用几何符号表示为:因为 AB/CD,所以∠2=∠3(两直线平行，内错角相等).同时我们也可得到∠4=∠5.用几何符号表示为:因为 AB//CD,所以∠4=∠5(两直线平行,内错角相等).
性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简称:两直线平行,同旁内角互补.如图,已知 AB//CD,我们可以得到∠5+∠2=180°.用几何符号表示为:因为AB//CD,所以
∠5+∠2=180°(两直线平行，同旁内角互补).同时我们也可以得到/3+/ 4=180°,用几何符号表示为:因为AB//CD,所以∠3+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补).
温馨提示:
三条性质共同的前提是两条平行线被第三条直线所截,特别要注意“平行”
二字不能去掉，如果去掉“平行”就变成，两条直线被第三条直线所截，同位角
相等,这显然是错误的.因为两条直线被第3条直线所截，同位角不一定相等，只
有两直线平行时，同位角才相等。
知识点二 平行线的性质与判定的综合
平行线的性质和判定是本章最重要的
知识,是后续学习的基础,两者通常密不
可分.由于平行线的判定和性质的条件和
结论互逆,在应用两者解决问题时很容易
混淆,因此必须明确两者的共同点、区别
与联系.
1.从顺序看:虽然判定和性质所用文字完全相同，但它们的顺序颠倒了,这正是它们之间的本质区别.
2.从结构上来看:平行线的性质的前提条件是两直线的位置关系怎样,结论是具有这样特点的两直线的某些角具有怎样的关系;而平行线的判定刚好相反，其前提条件是某些角的关系怎样,结论是相关直线的位置关系怎样.
3.从意义来看:平行线的性质是两直线“平行”以后才有的“性质”,即在两直线平行线的“已知”条件下得出的结果;而平行线的判定是“判定”两直线平行,即在某些“已知”条件下,得到两直线平行. 4.从作用来看:平行线的性质是说明两个角相等或互补的依据;而平行线的判定是说明两直线平行的依据.
5.从数和形来看:如果题目要说明“数量关系”用性质;如果题目要说明“位置关系”用判定.
平行线的性质描述的是“数量关系”,它的前提是“两直线平行”,然后得出角的相等或互补的关系,是由“位置关系”到“数量关系”,而平行线的判定是以角的相等或互补为前提,推导得到的两直线平行,是从“数量关系”到“位置关系”.
温馨提示:
在应用平行线的判定和性质解题时，关键是看清楚题目中的平行关系是作为
条件还是在结论中,以便选择适当的定义来解题.无论是运用平行的判定还是运用平行线的性质，都应先寻找截线.因此必须熟悉基本图形——“三线八角”.
5.3.2 命题、定理、证明
知识点一 命题
定义:判断一件事情的语句,叫做命题.
温馨提示:
如果一个语句没有对一个事件的正确与:否作出任何判断,它就不是命题. 知识点二 命题的分类
命题可分为真命题和假命题.我们把正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题
要说明一个命题是一个假命题,通常可以举岀一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论。这种例子称为反例.
温馨提示:
对于假命题,在题设成立时,结论一定错误.事实上,只要你不能保证结论
一定成立,这个命题就是假命题了.因此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了.
知识点三 命题的组成
每个命题都有条件和结论两部分组成.条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.
命题写成“如果……那么……”的形式时,以“如果”开始的部分是条件,“那么”后面的部分是结论.
温馨提示:
有些命题没有写成“如果……，那么……”的形式,题设和结论不明显.对于
这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如
果……,那么……”的形式.
知识点四 定理
定义:经过推理得到的真命题叫做定理.
如“对顶角相等”;“内错角相等,两直线平行”和“垂直于同一条直线的两直线互相平行”等,它们都是根据已知条件,定义或公理,经过推理得到的真命题。
知识点五 推理与证明
要判断一个命题是不是真命题仅仅靠经验、观察、实验和猜想是不够的,必须一步一步,有根有据地进行推理.推理的过程叫证明. 证明是由条件(已知)出发,根据已给出的定义、定理、已经证明过的定理,经过一步一步的推理,最后证实结论(求证)的过程.
要证明一个命题的正确性,要按已知一求证一证明的顺序和格式写出,其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论.
5.4 平移
知识点一 平移的定义
定义:在平面内,一个图形沿某一个方向移动一定的距离,这种图形的变换叫平移.
温馨提示:
(1)平移时,原图形上所有的点都沿同一个方向移动相同的距离，原图形上一
点A平移后成为点A,这样的两点叫对应点.
(2)平移与平行线有关,平移可将一个角、一条线段,一个图形平移到另一个
位置,使分散的条件集中到一个图形上，便于问题解决.
(3)图形平移是由平移的方向和距离决定的.如果一个图形由原来的位置平移到
另一个位置,那么这个图形平移的方向就是这个图形上的某一点到它对应点的方向,这个图形平移的距离,就是连接一对对应点的线段的长度.
知识点二 平移的性质
性质:平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小.
1.平移后的图形与原来图形的对应线段相等且平行(或在同一条直线上).
如图,AB=A'B',AC=A'C', BC= B'C' ; A C B A c Q
AB // A'B', AC// A'C', BC // B'C'.
2.平移后的图形与原来图形的对应角相等. P
如图，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'. 3.平移后的图形与原来的图形的对应点连线相等 B
且平行(或在同一条直线).如图,AA'=BB'=CC' ，AA'// B B'//CC'. 4.平移后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化.
可以发现:在平移的过程中,图形上的每一个点都向相同的方向平移了相同的距离.
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第六章 实数 6.1 平方根 1、2、3…
第一课时 算术平方根 √2、√3…
知识点一 算术平方根
1.定义:如果一个正数x的平方等于a，即x =a。那么这个正数x叫a的算术平方根.正数a的算术平方根表示为:√a,读作“根号a”,a 叫做被开方数。
2.规定:0 的算术平方根是 0.
温馨提示:
(1)根据算术平方根的意义可知:正数a的算术平方根√a 具有双重非负性, 即a≥0，√a≥0
(2)一个正数的平方根有两个,但算术平方根只有一个.
(3)√a 实际上省略了~a中的根指数2,因此√a也读作“二次根号 a”.
知识点二 估算
求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值,一般采用夹逼法.所谓“夹”就是从两边确定取值范围.而“逼”就是一点一点加强限制，使取值范围越来越小,从而达到理想的精确度.
估算一个正数(非完全平方数)的算术平方根是用有理数进行估计,利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方 数的算术平方根的大小。
知识点三 比较大小
两个正数的算术平方根直接运用“被开方数大的算术平方根也大”来进行比较.如果根号外面有负号，先比较它们的绝对值,然后利用“绝对值大的反而小”进行比较.
知识点四 用计算器计算一个数的算术平方根
操作程序:首先按“√ ”键,接着输入被开方数，最后按“=”键显示其算术平方根的值.
1.如果一个正数是完全平方数,那么它的算术平方根是准确值; 2.如果一个正数是非完全平方数,那么它的算术平方根是近似值.
第二课时 平方根
知识点一 平方根
1.定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根,也叫做二次方根.
2.性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数.0的平方根是0,负数没有平方根.
3.表示法:我们用√a 表示正数a的正的平方根,读作:“根号a”,另一个负的平方根记作-√a ,读作:“负根号a”.所以一个正数的平方根可表示为:+√a ,其中 a叫做被开方数.
温馨提示:
(1)因为任何数的平方都是非负数，所以负数没有平方根.
(2)根据平方根的意义,我们可以用平方来求一个正数的平方根.
知识点二 开平方
1.定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.
2.性质:(1)负数没有平方根,所以不能开平方.(2)开平方与平方互为逆运算.将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.
6.2 立方根
知识点一 求一个数的立方根
1.定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根,也叫做三次方根.
2.性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;0 的立方根是 0.
3.表示法:我们用√a表示a的立方根,读作:三次根号a,3是根指数，a叫做被开方数.
温馨提示:
(1) 依据立方根的性质可知:任何一个数都有它唯一的立方根,且互为相反数
的两个数的立方根也互为相反数.
(2)根据立方根的意义,我们可以用立方来求一个数的立方根.
知识点二 开立方
1.定义:求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
2.性质:开立方与立方互为逆运算,所以我们可以借助立方运算求出某些数的立方根,也可利用立方运算检验开立方是否正确.
知识点三 利用计算器求立方根
首先按“√ ”键,接着输人被开立方的数,最后按“=”键显示其立方根的值.
如果一个数是某整数的立方,那么显然这个数的立方根是一个整数即准确值;否则,该数的立方根就是一个近似值.
6.3 实数
第一课时 实数
知识点一 无理数
1.定义:无限不循环小数叫做无理数.
2.判别方法:一看是否是无限小数;二看是否是不循环小数,即只要满足“无限”和“不循环”两个条件即可.
3.无理数与有理数:从小数观点看,无理数是无限不循环小数,不能化为分数;而有理数包括有限小数和无限循环小数,都能化为分数. 温馨提示:
(1)带根号的数不一定是无理数，比如√ 4.
(2)无理数也不一定带根号,比如
(3)无理数都是无限小数,但无限小数不一定是无理数.
知识点二 实数以及分类
1.定义:有理数和无理数统称为实数.
2.分类:
(1)依据实数定义,我们可以把实数进行如下分类:
实数 有理数：（整数、分数）有限小数或无限循环小数 无理数: 无限不循环小数
(2)实数还可按大小进行分类:
正实数（正有理数、正无理数）
实数 0
负实数（负无理数、负有理数）
温馨提示:
某些数的平方根或立方根是无理数,但带根号的数并不都是无理数,如:√9, √16,一√27,…. 3
易错点:对实数分类把握不清，容易分漏或分重
1.无论按哪一种标准把实数分类,都要做到不重不漏.
2.0 既不是正实数也不是负实数.
第二课时 实数的有关概念和运算
知识点一 实数的有关概念
1.实数与数轴的关系:实数与数轴上的点是一一对应的. 2.相反数:实数a的相反数是-a,且0的相反数是0. 3.倒数:如果a表示一个非零实数,那么一与a互为倒数. à
4.绝对值:实数a的绝对值表示为| a｜.
温馨提示:
(1)数轴上的点不仅仅可以表示有理数还可表示无理数,即可以表示任意一个实数.
(2)每一个实数都可以用数轴上的点来表示.数的范围扩大到实数以后,以前学过
的有理数的相反数和绝对值及倒数的意义仍适用.
(3)如果a与b互为相反数,那么a+b=0.
(4)任何实数的绝对值都是非负数,互为相反数的两个数的绝对值相等.
(5)如果a与b互为倒数,那么ab=1.
知识点二 实数的有关运算
在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方运算.
1.运算法则及运算律:有理数的运算法则及运算律在实数范围内仍成立. 2.运算顺序:与有理数的运算顺序相同.先乘方，后乘除,最后算加减;同级运算从左到右依次进行运算;有括号的先算括号里面的.
温馨提示:
(1)当遇到运算中有无理数参与且需要求出结果的近似值时,要依据要求的精确度
用近似值代替无理数,再进行计算.
(2)-1的奇次幂是一1,一1的偶次幂是 1.
章末知识汇总
题型必会
类型一 正确区分平方根与算术平方根
1.区别:
(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0 有一个平方根,是0本身;负数没有平方根.
(2)一个正数的算术平方根只有一个,非负数的算术平方根一定是非负数.
(3)表示方法不同,正数a的平方根,表示为士√a 正数a的算术平方根表示为√a. .
2.联系:
(1)二者有着包含关系:平方根中包含算术平方根,算术平方根是平方根中的非负的那一个.
(2)存在条件相同,非负数才有平方根和算术平方根.
(3)零的平方根和算术平方根都是零
类型二 对无理数的概念的理解
1.易与无理数相混淆的概念:
(1)无理数不是无限小数,也不是不循环小数.确切地说,无理数是无限不循环小数.
(2)无理数不是带根号的数,如π.
(3)无理数不只是开方开不尽的数,只能说它包括开方开不尽的数. 2.对定义的理解:
判别一个数是不是无理数,一定要依据定义,看它是不是“无限”且“不循环”.
类型三 实数大小比较的常用方法
引进无理数后,实数之间仍可进行大小的比较,但较有理数之间的大小比较复杂了些.我们常用的比较实数大小的方法有以下几种:
1.比较绝对值法:
该方法常用于两负数间的大小比较,即两负实数,绝对值大的反而小. 2.比较平方法:
当被比较的两数中含有无理数时，可先分别将这两数平方,再进行比较.
3.比较平方根法:
当有理数与无理数之间进行大小比较时,有时可先将有理数转化为含根号的形式,再利用“被开方数大的,算术平方根也大”来进行比较. 4.取近似值法:
比较含有无理数形式的两个数的大小时,也可以先用计算器求出它们的近似值,不过取它们的近似值时,要取相同的精确度,再通过比较近似值的大小,得到被比较两数的大小.
5.作差比较法.
作差法的依据为:若a-b0,则a>b.
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第七章 平面直角坐标系
7.1 平面直角坐标系 yo x
7.1.1 有序数对
知识点一 有序数对
定义:有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 有序数对记作(a,b).
温馨提示:
数对必须是由两个数组成,有序数对的概念含有两个要点，一是“有序”,
二是“数对”有序就是有顺序,不可随意交换,如(a,b)和(b,a)这两个数的顺
序不同,含义不同.当a=b时,它们表示同一个有序数对,a≠b时,它们表示不同的有序数对.
知识点二 利用有序数对表示一个位置
物体在平面内的位置需从横向和纵向两个方面来确定,因此可以利用有序数对(a,b)来准确的表示物体的位置.有序数对(a,b)表示一个物体位置时，·般用a表示物体的横向位置,用b来表示物体的纵向位置. 确定物体位置常用的方法： 行列定位法：用排数、列数表示位置.
经纬度定位法：通过地球上的经度和纬度确定一点在地球上的位置，地图
上，水平方向的线表示纬度，竖直方向的线表示经度.
方格纸定位法：在方格纸上，格点的位置由横向格数与纵向格数确定，设横
向格数为a，纵向格数为b，则可把一个格的位置标记为 （a，b），通常横向格数写在前，纵向格数写在后，中间用逗 号隔开。
方向角，距离定位法：通过测定，待定点到一个已知点的距离和方向角所进
行的一种定位长在航海中应用。
有序实数对中，数的顺序是事先规定好的，顺序不能颠倒，顺序不同含义也不同.
7.1.2 平面直角坐标系
知识点一 平面直角坐标系
1.平面直角坐标系的定义:在平面内,两条互相垂直且有公共 原点的数轴组成平面直角坐标系,简称直角坐标系.x轴、y轴通常分别置于水平位置和竖直位置,坐标原点用0表示.建立了平面直角坐标系以后，坐标轴把坐标平面分成四个象限,即象限以坐标轴为界限,按逆时针方向依次为:第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.
2.坐标的定义:平面内的任意一点都可以用一个有序数对来表示,这个有序数对就叫做这个点的坐标.
3.平面直角坐标系具备以下特征:
(1)有两条数轴,且互相垂直,并有公共原点; (2)通常取向右、向上为正方向;
(3)单位长度一般相同.
温馨提示:
(1)任意点P(x,y),它的横坐标x和纵坐标y的顺序是不能任意交换
的,A(3,2)和B(2,3)表示两个不同的点.
(2)对于坐标平面内的任意一点P,存在唯一的一对有序实数(x,y)和它对应;反过来,对于任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内有唯一的P点和它对应.
知识点二 象限内点的坐标特征
1.各象限内点的坐标的符号特征：第一象限（+，+);第二象限(一,+);第三象限(一,一);第四象限(+,一).
2.坐标轴上点的坐标的特征:x轴的正半轴(十,0);x轴的负半轴(一,0);y轴的正半轴(0,十);y轴的负半轴(0,一);坐标原点O的坐标为(0,0).
第二象限 第一象限
(-,+) (+,+)
0
第三象限 第四象限
(-,-) (+,-)
温馨提示:
(1)直角坐标系中的坐标是一对“有序”数对,没有理解坐标中两个数的“有序”性,或没有严格按“有序”性来思考问题,导致横坐标与纵坐标颠倒出错,还有一部分学生出错的原因是看不出x轴上的点的纵坐标,y轴上的点的横坐标.
(2)没有抓住四个象限中的点的坐标的符号特征,不会利用坐标中的符号特点来分析问题.
知识拓展:
1.两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征:
(1)第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标相等; (2)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数.
2.平行于x轴、y轴的直线上的点的坐标特征: hay
如图所示,直线l //x轴，l //y轴.因为由l 上的任意
Mc
一点向y轴作垂线,垂足都是同一个点 M,所以l 上
i o
所有点 的纵坐标都相同.因为由l 上的任意一点向x轴
作垂线,垂足都是N,所以l 上所有点的横坐标都相同.
7.2 坐标方法的简单应用
7.2 .1 用坐标表示地理位置
知识点一 建立坐标系用坐标表示点的位置
1.建立坐标系,选择合适的参照物为原点,确定x轴，y轴的正方向; 2.根据具体问题确定单位长度;
3.在坐标平面内画出符合题意的点,写出各点坐标和各个地点名称. 温馨提示:
要说明坐标轴上的单位长度,一般地,两轴单位长度要统一.
知识点二 用方位角和距离表示物体的位置
以某点为中心,用某个方向(方向角)加上与该中心点的距离来确定一个点的位置.
温馨提示:
利用方向角和距离确定物体的位置时，必须具备两个数据:一是方向;二是距离.在描述位置时,一般先指出方向角,再指出距离,二者缺一不可.
易错点：用坐标法表示地理位置时建立平面直角坐标系的叙述及表示点 的坐标时易出错
在建立平面直角坐标系后,书写坐标时,易混淆各点的特征.
7.2 .2 用坐标表示地理位置
知识点一 点在坐标系中的平移
在平面直角坐标系内,将点(x,y)向右平移m个单位长度后,得到的对应点的坐标是(x+m,y);将点(x,y)向左平移m的单位长度,得到对应点坐标为(x -m,y).在平面直角坐标系中,将点(x,y)向上平移n的个单位长度后,所得对应点的坐标是(x,y+n);将点(x,y)向下平移n个单位,所得的对应点的坐标是(x,y-n).根据点的平移,可确定点平移后的点的坐标.
温馨提示:
确定平移后的点的坐标,应先根据已知条件确定平移方式,然后再根据平移
与点的坐标变化的关系确定平移后点的坐标.可简化为“上加下减,右加左减”.
知识点二 图形在坐标系中的平移
在平面直角坐标系中,如果一个图形的各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数m,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移m个单位长度;如果把它的各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数m,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移m个单位长度.反之亦成立. 在平面直角坐标系中,画平移后的图形的实质是，先根据平移的特征确定特殊点的坐标,然后再描点画出图形.
章末知识汇总
题型必会
类型- 实际生活中确定位置的常用方法
确定一个物体的位置的方法由多种,但不管用哪 再 种方法,确定物体位置时一般需要两个量.
1.排数+列数
2.经度+纬度
3.方位角+距离
类型二 建立直角坐标系确定物体的位置
类型三 图形在坐标系内的平移
类型四 规律探究题
人教七年级数学下知识点总结
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
知识点一 二元一次方程(组)的定义
1.定义:方程含有两个未知数,并且所含未知数的次数都是1的方程叫做二元一次方程.其一般形式是 ax+by=c ( a,b,c都是常数,且
a≠0,b≠0).
2.一个方程是二元一次方程的条件有三个:
(1)必须含有两个未知数;
(2)所含未知数的项的次数都是1.
(3)必须是整式方程,这三者缺一不可.
3.二元一次方程组:含有两个未知数,每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组. 温馨提示:
(1)含有字母系数的方程,不能忽略未知数的系数不等于零的隐含条件;
2ㄨty3
(2)由两个二元一次方程组成的方程组不一定就是二元一次方程组如 a-b=1，
,就不是二元一次方程组;
(3)由两个一元一次方程组成的方程组也可能是二元一次方程组，如 2x+1=3, 93y14
就是一个二元一次方程组,判断一个方程组是不是二元一次方程组，我们是看整
个方程组里面是不是含有两个未知数及未知数的次数是否为1.
知识点二 实际问题中的二元一次方程组模型
利用二元一次方程组解决的问题一般含有两个未知数,也能找到两个相等关系,根据相等关系列出二元一次方程组.
知识点三 二元一次方程的解
定义:适合二元一次方程的一组未知数的值,叫做二元一次方程的一个解.
温馨提示:
(1)二元一次方程的一个解是指适合二元一次方程的一组未知数的值,如
x=2,y=1是2x -y=3的一个解,不要看成两个.
(2)二元一次方程的解有无数个,即有无数多对数适合这个二元一次方程.
知识点四 二元一次方程组的解
定义:二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解. 温馨提示:
判断一组数是不是一个二元一次方程组的解,就是看这组数是否适合每个方程,若适合就是，若不适合,就不是.
8.2 消元—解二元一次方程组
第一课时 代入消元法—解二元一次方程组
知识点一 用代入消元法解二元一次方程组
1.定义:解方程组时,先将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并把它代人另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程,这种解方程组的方法
叫代入消元法,简称代入法.
2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤是:
(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有x(或y)的代数式表示y(或x)，即变成 y=ax+b(或x=ay+b)的形式. (2)将 y=ax+b(或x=ay+b)代人另一个方程中，消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元一次方程;
(3)解这个一元一次方程,求出x(或 y)的值;
(4)把求得的r(或v)的值代人y=ax+b(或x= ay+b)中,求出y(或x)的值;
(5)把求得的xy的值用“{”联立起来,就是方程组的解.
温馨提示:
(1)正确用代入法解二元一次方程组的一般步骤.
(2)从方程组中选一个系数比较简单的方程变形.
(3)求得的两个未知数的值要用大括号括起来.
知识点二 二元一次方程组在实际生活中的应用
列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题思路基本相似，也是审题、设元、列方程、检验、作答几个步骤.其中列二元一次方程组解应用题时,如果题目有两个未知量,我们直接将未知量设为x和y，两个相等关系都用来列方程,所以列二元一次方程组解应用题比列一元一次方程解应用题列式更容易.
温馨提示:
当应用题中含两个未知数时，其中必然含有两个相等关系:
(1)当两个相等关系都比较简单时,我们可以根据任意一个相等关系来设出未知
数,根据另一个相等关系列出方程;
(2)当两个相等关系一个简单,一个比较复杂时我们可以根据简单的相等关系设出
未知数,根据复杂的相等关系列出方程;
(3)当两个相等关系都比较复杂时,这时使用列二元一次方程组解就比较方便了.
第二课时 加减消元法—解二元一次方程组
知识点一 用加减消元法解二元一次方程组
1.定义:把两个方程的两边分别加减消去一个未知数的方法,叫做加减消加减元法,简称加减法.
2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤:
(1)变换系数:将某一未知数的系数变成相等或互为相反数;
(2)加减消元:将变形后的方程与另一个方程相加或相减,消去一个未知数; (3)回代得解:将求得的这个未知数的值代人原来方程组的任意一个方程中,从而求出另一个未知数的值,并写成方程组解的形式.
温馨提示:
(1)当二元一次方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时,这时我们可
以将两个方程通过相加或相减达到消元的目的.
(2)当某个未知数的系数成倍数关系时,将系数较小的方程两边都乘以这个倍
数,把未知数的系数变为相等或互为相反数,再用加减法解方程组.
(3)当相同的未知数的系数都不相同时,找出某一个未知数的系数的最小公倍
数,同时对两个方程进行变形,把该未知数的系数化为绝对值相等的数,再用加
减消元法求解.
知识点二 用二元一次方程组解决实际问题
列二元一次方程组解应用题时,列方程比列一元一次方程来得更直接,但计算量比解一元一次方程组大.因此我们列二元一次方程组解应用题实质上就是用计算来代替思考.
温馨提示:
如果根据题意列出方程组后，准备消去的未知数在两个方程中的系数的绝对
值相等,就直接用加减法消去这个未知数，如果系数的绝对值不相等就找出这个
未知数在两个方程里系数的最小公倍数，然后把一个方程或两个方程的两边乘以适当的数，使被消去的未知数系数的绝对值相等.
易错点 方程变形时漏乘常数项
在用加减法解二元一次方程组时,为了把两个方程中某一未知数的系数化成
相等或互为相反数的形式,需要在方程两边同乘一个不等于零的数,这时容易忽
略常数项,造成漏乘现象,出现错解.
8.3 实际问题与二元一次方程组
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
1.审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系; 2.设:设未知数(一般求什么,就设什么);
3.找:找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系;
4.列:根据这两个相等关系列出需要的代数式,进而列出两个方程,组成方程组;
5.解:解所列方程组,得未知数的值;
6.答:检验所求未知数的值是否符合题意,写出答案(包括单位名称).
温馨提示:
(1)在列方程之前要注意单位的统一，一定要将题目中出现的多个单位转换成
适合解题的单位后,再列方程.
(2)在求出解之后,应注意答案是否符合题目的实际意义，然后才能确定此解
是不是实际问题的解。
知识点一 配套问题与二元一次方程组
产品配套是工厂生产中基本原则之一,如何分配生产力,使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是:
(1)“二合一”问题:如果a件甲产品和b件乙产品配成一套,那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍，即:甲产品数 乙产品数
a b
(2)“三合一”问题:如果甲产品a件,乙产品b件，丙产品c件配成一套,那么各种产品数应满足的相等关系式是:甲产品数 乙产品数 丙产品数
a b C
解决配套问题要明白两点:一是每套产品各部分比例;
二是生产各部分的工人数之和=工人总数.
知识点二 比例问题与二元一次方程组
在销售问题中有时因季节的变化,一类商品需要调整价格;在行程问题中往往有甲、乙的速度比问题;在工程中有比例劳力分配问题,如 甲:乙:丙=a:b:c，各部分工作总量=1.因此,在解决此类问题时，设其
中 的一份为x,由已知和各部分量在总量中占的比例可得各部分量,用含x的式子表示出来.
知识点三 图表信息与二元一次方程组
解决图表信息问题的关键是读懂题意,并从图中获取有用的信息,然后对这些信息进行分析,并联系相关的数学知识,从中寻找出等量关系,列出方程组解决问题
8.4 三元一次方程组的解法
知识点一 三元一次方程组的有关概念
1.三元一次方程的定义:三元一次方程就是含有三个未知数,并且含有的未知数的次数是1的整式方程
2.三元一次方程组的定义:一般地,由三个一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组.
温馨提示:
判断三元一次方程组的依据:
(1)含有三个整式方程;
(2)含有三个未知数;
(3)含未知数的项的次数是 1.
知识点二 解三元一次方程组
1.三元一次方程组解题的基本思路:三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元,通过代入法或加减法使二元化成一元,未知转化为已知,受它的启发,解三元一
次方程组也通过代人或加减消元，使三元化为二元或一元,转化为我们已经熟悉的问题.
2.三元一次方程组解题的基本步骤:
(1)利用代入法或加减法,把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组,消去两组中的同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组;
(2)解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;
(3)将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解.
温馨提示:
解三元一次方程组，除了要考虑好选择哪种方法和决定消去哪一个未知数之
外,关键的一步是由“三元”化为“二元”,特别注意两次消元过程中，方程组
中每个方程至少要用到1次,并且①,②,③3个方程中先由哪两个方程消某一个
未知数，再由哪两个方程(一个是用过的)仍然消这个未知数,防止第一次消去y，
第二次消去z或工,仍然得到三元一次方程组,没有达到消“元”的目的.
章末知识汇总
题型必会
类型一 利用一次方程组的解求未知字母或代数式的值
方程的解是能使方程两边相等的未知数的值，方程组的解是组成方程组的各个方程的公共解.方程的解的问题是本章考查的热点问题之一，解决此类问题时,方程的解的概念是解决此类问题的根本途径.
类型二 有关方程组的探究性问题
解决有关阅读理解型探究问题时,需要仔细阅读题干,深刻理解题目提示的解题思路,运用题干所指示的解题方法才能迅速求得本题的解题结果。
类型三 较复杂的二元一次方程组的解法
二元一次方程组的基本思想是消元,基本方法有代人消元法和加减消元法,将二元一次方程组转化为一元一次方程来解决.
类型四 三元一次方程组解题的基本步骤
1.利用代人法或加减法,把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组,消去两组中的同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组;
2.解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;
3.将这两个未知数的值代人原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解.
人教七年级数学下知识点总结
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
知识点一 不等式的定义
定义:用不等号(>,≥,<,≤或≠)表示的式子，叫做不等式. 温馨提示:
(1)符号“≥”读作“大于或等于”或“不小于”,符号“≤”读作“小于或等于”或“不大于”，比如a>0 表示 a>0 或a=0. 符号“≠”读作“不等于”。
(2)判断一个式子是否是不等式,主要是看这个式子是否有不等号,其次若式子表示的不等关系一定成立,则一定是不等式,如3<9是不等式;若式子表示的不等关系有时成立,有时不成立,则式子也是不等式,如2x<8(当x=5时,2x<8不成立,当x-2时,2x-8成立)是不等式;不等关系一定不成立，则式子不是不等式,如8 100不是不等式.
(3)代数式和等式不是不等式.
知识点二 用不等式表示不等关系
定义:根据实际问题中的不等关系,用不等式将其表示出来,就是列不等式.
温馨提示:
正确理解问题中的同类数量关系是列不等式的关键,在必要时，需像列方程
那样适当地设出未知数,并用含有未知数的代数式表示题中的数量关系.
知识点三 不等式的解与解集
不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
不等式的解是一个具体的值.
不等式的解集：一般地,一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.
不等式的解集是一个集合,一个范围,包含不等式的每一个解. 解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式.
拓展延伸
(1)一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解;
(2)判断一个数值是否为不等式的解,只需用这个数代替不等式中的未知数,看不等式是否成立,若不等式成立,则该数值是不等式的一个解,若不成立,则该数值就不是不等式的解;
(3)不等式的解集同时满足:
①解集中的每个数值都能使不等式成立;
②能够使得不等式成立的所有数值都在这个解集中.
(4)用数轴表示不等式的解集时,要切记:大于向右画,小于向左画,有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈.
9.1.2 不等式的性质
知识点一 不等式的性质
性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.即:
如果a>b,那么a士c>b士c;
性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.即:
a b 如果a>b, c>o,那么ac>bc, c > c
性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即:
a b
如果a>b，c温馨提示:
(1)在应用不等式的性质3时,切记不等号的方向要发生改变.
(2)在学习不等式的性质时,要用类比的方法,与等式的基本性质作比较来掌握.
知识点二 利用不等式的性质解不等式
在运用不等式的性质变形时要注意每一步的依据,由不等式的性质判断不等号的方向是否改变.
用不等式性质解不等式就是利用不等式的性质1,2,3对不等式两边进行变形,使其逐步化为x>a(x≥a),或x9.2 一元一次不等式
第一课时 一元一次不等式
知识点一 一元一次不等式的定义
定义:不等号的两边都是整式,而且只含有一个未知数,未知数的最高次数是1次,这样的不等式叫做一元一次不等式.
温馨提示:
(1)要注意一元一次不等式的两边必须都是整式;
(2)一元一次不等式经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，都能化成最简形式ax>b或 ax(3)要特别注意一元一次不等式中未知数的系数不为0的条件;
(4)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系.相同点:二者都含有一个未知数,未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式;不同点:一元一次不等式表示不等关系,用不等号“<”或“>”连接，不等号有方向;一元一次方程表示相等关系，由等号“=”连接,等号没有方向.
知识点二 一元一次不等式的解集
定义:能使一元一次不等式成立的未知数的值的全体叫做一元一次不等式的解集.
温馨提示:
(1)不等式的解集是由不等式成立的所有未知数的值组成的,不等式的解集包括不等式的每一个解.如大于2的所有实数都是不等式x-2>0的解,除此之外所有的数都不是x一2>0的解,所以不等式x-2>0的解集是x>2;
(2)不等式的解集是一个集合,一个范围,而不是具体的某几个数.
知识点三 一元一次不等式的解法
解一元一次不等式一般按下列步骤进行:
(1)去分母(根据不等式的性质2或 3);
(2)去括号(根据整式的运算法则);
(3)移项(根据不等式的性质 1);
(4)合并同类项(根据整式的运算法则);
(5)系数化成1(根据不等式的性质2或 3).
温馨提示:
(1)解方程的移项变形对于解不等式同样适用.解一元一次不等式的理论依据是
不等式的性质.
(2)上述五个步骤不一定都能用到,顺序也可以改变;熟练后,有些步骤可合并
简化,特别要注意在上面的步骤1和5中,如果乘数或除数为负数,要把不等号改
变符号.
(3)不等式解出后,应自觉养成检验的习惯.检验的方法可分为两步:一是将不
等号变为等号,看不等式的界点能否使不等式的两边相等;二是在所求得的不等式的解集中选一个易于检验的解,看不等式能否成立.
知识点四 一元一次不等式的特殊解
求不等式的特殊解的步骤:
1.解出不等式的解集;
2.在解集范围内找出满足条件的特殊解.
第二课时 一元一次不等式的应用
知识点一 一元一次不等式的应用
列不等式解应用题的基本步骤:
1.审:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,找出题中不等关系,抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”“至少”“至多”“不超过”、“超过”等;
2.设:设出适当的未知数;
3.列:根据题中的不等关系,列出不等式;
4.解:解出所列的不等式;
5.答:写出答案,并检验是否符合题意.
温馨提示:
(1)在设未知数时,不要漏掉单位.
(2)题中的单位要统一.
(3)在学习应用一元一次不等式解决实际问题的步骤时采用了类比的方法,对
比用一元一次方程解决实际问题的步骤来学习和掌握.
知识点二 利用不等式解决方案设计问题
方案设计型问题的解题思路是:先从实际问题列出两个含有未知字母的代数式,然后建立不同的不等式的模型,求出各个不等式的解,最后加以判断,确定最佳方案.
9.3 一元一次不等式组
知识点一 不等式组的定义
定义:由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组.
温馨提示:
在理解一元一次不等式组的定义时,应注意以下几点:
(1)不等式组里不等式的个数并未规定,只要不是一个,两个、三个、四个或
更多都行;
(2)在同一个不等式组中的未知数必须是同一个,不能在这个不等式中是这个
未知数,在另一个不等式组中是另一个未知数;
(3)组成不等式组中的每个不等式都是一元一次不等式;
(4)“合在一起”要用大括号,所表示的意义是同时成立.
知识点二 不等式组的解集
1.定义:组成一元一次不等式组的几个一元一次不等式解集的公共部分,叫做一元一次不等式组的解集.求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.我们通常是利用数轴来确定一个一元一次不等式组的解集的. 2.在一元一次不等式组的解集概念中,蕴含了解一元一次不等式组的步骤:
(1)先分别求出一元一次不等式组中每个一元一次不等式的解集;
(2)利用数轴表示出每个一元一次不等式的解集,公共部分即是一元一次不等式组的解集.
3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有以下四种情形:
不等式组(aa 数轴表示 解集 一般规律
x>b a b x>b 同大取大(或:两个大于取大数)
xa b
xx>a a b xxx>b
温馨提示:
(1)几个不等式必须含有同一个未知数;
(2)几个不等式解集没有公共部分时,应说这个不等式组无解或解集为空集
(不能说没有解集);
(3)若不等式组中有三个不等式,公共部分是三线下面的公共部分,以此类推.
知识点三 解不等式组
1.定义：求不等式组的解的过程叫做解不等式组. 2.解一元一次不等式组的一般步骤:
(1)分别解不等式组中的每一个不等式;
(2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来,找出它们的公共部分; (3)写出这个一元一次不等式组的解集.
温馨提示:
利用数轴求不等式组的解集直观、明了，体现了数形结合的重要性.
知识点四 不等式组的整数解
求不等式组的特殊解的步骤是:
1.解出不等式组的解集;2.在解集范围内找出满足条件的特殊解.
章末知识汇总
题型必会
类型一 不等式(组)的解集
不等式(组)是初中数学的重要内容之一,它是历年来各地中考的必考内容,从近几年来看,不等式(组)的解集问题也成为中考的热点,其中,以用数轴表示不等式(组)的解集,已知不等式(组)的解集确定字母的值等问题为考查重点.经常直接考查知识点,也有与其他知识相综合的
形式进行考查.
类型二 解一元一次不等式(组)
借助于不等式的性质解一元一次不等式(组),并用数轴表示出不等式(组)的解集,也是近几年中考的重点,经常以解答题的形式出现.
类型三 求一元一次不等式(组)的特殊解
在解不等式的问题中,有一类问题是求特殊解,如求整数解、正数解、最小(大)整数解、非负(正)整数解等问题.解这类问题除了要求掌握解不等式的方法外，还要理解相应的特殊解的含义.
类型四 不等式(组)的应用
解不等式(组)的应用问题的关键在于读懂题意，找出不等关系,列出不等式(组),进而求解.这是近几年中考的一个热点问题,往往与二元一次方程组结合，根据不等式(组)的整数解来解决实际问题.