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浙江杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.数据2,3,3,5,6,7,8,10的第70百分位数为( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
2.若（ i为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3.设f(x)=(a+b)x+(a-b)x,若{f(x)|xR}={2},则( )
A. a=1且b=1 B. a=2且b=0 C. a=0且b=2 D. a=1且b=-1
4.我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3:2.
规格 一号 二号 三号 四号 五号
尺寸（单位：cm） 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64
根据上表，可以判断五种规格国旗的（ ）
A. 周长构成等差数列 B. 周长构成等比数列 C. 面积构成等差数列 D. 面积构成等比数列
5.设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
6.设函数y=(4x+)+(4x+)(0<<)的图象关于直线x=对称,则=( )
A. B. C. D.
7.已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
8.设椭圆C:+=1(a>b>0),点A(2,0)和B(0,1)均为椭圆C的顶点,点M,N在椭圆C上.若MNAB,则四边形ABMN面积的最大值为( )
A. 4 B. 4 C. 2 D. 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在ABC中,AC=5,BC=4,BAC=,则( )
A. BAC= B. ABC的面积为6 C. |-|=3 D. =16
10.已知函数f(x)=++ax,则( )
A. aR,f(x)是增函数
B. aR,f(x)是奇函数
C. 若f(x)有三个不同的零点,,,则++=-3
D. 过点(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条,则-2< m<0
11.选取正方体表面上两个不同的点P,Q,定义第k次操作()为“将正方体绕直线PQ旋转角”.则经过下列操作,正方体可能与自身重合的有( )
A. (),()
B. (),(),()
C. (),()
D. (),(), ()
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，则 .
13.已知双曲线E:-=1(a>b>0)的右焦点为F,过原点O的直线交E于P,Q两点,且PFQF.若直线PQ的斜率为,则双曲线E的离心率为 .
14.一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形(如图),现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边,则不同染色的方法数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设公比为q的等比数列{}的前n项和为,且=-2.
(1)求q和;
(2)求.
16.(本小题15分)
如图,正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,点M是棱PC的中点.
(1)证明:PC平面BDM;
(2)设点Q在棱AB上,求平面PDQ与平面BDM所成角的余弦值的最大值.
17.(本小题15分)
某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）：
等待时间
频数 20 14 10 6
(1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数.
（i）证明：对于任意的，有；
（ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.
18.(本小题17分)
已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上.
(1)求的方程；
(2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令.
（i）求点P的坐标（用t表示）；
（ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值 若存在求其最大值.若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
(1)已知0< x<,证明:x< x(2)设x(0,),若x-x>(x-x)恒成立,求正整数的最大值;
(3)求证:(+ )>2(1-).
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】82
15.【答案】解:(1)当n2时,
两式相减得=,
所以公比q=2.
由于{}为等比数列,所以=,
又==-2,所以=2.
(2)由(1)知,=.
所以=-2=-2.
16.【答案】解:(1) 因为P-ABCD的所有棱长相等, 点M是棱PC的中点,
所以PCDM,PCBM,
又因为DMBM=M,DM,BM平面BDM,
所以PC平面BDM.
(2)建系如图,

则D(0,0,0),C(0,2,0),P(1,1,),
设Q(2,t,0)(0t2),
由(1)知PC平面BDM, 则=(1,-1,)为平面BDM的法向量.
则=(2,t,0),=(1,1,),
设平面PDQ的法向量为=(x,y,z),
则 ,可取=(t,-2,-t),
记平面PDQ与平面BDM所成角为,
则,==，
当t=时,取到最大值.
17.【答案】解：（1）平均时间.
（2）（i）证明：由题意知，，
分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B，
则
.
所以对于任意的，有.
（ii）由（i）知，
，
所以费用的期望是（元）.

18.【答案】解：（1）将点代入得，所以：.
（2）
（i）过M点斜率为2的直线，
直线方程，由得，
可得，
设，由得，
即，解得，所以.
（ii）因为，所以直线方程为，
解方程组，得，
所以，
直线：，
整理得，
因此直线过定点.
又，所以，
所以点F到直线的最大距离为.

19.【答案】解:(1)一方面,记f(x)=x-x,x(0,).
则f'(x)=1-x>0,故f(x)在x(0,)上单调递增,即f(x)>f(0)=0.
另一方面,记g(x)=x-x,x(0,).
所以g'(x)=-1>0,故g(x)在x(0,)上单调递增,即g(x)>g(0)=0.
综上,x< x (2)当x(0,)时,由(1)知x>x,故<恒成立.
一方面,取x=,则<;
另一方面,当=2时,记h(x)=x+2x-3x,则h'(x)=+2x-3.
由x>0知1++2x+2x4,当且仅当x=1时，取等号，
所以h'(x)0,故h(x)单调递增，进而h(x)>h(0)=0.
综上,正整数的最大值为2.
(3)当x(0,)时,由(2)x-x>2(x-x)>x-x,即x+x>2x.
则=x+x+2>2x+2,
下证>x,
m(x)=-=-=-x-,
则m'(x)=+x-2x2=2x-2x>0,故m(x)单调递增.
进而m(x)>m(0)=0,即>x.
所以结合可得>4x,即+>2,
所以(+)>2==2(1-).
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