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江苏南京市栖霞中学等校2026届高三第二次仿真模拟数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若z=i(2-i),则|z|=( )
A. B. 2 C. D. 4
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.若(+)=,则(-)=( )
A. - B. C. - D.
4.已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（ ）
A. B. 1 C. D.
5.有A，B，C，D，E共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次.现已知A和B都不是第1名，且C不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（　　）
A. 42 B. 50 C. 54 D. 60
6.如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
7.已知数列{}为等比数列,=1024,q=-,是数列{}的前n项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为k和m,则( )
A. k=2,m=2 B. k=2,m=1 C. k=1,m=2 D. k=1,m=1
8.三棱锥中，，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面的距离最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知的展开式中常数项为3，a∈R，则下列说法正确的有（　　）
A. a=-1
B. 的展开式中x3的系数为3
C. 的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和
D. 的展开式中系数最大的项为第2项或第3项
10.已知三棱柱ABC-A1B1C1，D为CC1中点，下列选项正确的是（　　）
A. 过点D有且只有一条直线与直线AC、B1C1都垂直
B. 过点D有且只有一个平面与直线AC、B1C1都垂直
C. 过点D有且只有一个平面与直线AC、B1C1都平行
D. 过点D有且只有一个平面与直线AC、B1C1都相交
11.已知i为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（　　）
A. z1的三角形式为
B. 若，则实数a的值为3
C. |z1|，|z2|，……，|z2025|中有44个正整数
D. |z2025-z2026|＜|z2026-z2027|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线C：的渐近线的斜率为 .
13.已知函数，当x＞0时，f（x）≤0恒成立，则a的取值范围为 .
14.将一个棱长为1的正四面体S-ABE和各条棱长都为1的正四棱锥S-BCDE按如图所示的方式拼接在一起，则此几何体的各个面所在的平面将空间分成 个部分.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{}中,3(2n-1)-(2n+1)=0,=.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和.
16.(本小题15分)
已知在中，.
（1）求的值；
（2）若边上的高等于，求.
17.(本小题15分)
高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.
(1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望.
(2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？
18.(本小题17分)
已知双曲线
(1)，求双曲线的渐近线方程.
(2)设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值；
(3)已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率.
19.(本小题17分)
已知f（x）=xlnx+asin（x-1），a∈R
（1）当a=0时，证明：f（x）≤x（x-1）；
（2）设g（x）=f（x+1），若对任意的x∈（0，π），g（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数n,总有.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】AC
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】（0，1]
14.【答案】21
15.【答案】解：(1)由3(2n-1)-(2n+1)=0,
可得=,
当n2时,=
=()
=(2n-1),
又因为=,即对n=1也成立,
所以=(2n-1)；
(2)=1+3+5++(2n-1),
=1+3+5++(2n-1),
-,得=+2+2+2++2-(2n-1)
=+-(2n-1)
=-(2n+2),
所以=1-(n+1).
16.【答案】解：(1)(-)+(+)=-6+=-6,
=-6,
=2A=-6A=-3,
又因为A为三角形内角，，sinA＞0，
故A=.
(2)设AB=c，AB边上的高为c，
则面积S=，又S=bcA,
则=bcb=c.
由A=，A=-3,得A=-,
则=+-2bcA=+-2cc(-)=,
a=c，
故C===.
17.【答案】解：(1)若小球落入球槽的号码为X=k，k=1,2,3,4,5,
则小球共经过4次碰撞,向右k-1次，可得P(X=k)==,
则P(X=1)= =，P(X=2)==，
P(X=3)==，P(X=4)==，P(X=5)==，
所以X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
X的期望为E(X)=1+2+3+4+5=3.
(2)若小球落入2号球槽,则小球共经过4次碰撞,向右1次,且每次向右的概率均为,
则小球落入2号球槽的概率为P==,
设80个小球落入2号球槽的个数为Y,则YB(80,),
令，
即 ，
解得7k8,且k,即k=7,8,
所以2号球槽中落入7个或8个小球的概率最大.
18.【答案】（1）当时，双曲线的方程为，
则双曲线的渐近线方程为；
（2）由题意，设，
则，，
则，，
又点在双曲线上，则，化简得，
又所以；
（3）将点代入双曲线方程得，解得：，
故双曲线方程为；
设直线斜率为，则直线斜率为
直线方程为，联立双曲线与直线:
，
其中即且，
由韦达定理，则，
同理以代，则，
则，，
故.

19.【答案】证明：由题意f（x）=xlnx+asin（x-1），a∈R，
当a=0，f（x）=xlnx，则f（x）-x（x-1）=x[lnx-（x-1）]，定义域为（0，+∞），
令t（x）=lnx-（x-1），则，
令t′（x）＞0，得x∈（0，1）；令t′（x）＜0，得x∈（1，+∞），
所以t（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以t（x）max=t（1）=0，所以当x∈（0，+∞）时t（x）≤0，
所以f（x）≤x（x-1）得证 [-1，+∞） 证明：由（2）中结论，
有当a≥-1时，（x+1）ln（x+1）+asinx＞0，对任意的x∈（0，π）恒成立，
取a=-1可得，（x+1）ln（x+1）-sinx＞0，对任意的x∈（0，π）恒成立，
即对任意的x∈（0，π），（x+1）ln（x+1）＞sinx，变形可得，
分别令，，..，，可得，，……，，
累加可得，证毕
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