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2026年江苏省南京市鼓楼区名校联盟二模中考数学试题
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.画在图纸上的某一零件的长度是25mm,若比例尺是1：16，则该零件实际长度是（　　）mm.
A. B. C. 400 D. 300
2.小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（）
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
4.如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（ ）
A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长
5.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E.若BE=2，则AB的长为（　　）
A. 5
B.
C. 6
D.
6.已知函数的图象过点，，，则下列选项中，对应的a的值最大的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.若，则 ．
8.已知二次函数 与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是 ．
9.若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为 ．
10.某厂工业废气年排放量为万立方米．为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到万立方米．设平均每年废气排放量减少的百分率为，则可列方程为 ．
11.一个圆锥的底面半径为3，若它的侧面展开图是一个半圆，则其母线长为 .
12.若抛物线与轴有两个公共点，则的值可以是 ．（填写一个即可）
13.如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是 ．
14.如图，在Rt中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则 cm．
15.在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是 ．
16.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（4，3），⊙C的半径为2，P为⊙C上的一点，PM⊥x轴，垂足为M，则OM+PM的最小值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共10小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P.
求证：PA PB=PC PD.
19.(本小题8分)
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别，为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图．
抽取的学生视力状况统计表
类别 A B C D
视力 视力 4.9 视力 视力
健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良
人数 160 m n 56
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ， ， ；
(2) 抽样调查数据的中位数所在类别为 类；
(3) 已知该校共有800名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议．
20.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
(1) 以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为；
(2) 将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标．
21.(本小题7分)
射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表：
选手 平均数 众数 中位数 方差
甲 8 a 8 c
乙 8 9 b
根据以上信息，请解答下面的问题：
(1) ， ， ；
(2) 教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
(3) 选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
22.(本小题6分)
甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球．
(1) 取出的3个小球上所写数字没有4的概率是 ；
(2) 取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？
23.(本小题9分)
已知抛物线的对称轴是．
(1) 求的值及抛物线的顶点坐标．
(2) 当时，的取值范围是 ．
(3) 若，请画出的函数图象（不列表），记作．当直线与恰有3个交点时，则的值为___________．
24.(本小题6分)
已知二次函数（为常数）．
(1) 求证：该函数的图像与轴总有公共点；
(2) 当该函数图像的顶点纵坐标的值最大时，的值为 ．
25.(本小题5分)
如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为．
(1) 把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式；
(2) 有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由．
26.(本小题6分)
如图，在中，，过，两点的交于点，．
(1) 求证：与相切；
(2) 若，，
①求的长；
②的半径为________．
27.(本小题9分)
平行线是研究三角形相似的基本工具．
(1) 【初步尝试】如图，在中，点在边上，，在边上求作点，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．）
(2) 【深入研究】如图，在和中，，分别边，上一点，，，，求证．
(3) 【应用拓展】
如图，已知，直线．
在图中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．）
设在中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为，，之间的距离为，则的最小值是 ．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】2
8.【答案】
9.【答案】6
10.【答案】
11.【答案】6
12.【答案】/（答案不唯一）
13.【答案】5
14.【答案】或
15.【答案】1
16.【答案】7-2
17.【答案】【小题1】
解：，
，
，，
∴；
【小题2】
解：，
，
，
，
，，
∴．

18.【答案】解：连接AC、BD．
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△ACP∽△DBP，
∴=，
∴PA PB=PC PD．
19.【答案】【小题1】
64
120
30
【小题2】
【小题3】
解：（人），
学校可以定期组织视力检查，增加户外活动时间，培养正确的读写姿势和用眼习惯等．

20.【答案】【小题1】
解：所作如图所示：
【小题2】
解：如上图画出，
与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为．

21.【答案】【小题1】
8
9
0.4
【小题2】
解：教练的理由为：甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以成绩比较稳定，所以教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛；
【小题3】
变大

22.【答案】【小题1】

【小题2】
解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种，
取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为．

23.【答案】【小题1】
的对称轴是直线，
，
，
，
抛物线的顶点坐标为，
【小题2】

【小题3】
解：函数W的图象如图所示，
∵，顶点坐标为；
是由平移得到的且过；
由图可知，
①当时，恰与W有3个交点；
②将的图象向上平移后与只有一个交点时，与恰有三个交点，
令，整理得，
与只有一个交点，
，
，
综上，当直线与W恰有3个交点时，b的值为0或．

24.【答案】【小题1】
解：令，则，
∵，，，
∴，
∴方程有实数根，
∴该函数的图像与轴总有公共点；
【小题2】
-1

25.【答案】【小题1】
解：为16 m，的中点为原点，
点，的坐标分别是，．
可设此函数的表达式为，
当水位上升时，水面宽为，
点的坐标为，
把，代入，
，
解得．
此函数的表达式为，即．
【小题2】
解：船不能安全通过此桥．
把，代入，得
，
当船行至桥时水位上升高度为，
船顶距高为．
，
船不能安全通过此桥．

26.【答案】【小题1】
证明：如图，在优弧上取一点E，连接，，，，设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又为的半径，
∴与相切；
【小题2】
解：①∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得（负值已舍去）
∴；
②过A作于H，于F，设半径，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，即的半径为．

27.【答案】【小题1】
解：如图，作，与交于点E，点E即为所求．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
则点E即为所求．
【小题2】
证明：如图，过点D作交于点E，过点作交于点
∵，，
，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
，
∵，
，
∵，，
，，
∴，
即，
∵，，
∴
，，
，
即，
，
又，，
∴，
即，
【小题3】
解：①如图，即为所求；
作法：第1步：作直线l分别交，，于点M，N，P；
第2步：过点A作一条射线，在上截取，；
第3步：连接，过点E作交于点Q，连接；
第4步：在任取一点，作交于点；
第5步：作交于点，则即为求．
②如①右图，延长交于点Q，则，
，
，
∴，
∴，
求出即可求得，
当为等边三角形时，取得最小值，
过点作于点H，
，之间的距离为4，
，
∴，
∴，
故答案为：

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