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北京景山学校2025~2026学年度第二学期4月学情自测九年级数学
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（）
A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥
2.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3.如图，直线AB// CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，FP⊥EF于点F，且与∠BEF的平分线交于点P．若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）
A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
4.实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. |a|<|b| B. ad>0 C. a+c>0 D. d－a>0
5.在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（）
A. 中位数是95 B. 方差是3 C. 众数是95 D. 平均数是94
6.奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从{A，B，C，D}四个字母中选取，且两位字母不能相同.为了提高安全性，系统自动排除以A开头或以D结尾的密码.奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
8.函数和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（ ）个．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共8小题，共27分。
9.若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
10.因式分解： ．
11.方程的解为 ．
12.在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则 （填“”“”或“”）．
13.为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，小宇同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是70千克，各类生活垃圾投放量分布情况的扇形统计图如下图所示，若该小区有240户家庭，则可估计该小区这一天投放的可回收物共 千克．
14.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD，如果AD=1，那么tan∠BCD= ．
15.如图，在矩形中，，点E为延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则的面积为 ．
16.周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备9：00进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计）．
展馆 A B C D E F
专业讲解 无 9：30-11：00每半小时一场，共3场 无 无 10：00-12：00每1小时一场，共2场 无
参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90
(1) 若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 个展馆；
(2) 若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 ．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.解不等式组，并写出它的所有整数解．
四、解答题：本题共11小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算：
19.(本小题4分)
先化简，再求值，其中满足
20.(本小题4分)
在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）
(1) 每张原材料板材可以裁得A型纸板 张或裁得B型纸板 张；
(2) 现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？
21.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1) 求这个一次函数的解析式；
(2) 若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出m的取值范围．
22.(本小题4分)
如图，在中，，，分别是，的中点，连接，，是线段上一点，且，连接．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，，求的长．
23.(本小题4分)
为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前名的学生直接进入决赛．现将进入决赛的名学生的立定跳远成绩（单位：厘米），数据整理如下：
a．名学生立定跳远成绩：
b．名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
m n
(1) 写出表中m，n的值；
(2) 现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛．在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛：
i．平均成绩高于已进入决赛的名学生中一半学生的成绩；
ii．成绩最稳定．
①若甲学生前4次复活赛测试成绩为，要满足条件 i，则第5次测试成绩至少为 （结果取整数）；
②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如下表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲
乙
丙
则可以进入决赛的学生为 （填“甲”“乙”或“丙”）．
24.(本小题4分)
如图，是的直径，点C，D在上，过点C作的平行线交直线于点E：．
(1) 求证：是的切线：
(2) 连接交于点F，若，，求线段的长．
25.(本小题4分)
某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期日（可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第日每分钟正确默写的数字量为．根据测试经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时的值 0 6 7 9 10 14 17 20 21 23
时的值 0 20 25 28 33 35 37 38 39
时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变．
对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线．当时，曲线如图所示．
(1) 观察曲线，当整数的值为 时，的值首次超过20；
(2) 写出表中的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；
(3) 完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼，小明和小雯也积极参与到活动之中．
①若新学员单日每分钟至少记忆30个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第 日可获得“记忆达人”证书；
②竞赛规定新学员在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多可获得“最佳学员”称号，若小雯希望获得此称号，根据上述关系，在这3日中小雯应先进行 日的强化训练．
26.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，抛物线对称轴为，且经过点．
(1) 用含a的式子表示b，并求c的值；
(2) 已知抛物线，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，点H为线段的中点（若M，N重合，取点H为M）．
①若，，求H点坐标；
②已知点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，求a的取值范围．
27.(本小题4分)
如图，在中，，，点D在射线上，将射线绕点D逆时针旋转，所得射线交直线于点E，点F为的中点，连接．
(1) 如图1，若，求证：．
(2) 如图2，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，为平面上一点，为上的一条弦．若点绕的中点旋转与重合，则称点是弦关于的“关联点”．已知的半径为2．
(1) 如图，点，．
①在点，，中，弦关于的关联点为_____，其中_____；
②已知点是劣弧上的一个动点，点为弦关于的关联点，直接写出点纵坐标的取值范围；
(2) 已知为上的弦，且，经过点和点．若存在使得，且在的内部存在一个点既是关于的关联点又是关于的关联点，直接写出半径的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】a（b+2）（b-2）
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】145.6
14.【答案】﹣1
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
4
【小题2】

17.【答案】解：，
解不等式①，得；
解不等式②，得；
∴不等式组的解为，
它的所有整数解为，，，．

18.【答案】解：
．

19.【答案】解：
原式

20.【答案】【小题1】
9
15
【小题2】
解：设用张原材料板材裁 A型纸板，张原材料板材裁型纸板，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是方程组的解且符合题意
∴能做纸盒数为：（个）
答：用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒．

21.【答案】【小题1】
解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，
∴，
把代入，得：，解得：，
∴；
【小题2】
当时，令，
则当函数过时，，
当时，两个函数图象交点在直线的右侧；
当时，直线与直线平行，
当且时，两个函数图象交点在直线的右侧；
∴m的取值范围为：或或．

22.【答案】【小题1】
证明：四边形是平行四边形，
，．
点分别为中点，
，．
．
四边形是平行四边形．
，点为中点，
．
四边形是菱形．
【小题2】
解：连接，交于点．
在中，
，，
∴，解得
．
，
．
，
．
∵四边形是菱形，
∴是的中点，．
，．
．
在中，．

23.【答案】【小题1】
解：将成绩从小到大依次排序为，
∴中位数为第5、6位数的平均数为，
众数为，
∴，；
【小题2】
240
丙

24.【答案】【小题1】
证明：连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
【小题2】
解：设的半径为r，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，符合，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，符合，
即．

25.【答案】【小题1】
3
【小题2】
解：∵时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量逐渐减少或保持不变，
∴，
解得：；
画出时的曲线：
【小题3】
6
1

26.【答案】【小题1】
解：∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
∴；
【小题2】
解：①∵，，
∴，，，
当时，，，
∴，，
∵点H为线段的中点，
∴，，
∴；
②由（1）得，
∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，
∴，，
∵点H为线段的中点，
∴，，
∴，
当时，
∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，
∴当时，恒成立，
当时，在范围内随的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值，
∵，，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时；
当，即时，在范围内顶点处取最小值，最小值，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时无解；
当，即时，在范围内随的增大而减小，此时当时，在范围内有最小值，最小值，
∵，，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时无解；
当时，
∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，
∴当时，恒成立，
∵，
∴，
∴在范围内随的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值，
∵，，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时；
综上所述，点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，a的取值范围为或．

27.【答案】【小题1】
证明：根据题意，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点是线段的中点，
又∵F为的中点，
∴是的中位线，即，
∴，
∴；
【小题2】
解：①补全图形如下：在图2中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
②，证明如下：
在的延长线上取一点，使，连接，，，令交于点Q，
，，
垂直平分，
，
，
由旋转得，，
，
，
，
，，
，
，，
，，
∴，
在中，，
，
，
∵，，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
在和中，
，
，
，
，为的中点，
是的中位线，
，
，
．

28.【答案】【小题1】
解：①如图，设的中点为，
∵，．
∴，
∴，
∵，，
∴
∴弦关于的关联点为，
∵，．
∴，则是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴
∴
故答案为：，．
②如图，是的中点，是上的中点，
连接，取的中点，
∴
∴在的上运动，
先求的最大值，将绕点逆时针旋转得到，则当轴时，的纵坐标最大，
∴是等边三角形
∴，
∴
当重合时，的纵坐标取得最小值，
∵点为弦关于的关联点，
∴是等边三角形
又∵，．
∴，则，
∴
∵
∴
又∵是等边三角形，
∴
∴
∴，则是等腰直角三角形，
过点作轴，过点作于点，则
∴
在中，
又∵，
∴
∴
【小题2】
解：设既是关于的关联点又是关于的关联点，是的中点，
①如图，当逆时针旋转与点重合时，
∵，设的中点，
∴，，
∵点是关于的关联点，
∴
∴
∵，
∴，
∵是是关于的关联点
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，
②当点逆时针旋转得到时，如图
∵，，
∵
∴
∵，
∴，
在中，
综上所述，当在左侧时，
③如图，作关于轴对称的直线，则当顺时针旋转与点重合时，
∴
∴
在中，
∴的最大值为
④如图，当顺时针旋转与点重合时，
同②可得所取得的值要小于，
综上所述，

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