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2025-2026学年贵州省铜仁市思南中学高三（下）第二次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（　　）
A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 中位数
2.当1＜m＜2时，复数m-1+（m-2）i在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知集合A={（x,y）|y=x}，B={（x,y）|y=}，则A∩B=（　　）
A. {（0，0）} B. {（1，1）}
C. {（0，0），（1，1）} D.
4.设x∈R，则“0＜x＜5”是“-1＜x-1＜1”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在△ABC中，，则△ABC的面积等于（　　）
A. B. C. 2 D.
6.已知抛物线y=mx2（m＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=6，则焦点F的坐标为（　　）
A. B. C. D.
7.一支运输车队某天上午依次出发执行运输任务，第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车.假设所有司机都连续开车，并都在中午12时停下来休息.每辆车行驶的速度都是80千米/小时，截止到12时这个车队所有车辆一共行驶了2660千米，则该车队一共发出（　　）辆车.
A. 14 B. 14或19 C. 15 D. 15或16
8.若sin2α=，sin（β-α）=，且α∈，β∈[π，]，则a+β的值是（　　）
A. B. C. 或 D. 或
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知等比数列{an}中，，则（　　）
A. 数列是等差数列 B. 数列{anan+1}是等比数列
C. 数列{log3an}是等比数列 D. 数列{an+1+an}是等比数列
10.已知f（x）=x3-12x+15，则（　　）
A. 曲线y=f（x）关于点（0，15）对称
B. 2是函数f（x）的极小值点
C. 若方程f（x）=m有三个不同的实数根，m的取值范围为m＞-1
D. 不等式f（x）＜-1的解集为（-∞，-4）
11.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的右支与直线x=0，y=-2，y=4围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E，则（　　）
A. 双曲线C的方程为=1
B. 双曲线=1与双曲线C共渐近线
C. 存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D. 存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数m的值为 .
13.已知a是函数f（x）=x3-x+6的极大值点，则a= .
14.如图，等腰三角形ABC的底边BC=2，将△ABC绕顶点A旋转θ角后得到△ADE，且CD=2，分别沿着AC，AD将△ABC，△ADE折起，使得B，E重合于点P，得到三棱锥P-ACD，若三棱锥P-ACD外接球的半径为，则△ABC的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的对称轴方程和单调递减区间；
（2）当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为2，求a.
16.(本小题15分)
已知点M（0，1），N（0，-1）是圆O：x2+y2=r2（r＞0）与椭圆C：=1（a＞b＞0）的公共点，且点M，N和椭圆的一个焦点相连构成一个等腰直角三角形.
（1）求r的值和椭圆C的方程；
（2）过点M的直线l分别交圆O和椭圆C于A，B两点.
（i）若3，求直线l的方程；
（ii）P是C上一点，直线MP斜率为m,直线NA斜率为n,m=n,求△BMP面积的最大值.
17.(本小题15分)
如图1，已知△ABC的各边长均为4，点D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，现将△ADF，△BDE，△CEF分别沿DF，DE，EF折起，使点A到点P的位置，点B到点Q的位置，点C到点M的位置，且平面PDF⊥平面DEF，平面QDE⊥平面DEF，平面MEF⊥平面DEF，如图2.
（1）求证：平面PQM∥平面DEF；
（2）求平面MDE与平面PQF所成二面角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-ax-1，a∈R.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=f（x）-x2，当a=2时，g（x）在（0，+∞）上的极小值点为x0，求证：.
注：e3≈20.09
19.(本小题17分)
某学校计划举办人工智能创新挑战赛，挑战赛包括个人赛和团队赛两种类型.个人赛中，每位选手回答随机给出的4个题目，若答对不少于3个题目，则其个人赛挑战成功.团队赛中，4名选手组成一个团队，且平分成两个小组分别挑战甲、乙两个题目.每个团队可自主从以下两种参赛方式中选择一种参赛：方式一，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人中至少一人答对，则该小组挑战成功，若两小组都挑战成功，则该团队挑战成功；方式二，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人都答对，则该小组挑战成功，若两小组至少有一组挑战成功，则该团队挑战成功.
（1）某选手参加个人赛，若其前两个题答对的概率均为，后两个题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响，求该选手个人赛挑战成功的概率；
（2）假设某团队的每位选手答对甲、乙两题的概率分别为p,λp（0＜λ＜1），若对任意p∈（0，1），均有选择方式二参赛时该团队挑战成功的概率更大，求λ的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】或
15.【答案】解：（1）=
==，
由可得函数f（x）的对称轴为，k∈Z，
由可得，，
即单调减区间为（k∈Z）．
（2）令，因为x∈[0，，，
易知在上单调递增，
在上单调递减，∴，
，
∵，∴．
16.【答案】解：（1）因为点M，N是圆O与椭圆C的公共点，
所以r=1，b=1．
又M，N和椭圆的一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点．所以c=1，，
所以椭圆C的方程为．
（2）（i）因为过点M的直线l交圆O和椭圆C分别于A，B两点，
所以直线的斜率存在，则可设直线l的方程为y=kx+1（k≠0），
由，得（2k2+1）x2+4kx=0，则可得．
同理，由，解得，
又已知点M（0，1）．
则，=（，），
因为3 3×=4×，
因为k≠0，所以k=±1，所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1．
（ii）根据题意可知NA⊥MA，设kMA=k,则n=-，
由，得出，
由（i）可得，同理得，
由对称性可得PB经过y轴上一定点T（0，t），由P，B，T三点共线可得：
kTB=kTP，从而，
整理可得：，
化简可得：t（-3k+m）-3k-m=t（-3m+k）-3m-k,
（m-k）（4t-2）=0．因为，
所以直线PB过定点，
设P（x1，y1），B（x2，y2），则．
显然PB斜率存在，设kPB=s,
由，得，
．
令，
，
单调递增，，即s=0时有最大值．
综上：当PB斜率为0时三角形MPB面积有最大值．
17.【答案】证明见解析
18.【答案】当a≤0时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增 当a=2时，g（x）=f（x）-x2=ex-2x-1-x2，
对g（x）求导，可得g'（x）=ex-2-2x，
令h（x）=ex-2-2x，对h（x）求导，可得h'（x）=ex-2，
令h'（x）=0，即ex-2=0，解得x=ln2，
当x∈（0，ln2）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（ln2，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
因为h（0）=e0-2-2×0=-1＜0，h（1）=e-2-2×1=e-4＜0，
，h（2）=e2-2-2×2=e2-6≈7.39-6＞0，
所以由零点存在定理可知，存在，使得h（x0）=0，
即，也就是，
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x0是g（x）在（0，+∞）上的极小值点，且，
将代入得：，
因为，且函数y=-x2+1在上单调递减，
所以，
综上，得证
19.【答案】；
（0，2-]．
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