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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C D B B C BC BCD
题号 11
答案 ABD
12． /
13．
14．
15．【详解】（1） ，
由题意得 ，即 ，解得 ，
故解析式为 ，定义域为 R，
令 ，令 得 或 ，
令 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然 为极小值点，故 ，
单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
（2）由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
表格如下：
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又 ，
故 的最大值为 2，最小值为 .
16【详解】（1）由四边形 PDCE为正方形得 ，因为平面 平面 ABCD，平
面 平面 ，
平面 PDCE， ，所以 平面 ABCD，
又 DA，DC在平面 ABCD内，所以 ， ，
由 得 ，
以 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 PBC的一个法向量为 ，
则 即
取 ，则 ，
设平面 ABP的一个法向量为 ，
则 即
取 ，则 ，
所以 ，
因为二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为
（2）设 ，
则 ，
因为 BQ与平面 BCP所成角的正弦值为 ，
所以 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 ，
故
17．【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
，
又 为线段 的中点，所以 ，
所以 ，
易知平面 的法向量可以为 ，
所以 ，即 ，又 平面 ，所以 平面 .
（2）由（1）可得 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
18．【详解】（1）如图，分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
， ，
因为 在 上，故可设 ，又 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
，
，即
， 平面 ．
所以 平面 ．
（2）设平面 的一个法向量为 ，
，
则 ，
，
令 ，得 ，所以得 ，
，
所以所求的距离为 ；
19．【详解】（1）解：由函数 ，可得其定义域为 ，且 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
所以 .
（2）解：由 ，其中
可得 ，即 ，
由 对任意 恒成立，即 在 恒成立，
令 ，可得 ，
令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，即实数 的取值范围为 .
（3）解：由 ，可得 ，
令 ，可得 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，即函数 在 上单调递增，
因为 是 的极值点，所以存在 使得 ，即 ，
又由 ，所以 ，
则 ，
所以 .瓜洲中学 2025-2026学年高二第二学期 4月份质量检测
数学试卷
2026.4
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知向量 ，满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
2．有不同的语文书 9本，不同的数学书 7本，不同的英语书 4本，从中选出不属于同一学
科的书 2本，则不同的选法有（ ）
A．21种 B．252种 C．143种 D．127种
3．已知空间中三点 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是函数 的导函数 的图象，下列结论正确的是（ ）
A． 在 处取得极大值 B． 是函数 的极值点
C． 是函数 的极小值点 D．函数 在区间 上单调递减
5．在正方体 中，M是 的中点，N是 的中点，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，三棱锥 中， ， ， ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．设函数 是定义在 上的奇函数， 为其导函数.当 时， ，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，棱长为 的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则（ ）
A．直线 与底面 所成的角为
B．平面 与底面 夹角的余弦值为
C．直线 与直线 的距离为
D．直线 与平面 的距离为
11．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取得最小值 B．
C． 有两个不同的零点 D．对任 ，函数 有三
个零点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，
则 的值为________．
13．函数 的单调增区间为_________
14．若函数 存在两个极值点 ，则 的取值范围
是__________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数 在 处取得极值.
(1)求函数 的解析式及单调区间；
(2)求函数 在区间 的最大值与最小值.
16．如图，在空间几何体 ABCDPE中，正方形 PDCE所在平面垂直于梯形 ABCD所在平面
， ， ，点 F在线段 AP上，
(1)求二面角 的余弦值;
(2) 为线段 EF上一点，若直线 BQ与平面 BCP所成角的正弦值为 ，求线段 FQ的长.
17．如图，长方体 底面是边长为 2的正方形，高为 4，E为线段 AB的中点，
F为线段 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 EF与平面 所成角的正弦值.
18．如图，长方体 中， ， . 是棱 上一点，且 ，交
于点 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
19．已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 是函数 的极值点，求证：

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