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第一章 三角函数
一、单选题
1．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．.
2．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
4．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数为“同族函数”.下面函数表达式 ，可以用来构造“同族函数”的是（ ）
A． B． C． D．
6．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知，，函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别为B，C，D，若是边长为12的等边三角形，则函数的最大值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
二、多选题
12．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．在上单调递增
D．将的图象向右平移个单位后关于原点对称
13．已知函数，函数的图象由的图象向左平移个单位得到，则（ ）
A．与在上有相同的单调性
B．的图象关于直线对称
C．设，则的一个对称中心为
D．当时，与的图象有6个交点
14．已知函数的两个相邻对称中心的距离为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上是增函数
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称
15．已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．在上不单调 D．，有4个零点
三、填空题
16．若函数的最小正周期为T，且的图象关于点对称，则 ．
17．函数是 函数（填“奇”或“偶”）
18．定义在上的函数（，，），其图象与水平直线的交点从左往右分别记为，，…．若，则的最大值是 ．
19．函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为
四、解答题
20．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
21．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域；
(3)若函数在区间上恰好有两个零点，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】求出把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数.
【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为，
再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为.
故选：B.
2．B
【分析】利用三角函数的图象变换关系求解.
【详解】函数，
所以要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位.
故选：B
3．A
【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为，
所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：A.
4．A
【分析】由题意得到，再结合范围即可求解.
【详解】因为函数的图象关于直线对称
所以，故，，
又因为，令得，
故选：A
5．D
【分析】由题意，函数不能严格单调，ABC不合要求，D选项，可举出例子.
【详解】由题意可知，可以用来构造“同族函数”的函数不能严格单调，
A选项，在R上严格单调递增，不满足要求；
B选项，在R上严格单调递增，不满足要求；
C选项，在上严格单调递增，不满足要求；
D选项，在R上不严格单调递增，
其中，与，的值域均为，
故为“同族函数”，D正确.
故选：D
6．A
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【详解】由，则“”是“”的充分条件；
又当时，，可知，
故“”不是“”的必要条件，
综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7．C
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，
即的对称中心是，
即，
又，则时最小，最小值是，
即.
故选：C
8．B
【分析】根据任意恒成立条件，分析不等式中代数式的符号情况，分类讨论，求出范围.
【详解】由题意可得，或，
为单调增函数，所以不成立，
当在上恒成立，则，即，
故选：B．
9．B
【分析】先验证充分性，由已知可得或，即可知之间的关系；再验证必要性，根据之间的关系，结合诱导公式即可判断.
【详解】充分性：因为，所以或，
当时，或，，
当时，
或，，
可得或，所以充分性不成立，
必要性：若，
当为偶数时，设，则，
则，满足，
当为奇数时，设，则，
则，满足，
所以必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
10．B
【分析】根据余弦函数的性质，分别判断充分性与必要性是否成立即可.
【详解】若，则，充分性不成立；
若，则，即必要性成立；
所以，“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
11．B
【分析】在同一坐标系中，作出函数与的图象，设为的中点，由三角函数的对称性， 得到，求得，再由，求得，得到，结合，求得，化简，进而得到答案.
【详解】在同一坐标系中，作出函数与的图象，
如图所示，图象相邻的三个交点分别为，
设为的中点，因为是边长为12的等边三角形，
可得，可得，
由，可得，
因为，可得，
可得，所以，可得，解得，
所以，
可得，
所以的最大值为.
故选：B.
12．AC
【分析】方法一：对于选项A，将点代入函数的解析式中，联立方程组，求得的值；对于选项B，将代入函数中，判断函数值是否为0来判断该点是否是对称中心点；对于选项C，将C中由的范围确定函数是否单调递增；对于选项D，先求出函数平移后的函数解析式，然后判断其是否关于原点对称.
方法二：对于选项A，根据点在图象中的位置和坐标，确定题中的函数是由正弦函数如何变换得到的，从而可以确定的值；其他选项的分析方法同方法一.
【详解】方法一：
对于选项A：依题意，，，
因为，，解得，，故，故正确；
对于选项B：因为，故错误；
对于选项C：当时，，故在上单调递增，故正确；
对于选项D：，不关于原点对称，故错误.
方法二：
对于选项A：若是的图象，，两点的横向距离为，实际上，
，两点的横向距离为，被拉伸了2倍，故；
其他选项的判断同方法一.
故选：AC.
13．ACD
【分析】根据平移规则得到函数即可判断A正确，由余弦函数对称轴方程可得B错误，再由正切函数对称中心方程可得C正确，画出函数图像即可求得交点个数，可得D正确.
【详解】易知的图象向左平移个单位可以得到，
对于A，当时，，
由正弦函数和余弦函数图像性质可知，与在上均是单调递减的，即它们有相同的单调性，可得A正确；
对于B，由可知，令，解得，
因此可得的图象关于直线对称，即B错误；
对于C，易知，
令，解得，
即则的对称中心为，
当时，可知的一个对称中心为，即C正确；
对于D，当时，，又；
画出函数的图象如下图所示：
结合图像可知，与的图象有6个交点，即D正确.
故选：ACD
14．ACD
【分析】根据两个相邻对称中心距离为得出周期可得出判断A，根据代入法求解函数的单调性判断B，根据代入检验判断对称轴可判断C，应用函数图象的平移可判断奇函数判断D.
【详解】易知，则，所以，即，
又因为，，解得，所以．
对于A，因为，所以，故A正确.
对于B，由知，则在该区间有增有减，故B错误.
对于C，因为，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确.
对于D，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，该图象关于原点对称，故D正确．
故选：ACD.
15．ABD
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用函数对称性的定义可判断D选项.
【详解】对于A，易得的定义域为.
，
所以是偶函数，故A正确；
对于B，因为
，所以的一个周期是，故B正确；
对于C，看成由，和复合而成，
又，单调递增且，单调递减，
所以在上单调递减，故C错误；
对于D，同理可得在上单调递增，易得简图如下：
又的最大值为
，所以，与有4个交点，
故选项D正确.
故选：ABD.
16．/
【分析】由正切函数的对称性即可求解.
【详解】，由，得，则，即.
故答案为：.
17．偶
【分析】由诱导公式、偶函数的定义即可得解.
【详解】显然的定义域关于原点对称，
且，故函数是偶函数.
故答案为：偶.
18．
【分析】振幅仅是保证与总有交点，的变化仅是改变函数的周期，与线段长度的比无关，令即可，由题意研究图象解出的取值范围即可.
【详解】
由题意，振幅仅是保证与有交点，
且它们的交点不可能为正弦型函数的最值点或零点，否则，
故且，
又的变化仅改变函数的周期(长度)，与线段长度的比无关，
要使，第一与第二个交点距离大于半个周期长，而第二与第三个交点距离小于半个周期长，
不妨令，，作出(注意代换且)的图象，
如图： 由，且，，
所以，由图象得：，或，结合，
所以的取值范围为：.
所以的最大值是
故答案为：
19．
【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可.
【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，
而且，，
所以由函数的定义域为，值域为，
可得：，所以实数的取值范围为，
故答案为：
20．(1)不是；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接代入计算和即可；
（2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.
【详解】（1）（1），，则不是中的元素.
（2）法一：因为，则存在实数使得，且，
当时，，其在上严格单调递增，
当时，，其在上也严格单调递增，
则，则，
令，解得，则，
则.
法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，
由图知，假设交点分别为，，
联立方程组得
（3）（3）对任意，因为其是偶函数，
则，而，
所以，
所以，因为，则，
所以，所以，
所以当时，，，则，
，则，
而，，
则，则，
所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：
其中，但其对应的值均未知.
首先说明，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，即，
令，则，
当时，即使让，此时最多7个零点，
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有3个零点，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，
则最多在之间取得6个零点，
以及在处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由图象即可求解周期，进而得，根据即可求；
（2）根据图象的变换先求，令，最后利用单调性即可求解；
（3）令，先求函数的值域，最后利用数形结合即可求解.
【详解】（1）由题设，所以，则，故，
由，则，即，
又，当时，则，故；
（2）将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，
所以；
，则，
所以
所以函数在上的值域：
（3），则，
由在上单调递增，对应值域为；
在上单调递减，对应值域为；
函数在区间上有且仅有两个零点，
即在上只有两个解，有图可知.
答案第1页，共2页
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