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圆锥曲线的方程 专项训练-2026届高三数学一轮复习
一、单选题
1．已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．实数x，y满足，则的最大值和最小值之和是（ ）
A． B． C．0 D．
3．设为椭圆 上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点，定义.对于下列两个命题：①设点P是直线上任意一点，则“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”；②设点P是椭圆上任意一点，则.则下列判断正确的是（ ）
A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假
5．设椭圆的左 右焦点为，椭圆上一点和平面一点满足，则的最大值与最小值之和是（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
6．若满足，，则最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是椭圆上的动点，若到轴与轴的距离之和的最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形. 设点 P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
二、多选题
9．已知椭圆上有一点P，分别为左 右焦点，的面积为S，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若为钝角三角形，则 D．椭圆C内接矩形的周长范围是
10．称为点的“和”，下列说法正确的是（ ）
A．“和”为1的点的轨迹围成的图形的面积为2
B．设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2
C．设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个的充要条件是
D．设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为
三、填空题
11．已知曲线参数方程为（为参数），直线方程为：，将曲线横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线，则曲线上的点到直线距离的最小值为 .
12．已知点，是椭圆两个不同的动点，且满足，则的值是 ．
13．若椭圆的焦点在y轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好和椭圆只有一个交点，则椭圆内接矩形面积最大时的离心率是 .
14．设椭圆上有一弦长，则的面积的取值范围是 ．
15．中，，点是内切圆上一点，且 ，则的最小值是 .
四、解答题
16．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(2)设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
17．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为：（为参数，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．
(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)在曲线和曲线上分别取点P，Q，求的最小值．
18．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．
(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)在曲线和曲线上分别取点P，Q，求的最小值．
19．如图，在极坐标系Ox中，，，弧和弧所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧.
(1)分别求出曲线，的极坐标方程；
(2)已知点P是曲线，上的动点，直线l：，C、D是直线l上的两点，且，求面积的最大值.
20．定义：把椭圆绕长轴旋转形成的封闭几何体称为橄榄球.已知：椭圆的离心率为，内接正方形（边与坐标轴平行）的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)如图，设椭圆C绕长轴旋转成的橄榄球W，建立如图空间直角坐标系.
①直接写出橄榄球在空间直角坐标系下的方程，并求此橄榄球W的内接长方体（所有棱与坐标轴平行）的体积的最大值.
②设橄榄球W与x轴，y轴，z轴的正半轴交点为A，B，C，点P为橄榄球面上的动点，求P点到平面距离的最大值d；并求出此时P点的坐标.
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案
1．D
【分析】设椭圆上的点为，结合点到直线的距离公式与辅助角公式计算即可得解.
【详解】设椭圆上的点为，
则点到直线的距离为，其中，
由，故椭圆上的点到直线的距离的最大值为．
故选：D.
2．A
【分析】将原式平方化简得，化为参数方程，将化简，结合辅助角公式计算得解.
【详解】实数x，y满足，平方得，其中，整理得，其中，
令，其中，
则
，
因为，所以，所以，所以，所以的最大值和最小值之和是.
故选：A.
3．B
【分析】由条件可设，利用辅助角公式及三角函数的性质求解．
【详解】∵为椭圆上的任一点，
∴可设，
∴，其中，
∴由，得，即，
∵，
∴，即的取值范围是.
故选：B．
4．A
【分析】对于①，根据，把代入得到当最小时的点有无数个时，；而时，推导出最小的点有无数个，即可证明；
对于②，的坐标用参数形式表示，然后利用三角函数的辅助角公式化简可求得的最大值.
【详解】对于①，先证充分性：
由，当时，，满足题意；
又，当时，，满足题意.
再证必要性：
不难得到，当时，直线上使得最小的点P有无数个；
所以“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”，即①是真命题；
对于②，因为点P是椭圆上任意一点，则可设，
所以（，且），
则当时，，即②是真命题；
故选：A.
5．B
【分析】设,根据，求得，利用两点间的距离即可求出答案.
【详解】可以设，因为，，得到，所以，
那么，
所以，最小值和最大值之和为.
故选：B
6．D
【分析】代入化简可得，再设，，根据辅助角公式求解即可.
【详解】由题意，
.
因为，故可设，，
则，其中.
故当时取小值.
故选：D
7．D
【分析】由椭圆的参数方程和辅助角公式再结合离心率公式计算可得.
【详解】设，则到轴与轴的距离之和为，
由于点在椭圆上，所以设，
则，
所以，所以，
故选：D.
8．C
【分析】以AD 为x 轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系 ，由圆D 方程设 写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值.
【详解】骑行过程中，ABCDE 相对不动，只有P 点绕D 点作圆周运动.
如图，以AD 为x轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系 ，
由题意
圆D 方程为 设
则 ，
易知当 时，取得最大值36.
故选 ：C .
9．ACD
【分析】用椭圆的焦点三角形和内接矩形等知识分别对四个选项判断即可.
【详解】对于椭圆，设，，，则
，由此可得…①，
所以的面积.
对于选项A：若，则，故A正确；
对于选项B：由①知（当且仅当即点是短轴端点时取等号），所以，因此不可能是，故B错误；
对于选项C：由以上分析可知，不可能是钝角，由对称性不妨设是钝角.先考虑临界情况，当时，易得，此时，结合图形可知，当是钝角时，故C正确；
对于选项D：令，，
则椭圆内接矩形的周长为，其中锐角满足，.
由得，所以，周长的范围是，即，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：对于椭圆， ， 则△的面积.
10．ABD
【分析】根据“和”的概念可知的轨迹为边长是的正方形，选项A正确；根据条件可得，讨论的范围得到分段函数的解析式，分析单调性可得选项B正确；类比选项B的分析可知当时，都满足使得“和”最小的点有无数个，选项C错误；设，通过辅助角公式可得选项D正确.
【详解】A.由“和”的定义得，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
根据图形可得点的轨迹为边长是的正方形，其面积为2，选项A正确.
B.∵点是直线上任意一点，∴，
∴，
令，由函数解析式可知在上为减函数，在为增函数，故当时，取到最小值2，选项B正确.
C．∵点是直线上任意一点，∴，∴，
当时，，
当时，，
分析单调性可知当时，都满足使得“和”最小的点有无数个，选项C错误.
D. 由点是椭圆上任意一点可设，
则，
由可得“和”的最大值为，选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”.归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
11．
【分析】根据坐标变换求出曲线的直角坐标方程后，利用其参数方程设点，根据点到直线的距离公式以及三角函数的性质可得．
【详解】解：曲线 消去参数后得到，将曲线的横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线，即，
设上的点，则点到直线的距离，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查参数方程化成普通方程，考查图象变换，属于中档题．
12．2
【分析】设，根据题设条件，求得，
不妨设，即可求解.
【详解】由题意，点，是椭圆两个不同的动点，
可设，
则，
所以，所以，
不妨设，则.
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及三角函数的性质的应用，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.
13．
【分析】由题意，AB是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，可求出直线AB方程，利用椭圆参数方程表示椭圆上点到直线AB的距离，当时，直线和椭圆相切，再椭圆内接矩形面积为，利用基本不等式可得时面积最大，从而得解.
【详解】设，圆的圆心，
则AB是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，
以为直径的圆的方程为，
即，两圆方程相减，
得直线AB方程为：，
设椭圆上的点为，到直线AB的距离为
.
由于直线和椭圆相切，因此得当时，d取得最小值，
且最小值为0，所以.
椭圆内接矩形面积为.
所以面积的最大值为.
由均值不等式，当且仅当时取等号，
所以离心率.
故答案为：
14．
【分析】设，，再设，，由得到的范围，再由计算可得.
【详解】设，，
则，
设，，则，，
所以
，
，
所以，
即，故，
又，
即．
故答案为：
15．
【分析】
先求出角A，然后求出内切圆的半径和参数方程，将坐标代入，然后求出的表达式，利用三角函数性质求出最小值.
【详解】由余弦定理得，则，
如图建立坐标系，则，
设三角形内切圆半径为由得，
结合内心性质及，易得圆心，则圆的参数方程为，
因为，
所以所以，
所以（其中），
所以当时又最小值.
16．(1)，
(2)，此时
【分析】（1）利用在极坐标下的表达式，即可得出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）利用点到直线的距离公式，结合三角函数的取值范围即可得出的最小值以及此时的直角坐标.
【详解】（1）由题意，
在（为参数）中，化为普通方程为
在中，，
∵，
∴.
（2）由题意及（1）得，
设点，则到直线的距离为：，
当且仅当，即，时，
，此时.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）消参法得到曲线的普通方程；利用公式得到曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线上的点，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】（1）∵曲线的参数方程为：（为参数，），
∴．
∴曲线的普通方程为．
∵曲线的极坐标方程为：，即，
根据，可得，
∴曲线的直角坐标方程为：；
（2）∵曲线的直角坐标方程为：，
∴曲线的参数方为：（为参数）．
故可设曲线上的点，
∴点Q到直线的距离，
当，即时，，
∴的最小值为．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）由的参数方程，消去参数即可；根据公式，代入化简即可.
（2）将曲线用参数方程表示，再用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】（1）曲线的参数方程为：（为参数，），
．
曲线的普通方程为．
曲线的极坐标方程为：，即，
根据可得，
曲线的直角坐标方程为：．
（2）曲线的直角坐标方程为：，
曲线的参数方程为：（为参数）．
故可设曲线上的点，
点Q到直线的距离，
当，即时，，
|PQ|的最小值为．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）直接用即可转化；
（2）利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式可求得结果.
【详解】（1）点，转换为直角坐标为，
点转换为直角坐标为.
弧所在圆的圆心是，转换为直角坐标为，
弧所在圆的圆心，转换为直角坐标为，
故圆的半径为，圆的半径为，
所以曲线圆的方程为，
根据转换为极坐标方程为.
曲线圆的直角坐标方程为，
根据转换为极坐标方程为.
（2）由题图知，显然点落在上时，到的距离更大，面积更大.
由（1）知曲线的参数方程（为参数，），
直线：，转换为直角坐标方程为，
所以点到直线的距离，且，
（当时，等号成立.
由于，
所以的最大值为.
20．(1)
(2)①，；②
【分析】（1）由椭圆的内接正方形的面积为，得点在椭圆C上，又椭圆的离心率为，建立方程组，可解出，即可得到椭圆C的标准方程；
（2）①由建空间直角坐标系的方法及椭圆的对称性可得橄榄球W的方程；设榄球W的内接长方体的一个顶点坐标为，表示出长方体的体积，再由不等式及三角函数相关知识即可得解；②求得平面的一个法向量，设，则，向量法求出P点到平面距离，利用三角函数相关知识即可求得最大值d，进而求得P点的坐标.
【详解】（1）由已知，椭圆内接正方形的边长为，则点在椭圆C上，
又椭圆的离心率为，
所以，解得，
所以椭圆C的标准方程为： .
（2）①橄榄球W的方程为：.
设榄球W的内接长方体的一个顶点坐标为，
则由对称性知，内接长方体的体积为
，
令，
则，
即，又，所以，
即橄榄球W的内接长方体体积的最大值为.
②由已知得：，
设平面的一个法向量为
则，
由，取，则，
设，
则，
则P点到平面距离
（其中），
上式当时，，
此时取时即可取最大值，
，
所以P点的坐标为.
【点睛】关键点点睛：（2）①设榄球W的内接长方体的一个顶点坐标为，表示出长方体的体积，再由不等式及三角函数相关知识求解；②求得平面的一个法向量，设，则，向量法求出P点到平面距离，利用三角函数相关知识求得橄榄球面上的动点P到平面距离的最大值d，进而求得P点的坐标.
答案第1页，共2页
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