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人教版七年级下册数学第十一章 不等式与不等式组 知识点精讲 + 专项训练卷
满分：100 分 考试时间：90 分钟
第一部分 核心知识点精讲
一、不等式的定义与表示
不等式的定义：用不等号（、、、、）表示大小关系的式子，叫做不等式。（关键点：含不等号，区别于等式；等式是”=“连接，不等式是不等号连接）
示例：、、 都是不等式；而 是等式，不是不等式。
常见不等号及含义：
① ：大于（如 ，表示 比 3 大）；
② ：小于（如 ，表示 比 5 小）；
③ ：大于或等于（也叫“不小于”，如 ，表示 是 2 或比 2 大）；
④ ：小于或等于（也叫“不大于”，如 ，表示 是 6 或比 6 小）；
⑤ ：不等于（如 ，表示 不是 0）。
不等式的解与解集：
① 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（一个或多个具体数值）；
② 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（所有符合条件的数值的集合）。
示例： 是不等式 的解，但不是唯一解；不等式 的解集是 （所有大于 3 的数都是它的解）。
解集的表示方法：
① 文字表示（如” 大于 2”）；
② 符号表示（如 、）；
③ 数轴表示（重点：大于向右画，小于向左画；、 用实心圆点，、 用空心圆圈）。
二、不等式的基本性质
核心原则：不等式两边进行相同运算时，需注意不等号方向是否改变（区别于等式，等式两边运算后等号方向不变），具体性质如下：
性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。（用字母表示：若 ，则 ）
示例：若 ，则 （），（）。
性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。（用字母表示：若 ，，则 、）
示例：若 ，则 （），（）。
性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。（用字母表示：若 ，，则 、）（易错点：忘记改变不等号方向）
示例：若 ，则 （），（）。
三、一元一次不等式的定义与解法
一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。（关键点：一个未知数、次数为 1、整式不等式）
示例：、 是一元一次不等式；（次数为 2）、（分式）、（两个未知数）均不是。
一元一次不等式的解法（与一元一次方程解法类似，重点注意性质 3 的应用）：
步骤：
① 去分母（两边同乘各分母的最小公倍数，注意：若最小公倍数为负数，不等号方向改变）；
② 去括号（遵循去括号法则，括号前是负号，括号内各项要变号）；
③ 移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号）；
④ 合并同类项（将同类项合并，化为 或 的形式）；
⑤ 系数化为 1（两边同除以未知数的系数，注意：系数为负数时，不等号方向改变）。
示例：解不等式 ，步骤：
① 去分母（乘 6）得 ；
② 去括号得 ；
③ 移项得 ；
④ 合并同类项得 ；
⑤ 系数化为 1（系数为 1，方向不变），解集为 。
四、一元一次不等式组的定义与解法
一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。（关键点：同一个未知数、多个一元一次不等式）
不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集；若没有公共部分，则该不等式组无解。
一元一次不等式组的解集类型（设 ）：
① ，解集为 （同大取大）；
② ，解集为 （同小取小）；
③ ，解集为 （大小小大中间找）；
④ ，无解（大大小小无处找）。
一元一次不等式组的解法步骤：
① 分别解出不等式组中每个不等式的解集；
② 把每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来；
③ 找出它们的公共部分（若无公共部分，则无解）；
④ 写出不等式组的解集。
五、不等式（组）的实际应用
核心步骤：
① 设未知数（设出题目中的关键未知数，一般设“求什么设什么”）；
② 找不等关系（根据题意找出表示大小关系的语句，列出不等式或不等式组）；
③ 解不等式（组），求出解集；
④ 检验（检验解集是否符合实际意义，如人数、数量不能为负数、小数需结合题意取整数）；
⑤ 写答。
常见题型：
① 购物最值问题；
② 行程问题；
③ 工作量问题；
④ 方案设计问题（根据解集确定可行方案）。
六、核心易错点提醒
应用不等式性质 3 时，忘记改变不等号方向（最常见易错点）；
解不等式去分母时，常数项漏乘各分母的最小公倍数；
数轴表示解集时，混淆实心圆点（、）和空心圆圈（、），以及左右方向；
实际应用中，忽略解集的实际意义，未对结果进行合理取舍（如人数、物品数量为正整数）。
第二部分 专项训练
一、填空题（每空 1 分，共 20 分）（专项考查：定义、性质、解集表示）
用_______（填不等号名称）表示大小关系的式子，叫做不等式；常见的不等号有 、、_______、_______和 。
若 ，且 为任意实数，则 _______ （填”““”或”“），依据是不等式的_______性质。
若 ，且 ，则 _______ （填”““”或”“），依据是不等式的_______性质。
只含有_______个未知数，并且未知数的次数是_______，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。
不等式 的解集是_______，这个不等式的正整数解是_______。
不等式 的解集在数轴上表示时，应画_______圆点（填“实心”或“空心”），方向向_______。
若不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是_______。
不等式组 的解集是_______，该不等式组的整数解有_______。
解一元一次不等式的核心是利用不等式的性质，将不等式化为_______或_______的形式。
若关于 的一元一次不等式 （）的解集是 ，则 的取值是_______。
二、选择题（把正确答案的序号填在括号里）（每题 3 分，共 18 分）（专项考查：定义判定、性质应用、解集求解）
下列式子中，属于一元一次不等式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
下列不等式变形正确的是（ ）
A. 由 ，得
B. 由 ，得
C. 由 ，得
D. 由 ，得
不等式 的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
不等式组 的解集是（ ）
A.
B.
C.
D. 无解
若关于 的不等式组 有解，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
某商店推出“满 300 减 50”的优惠活动，小明购买商品的总价为 元，若他能享受优惠，则 满足的不等式是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、解答题（共 62 分）（专项考查：解法、综合应用、实际应用）
（10 分）解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来：（专项训练：一元一次不等式解法）
（1）
（2）
（10 分）解下列一元一次不等式组，并写出不等式组的整数解：（专项训练：一元一次不等式组解法）
（1）
（2）
（10 分）根据不等式的性质，判断下列变形是否正确，并说明理由：（专项训练：不等式性质应用）
（1）由 ，得 ；
（2）由 ，得 ；
（3）由 ，得 ；
（4）由 ，得 。
（11 分） 已知关于 的一元一次不等式 的解集是 ，求 的值，并解不等式 。（专项训练：含参数的一元一次不等式）
（11 分） 某工厂要生产一批零件，要求每天生产的零件数量不少于 120 个，且不超过 150 个，若安排 名工人生产，每名工人每天可生产 8 个零件，求 的取值范围（ 为正整数）。（专项训练：不等式实际应用）
（10 分） 某服装店推出两款上衣，A 款每件售价 80 元，B 款每件售价 100 元，小明带了 500 元去买上衣，要求购买 A 款上衣的数量不少于 2 件，且购买 B 款上衣的数量不超过 3 件，求小明有几种可行的购买方案（只买这两款上衣，钱可以有剩余）。（专项训练：不等式组实际应用）
参考答案与解析
一、填空题（每空 1 分，共 20 分）
不等号；；
（解析：不等式的定义及常见不等号，注意 和 的含义）
；1
（解析：依据不等式性质 1，两边加同一个数，不等号方向不变）
；3
（解析：依据不等式性质 3，两边乘同一个负数，不等号方向改变）
一；1
（解析：一元一次不等式的核心定义，一个未知数、次数为 1、整式）
；1、2、3、4
（解析：解不等式得 ，正整数解为 1 到 4 的整数）
实心；右
（解析：不等式 的解集为 ， 用实心圆点，大于向右画）
（解析：同大取大，解集为 ，说明 不大于 2）
；2、3
（解析：大小小大中间找，整数解为 2、3）
；（ 为常数）
（解析：解一元一次不等式的最终目标的是化为最简形式）
（解析：化简不等式得 ，解集为 ，说明 ，，解得 ）
二、选择题（每题 3 分，共 18 分）
D
（解析：A 是二元二次不等式，B 是二元一次不等式，C 是分式不等式，只有 D 符合一元一次不等式定义）
B
（解析：A 选项 未说明正负，无法判断；C 选项两边除以 -2，不等号方向未变，错误；D 选项两边除以 -3，不等号方向未变，错误；B 选项符合不等式性质 1）
A
（解析：解不等式 ，移项得 ，系数化为 1 得 ）
C
（解析：解 得 ，解 得 ，解集为 ）
A
（解析：不等式组有解，需满足 ，若 ，解集为 ，也可认为有解，严格来说 ，结合选项及考点，选 A 更贴合基础考法）
B
（解析：满 300 减 50，即总价 时可享受优惠）
三、解答题（共 62 分）
（10 分，每小题 5 分）（一元一次不等式解法专项）
（1），移项得 ，合并同类项得 ，系数化为 1 得 ；
数轴表示：画空心圆圈在 2 处，向右画一条无限延伸的射线（解析： 用空心圆圈，方向向右）；
（2），去分母（乘 6）得 ，去括号得 ，移项得 ，合并同类项得 ，系数化为 1 得 ；
数轴表示：画实心圆点在 1 处，向左画一条无限延伸的射线（解析： 用实心圆点，方向向左）。
（10 分，每小题 5 分）（一元一次不等式组解法专项）
（1），解①得 ，解②得 ，即 ，解集为 ，整数解为 3；
（2），解①得 ，即 ；解②得 ，即 ，解集为 ，整数解为 4。
（10 分，每小题 2.5 分）（不等式性质应用专项）
（1）正确，理由：依据不等式性质 2，两边乘同一个正数（2），不等号方向不变；
（2）错误，理由：依据不等式性质 3，两边乘同一个负数（-1），不等号方向应改变，应为 ；
（3）正确，理由：依据不等式性质 1，两边减同一个数（3），不等号方向不变；
（4）错误，理由：依据不等式性质 3，两边除以同一个负数（-2），不等号方向应改变，应为 。
（11 分）（含参数的一元一次不等式专项）
第一步：求 的值（5 分）。解不等式 ，移项得 ，系数化为 1 得 ；已知解集为 ，故 ，解得 ；
第二步：解不等式 （6 分）。将 代入，得 ，移项得 ，系数化为 1（除以负数，方向改变）得 （或 3.5）。
（11 分）（不等式实际应用专项）
根据题意列不等式：（3 分），系数化为 1（除以正数，方向不变）得 （4 分）；因为 为正整数，所以 的取值为 15、16、17、18（3 分）；
答： 的取值范围是 （ 为正整数）（1 分）。
（10 分）（不等式组实际应用专项）
设购买 A 款上衣 件，B 款上衣 件（、 为非负整数），列不等式组：（3 分）；
化简不等式组：，分情况讨论：
① ：，， 可取 2、3、4、5、6（ 时，）；
② ：，，， 可取 2、3、4、5；
③ ：，，， 可取 2、3；
④ ：，，， 可取 2（4 分）；
综上，可行方案共 种（2 分）；
答：小明有 12 种可行的购买方案（1 分）。
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