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人教版七年级下册数学第八章 实数 知识点精讲 + 专项训练卷
满分： 100 分 考试时间： 90 分钟
第一部分 核心知识点精讲
一、实数的概念与分类
实数的定义：有理数和无理数统称为实数。（关键点：实数包含所有有理数和无理数，是有理数范围的扩充）
有理数与无理数的区别：
① 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，都可以化为有限小数或无限循环小数（如 、、、）；
② 无理数：无限不循环小数，不能化为分数形式（如 、、，相邻两个 1 之间 0 的个数依次增加）。
实数的分类（两种常见分类方式）：
（1）按定义分类：
（2）按正负分类：
易错提醒： 是实数，也是有理数，但不是正数、也不是负数； 是无理数，不是有理数；带根号的数不一定是无理数（如 是有理数）。
二、平方根与算术平方根
平方根的定义：如果一个数 的平方等于 （即 ），那么这个数 叫做 的平方根（也叫二次方根）。（关键点： 必须是非负数，即 ，负数没有平方根）
示例：因为 、，所以 的平方根是 ； 的平方根是 （只有一个）。
平方根的表示方法：正数 的平方根表示为 ，其中”“叫做二次根号， 叫做被开方数（）。
算术平方根的定义：正数 的正的平方根叫做 的算术平方根，记作 ； 的算术平方根是 。（关键点：算术平方根一定是非负数，即 ）
示例： 的算术平方根是 ；； 表示 的算术平方根，值为 。
核心区别：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数只有一个算术平方根，且为正数； 的平方根和算术平方根都是 。
三、立方根
立方根的定义：如果一个数 的立方等于 （即 ），那么这个数 叫做 的立方根（也叫三次方根）。（关键点：任何实数都有且只有一个立方根，负数也有立方根）
示例：因为 ，所以 的立方根是 ；因为 ，所以 的立方根是 ； 的立方根是 。
立方根的表示方法：数 的立方根记作 ，其中”“叫做三次根号， 叫做被开方数（ 可以是正数、、负数）。
易错提醒：立方根的符号与被开方数的符号一致（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， 的立方根是 ）；（如 ）。
四、实数的性质
实数的相反数：实数 的相反数是 ，互为相反数的两个数和为 （如 的相反数是 ，）； 的相反数是 。
实数的绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 的绝对值是 。即
（如 ，，）。
实数的倒数：非零实数 的倒数是 ，互为倒数的两个数积为 （如 的倒数是 ，化简为 ）； 没有倒数。
实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数（实数与数轴上的点一一对应）。
实数的大小比较：正数大于 ，负数小于 ，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数小；无理数的大小比较，可通过估算近似值再比较（如比较 和 ，因为 ，所以 ）。
五、实数的运算
基本运算：实数可以进行加、减、乘、除（除数不为 ）、乘方、开方（开平方时被开方数非负）运算，运算顺序与有理数一致（先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的）。
运算性质：有理数的运算性质（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用。
无理数的化简与近似值：
① 化简：被开方数含能开得尽方的因数或因式时，可化简（如 ）；
② 近似值：对于无理数，可根据需要取近似值（如 ，）。
六、核心易错点提醒
混淆平方根与算术平方根：一个正数的平方根有两个，算术平方根只有一个，且算术平方根一定是非负数；
忽略开平方的条件：负数没有平方根，被开方数必须是非负数（即 中 ）；
立方根与平方根的符号混淆：平方根的符号与被开方数（正数）互为相反数，立方根的符号与被开方数一致；
无理数的判断错误：认为带根号的数都是无理数（如 是有理数），或认为无限小数都是无理数（如 是有理数）；
实数运算中，忽略无理数的化简，或近似值取法错误。
第二部分 专项训练
一、填空题（每空 1 分，共 20 分）
(专项考查：定义、性质、平方根与立方根)
有理数和_______统称为实数；实数与数轴上的点_______对应。
无限不循环小数叫做_______；有限小数和_______叫做有理数。
的平方根是_______，算术平方根是_______； 的平方根和算术平方根都是_______。
若一个数的平方等于 ，则这个数是_______；若一个数的算术平方根等于 ，则这个数是_______。
的立方根是_______， 的立方根是_______； 的值是_______。
的相反数是_______，绝对值是_______； 的值是_______。
比较大小：（填”>““<”或”=“）； _______ 。
若 有意义，则 的取值范围是_______；若 有意义，则 的取值范围是_______。
化简： _______； _______。
二、选择题（把正确答案的序号填在括号里）（每题 3 分，共 18 分）
(专项考查：定义判定、性质应用、运算)
下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.
下列说法正确的是（ ）
A. 负数有两个平方根 B. 正数的算术平方根是正数
C. 没有立方根 D. 无理数都是带根号的数
若 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
已知 是实数，且 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
估算 的值在（ ）
A. 和 之间 B. 和 之间 C. 和 之间 D. 和 之间
三、解答题（共 62 分）
(专项考查：运算、性质应用、综合求解)
(10 分) 求下列各数的平方根和算术平方根：(专项训练：平方根与算术平方根求解)
(2) (3)
(10 分) 求下列各数的立方根：(专项训练：立方根求解)
(2) (3)
(10 分) 计算下列各式的值：(专项训练：实数运算)
(11 分) 已知一个正数的平方根是 和 ，求这个正数的算术平方根。(专项训练：平方根性质应用)
(11 分) 已知 ，求 的值。(专项训练：非负数性质应用)
(10 分) 比较下列各组实数的大小，并说明理由：(专项训练：实数大小比较)
和
和
和
参考答案与解析
一、填空题（每空 1 分，共 20 分）
无理数；一一
(解析：实数的定义及实数与数轴的关系，每一个实数对应数轴上一个点，反之亦然)
无理数；无限循环小数
(解析：有理数和无理数的核心区别的是是否为无限不循环小数)
；；
(解析： 的平方根是 ，算术平方根是 ， 的平方根和算术平方根都是 )
；
(解析：平方等于 的数是 ；算术平方根等于 的数是 )
；；
(解析：，，)
；；
(解析：相反数是符号相反的数，绝对值根据正负性化简，，故 )
；全体实数
(解析：开平方时被开方数非负， 得 ；开立方时被开方数无限制)
；
(解析：；)
二、选择题（每题 3 分，共 18 分）
C
(解析：A、D 是有限小数，属于有理数；B ，是有理数；C 是无限不循环小数，属于无理数)
B
(解析：A 负数没有平方根；C 的立方根是 ；D 无理数不一定带根号，如 ；B 正确)
B
(解析：，两边平方得 )
B
(解析：A ；C ；D ；B 正确)
C
(解析：绝对值等于 的数有两个，互为相反数，即 )
B
(解析：，，故 在 和 之间)
三、解答题（共 62 分）
(10 分，每小题 3 分，第 3 小题 4 分) (平方根与算术平方根专项)
的平方根是 ，算术平方根是 ；
的平方根是 ，算术平方根是 ；
的平方根是 ，算术平方根是 。
(10 分，每小题 3 分，第 3 小题 4 分) (立方根专项)
的立方根是 ；
的立方根是 ；
的立方根是 。
(10 分，每小题 3 分，第 3 小题 4 分) (实数运算专项)
；
；
。
(11 分) (平方根性质应用专项)
第一步：根据平方根的性质求解 （5 分）。
一个正数的两个平方根互为相反数，故 ，化简得 ，解得 ；
第二步：求这个正数（3 分）。
将 代入 ，得 ，故这个正数是 ；
第三步：求这个正数的算术平方根（3 分）。
的算术平方根是 ；
答：这个正数的算术平方根是 。
(11 分) (非负数性质应用专项)
第一步：根据非负数性质求 、 的值（6 分）。
和 都是非负数，两个非负数的和为 ，则每个非负数都为 ，故
解得 ，；
第二步：计算 的值（5 分）。
将 ， 代入，得 ；
答： 的值是 。
(10 分，每小题 3 分，第 3 小题 4 分) (实数大小比较专项)
，理由：，，故 ；
，理由：，，，负数绝对值大的数小，故 ；
，理由：，，，故 。
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