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湖南省长沙市人教版2025-2026学年八年级数学下学期期中素养综合测试卷
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列各式中，运算正确的是(　　　)
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　 ）
A．3，4，5 B．1，， C．2，2，3 D．5，12，13
4．如图，在中，，为的中点，若，则的度数为（ ）
A．55° B．35° C．45° D．30°
5．下列说法中不正确的是（ ）．
A．矩形的对角线互相垂直且相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．四条边相等的四边形是菱形 D．正方形的对角线相等
6．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
7．如图，在口ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．且DE＝4，BC＝10，则CD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
9．如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
10．如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是（ ）
A．一直增大 B．不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．函数 中，自变量x的取值范围是__________．
12．如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____．
13．方程的解为__________．
14．如图，在菱形中，对角线的交点为O，，，若点E在上，且，则的长为________．
15．如图，ABC中，，CD是AB边上的中线，且，则AB的长为______．
16．如图，点是菱形的边上一点，且，则______．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．先化简，后求值：，其中
19．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，连接BE并延长交AD延长线于点F，且AB＝AF．
(1)求证：点D是AF的中点；
(2)若AE＝4，BE＝2，求BC的长．
20．如图，平行四边形中，点分别在的延长线上，，，垂足为点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求的长．
21．观察下列各式：
；；，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
(1)猜想______=______；
(2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：________________；
(3)应用：计算．
22．如图，在正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，
（1）求证：△BEC≌△DEC：
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度数．
23．如图，在矩形中，是上一点，连接，沿折叠，点恰好落在上的点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．如图，在矩形中，，，点E为中点，连接，点F为中点，点G为线段上一点，连接．
(1)如图1，若点G为中点，求证：四边形为平行四边形；
(2)如图2，若点G使得，求四边形的面积；
(3)如图3，连接，若点G使得，求的长．
25．定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．

(1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和；
①如图（2），当时，求证：；
②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由．
已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B A A A D A C
二、填空题
11．
12．15
13．
14．
15．8
16．
三、解答题
17．【详解】解：原式
．
18．【详解】解：
，
当时，
原式．
19．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，CD=AB，BCAD，
∴∠CBE=∠F．
∵AB=AF，AE平分∠BAF，
∴BE=EF，AE⊥BF．
在△BCE与△FDE中，，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BC=DF．
∵BC=AD，
∴AD=DF，
即点D是AF的中点；
（2）解：∵AB=AF，AE平分∠BAF，
∴AE⊥BF．
∵AE=4，BE=2，
∴AB=，
∴AF=2，
∴AD=DF=，
∴BC=DF=．
20．【详解】（1）解：∵在平行四边形中，
∴，即
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵在平行四边形和中，
∴，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．【详解】（1）解：
故答案为：，．
（2）解：，
故答案为：．
（3）解：
22．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA，
在△BEC和△DEC中
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵∠DEB=140°，
∵△BEC≌△DEC，
∴∠DEC=∠BEC=70°，
∴∠AEF=∠BEC=70°，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠AFE=180°-70°-45°=65°．
答：∠AFE的度数是65°．
23．【详解】（1）沿折叠，点恰好落在上的点，
，
矩形，
，
，
，
；
（2）矩形，
，，
沿折叠，点恰好落在上的点，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
．
24．【详解】（1）证明：点为中点，点为中点
，
矩形
，
，
点为中点
四边形为平行四边形；
（2）连接
矩形
，
点为中点
设，则
，
，
点为中点
，
，
；
（3）过点作交延长线于点，作于点，作于点
∴
由（2）可知，
．
25．【详解】（1）解：①证明：正方形和正方形，
，，，
，
，
．
在和中，
，
．
，
．
②．
理由如下：
如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点．

．
四边形，四边形均为正方形，
，，
，．
．
在和中，
，
，
．
，
，，
；
（2）的值发生变化；的最大值为18；理由如下：
由（1）得，是面积的三倍，
要使最大，只需的面积最大，
当是直角三角形，即时，有最大值．
此时，．
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