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北师大版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试学科素养抢分卷（一）
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如果，下列不等式中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则的值等于（ ）
A． B．0 C．2 D．3
6．若等腰三角形一腰上的高长为，且与底边的夹角为，则这个等腰三角形的面积为（ ）
A． B． C．6 D．或
7．不等式组的解集为，则m的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，将长方形纸片沿折叠，点D落在处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A，B分别在x轴和y轴上， ，．若将线段平移至线段的位置，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
10．如图，在中，，是的平分线，．若点是上一动点，且作于点N，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．分解因式： ______．
12．已知，则________．
13．某公园形如长方形 ，长为 30，宽为 20 ．该公园中有 3 条宽均为 3 的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为_____
14．若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______．
15．如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点；再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点；若，，，则的长为______．
16．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)．
18．因式分解
(1)；
(2)．
19．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是、．
(1)将向下平移3个单位后得到，则点的坐标为_____；
(2)画出关于y轴对称的；
(3)将绕点逆时针旋转后得到．
20．如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形．
(1)请求出点B的坐标；
(2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：．
21．某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）．
甲 乙
进价/（元/件） 20 30
售价/（元/件） 29 40
(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
(2)该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？
22．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．连接并延长交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求的面积．
23．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点．
(1)若，求；
(2)若，求的度数．
24．平面直角坐标系中，点，，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点．
(1)求点A，B两点的坐标；
(2)如图1，若，，且，连接交x轴于点M，求证：；
(3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标．
25．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有　　　　　　；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D D A B A B C
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【详解】（1）解：，
，
，
，
∴；
将不等式的解集在数轴上表示如下：
（2）解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∴不等式组的解集为：．
所以，不等式组的解集在数轴上表示为：
18．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．【详解】（1）解：∵向下平移3个单位后得到，，
∴点的坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求，
（3）解：如图所示，即为所求，
20．【详解】（1）解：如图1，过作于，

∵是等边三角形，且，
，
∴，
∴
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵将沿着x轴向右平移到，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
21．【详解】（1）解：设该超市第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
根据题意，得，
解得，
∴，
∴(元) ．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1970元的利润．
（2）解：设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品，
根据题意，得，
解得．
答：该超市最少需要购进100件甲种商品．
22．【详解】（1）解：由作图过程可得，平分，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【详解】（1）解：，
，
平分，平分，
，，
，
．
（2）解：平分，平分，
，，
，
，即，
，
，解得，
设，，
∴，，
解得．
24．【详解】（1）解：∵，，，
，，
解得，，
，；
（2）证明：如图3，作，交x轴于点N，则，
，，
，
点A、C关于y轴对称，
点，y轴是线段的垂直平分线，
，
，
，
；
，，且，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图4，
，
，
，
为等腰直角三角形，
当点F与点C重合、点G与点B重合时，则为等腰直角三角形，
，
过点D作轴于点L，则，
，，
，
，，
，
，，
如图5，若，，
过点G作轴交y轴于点K，作于点R，于点Q，
则，
，
，
∵，
，
，
由可得，，
解得，，
，，
，
，
；
如图6，若，，作轴，作轴于点P，交于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，点F的坐标为或或．
25．【详解】解：（1）∵点P是线段AB上一动点，点A、点B对应的数分别是－1，1，
又∵|PQ|＝2，
∴连动数Q的范围为：或，
∴连动数有-2.5，2；
（2），
②×3-①×4得：，
①×3-②×2得：，
要使x，y均为连动数，
或，解得或
或，解得或
∴k=-8或-6或-4；
（3）解得：
，
∵解集中恰好有4个解是连动整数，
∴四个连动整数解为-2，-1，1，2，
∴，
∴
∴a的取值范围是．
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