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广东省广州市人教版2025-2026学年八年级数学下学期期中素养综合测试卷（一）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．菱形的对角线，，则菱形的面积等于（ ）
A．12 B．24 C．25 D．48
7．如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为( )
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　）

A．4 B．2 C．1 D．
9．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的（如图），则水深和芦苇长各多少尺？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图①，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴．直线：沿轴正方向平移，被矩形截得的线段的长度与平移的距离之间的函数图象如图②，那么矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____．
12．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线交于点，连接．若平行四边形的周长为20cm，则的周长为______cm．
13．已知菱形的两条对角线，，则菱形的面积为__________．
14．如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为__________．
15．如图，一次函数与图像的交点是，观察图像，直接写出方程组的解为__________．
16．如图所示，在边长为的正方形中，点，分别为、的中点，和相交于点；如图所示，将图中边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，点落在点处，折痕为．现有四个结论：
图中：①；②；③；
图中：④．
其中正确的结论有：______．（填序号）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，在中，，点D是外一点，连接，且，．
(1)求的长；
(2)求证：是直角三角形．
19．已知：，求代数式的值.
20．如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．
21．如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点C的坐标．
22．如图，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，另一端F在AD上，，．
(1)求证：四边形BGEF为菱形；
(2)求FG的长．
23．某公司在疫情复工准备工作中，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元．
(1)甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？
(2)该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共50瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过1900元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有哪几种购买方案？若花费为，请求出的最小值及其应对方案．
24．已知正方形内有一动点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，连接、，为中点，连接．
图（1） 图（2）
(1)如图（1）：点在正方形的对角线上，求证：；
(2)在（1）的条件下连接，如果，，求的长度；
(3)如图（2），求证：．
25．在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“吉祥点”．
(1)求函数的图象上所有“吉祥点”的坐标；
(2)证明：无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”；
(3)若直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点C．记线段围成的区域（不含边界）为W．若区域W内没有“吉祥点”，直接写出k的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D A B B C A C
二、填空题
11．5
12．10
13．30
14．55°
15．
16．①②④
三、解答题
17．【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
18．【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
19．【详解】试题分析：将原式进行因式分解，然后将数值代入即可.
试题解析：∵
∴原式=
=（）2
=
= 12
20．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．
∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．
∴∠D=∠BCF．
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴∠DEA=∠F．
∴AE∥BF．
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
（2）解：如图，∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．
∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．
∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB=．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=5．
21．【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，
点B（6，0）、D（4，-1）代入可得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：由直线、解析式联立可得：
，
，
，
解得：，
代入得：，
∴C（，）；
22．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EFG＝∠BGF，
∵图形翻折后点B与点E重合，GF为折线，
∴∠BGF＝∠EGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝GE，
∵图形翻折后BG与GE完全重合，
∴BG＝GE，
∴EF＝BG，
∴四边形BGEF为平行四边形，
∴四边形BGEF为菱形；
（2）解：过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°，
∵∠A＝∠ABK＝∠FKB＝90°，
∴四边形ABKF是矩形，
∴FK＝AB＝8，BK＝AF，
在Rt△ABF中，AB＝8，∠A＝90°，BF＝BG＝10，
∴AF＝，
∴BK＝AF＝6，
∴GK＝BG﹣BK＝10﹣6＝4，
∴FG＝．
23．【详解】（1）解：设甲、乙品牌的消毒液的单价分别为x元，y元，
由题意可得，，
解得．
∴甲品牌的消毒液的单价为50元，乙品牌的消毒液的单价为30元．
（2）解：设购进甲品牌的消毒液a瓶，则购进乙品牌的消毒液（50 a）瓶，
由题意可得，，
解得≤a≤20，
∵a为正整数，
∴a可取17，18，19，20，
设购买消毒液共花费W元，则W=50a+30（50 a）=20a+1500，
∵20＞0，
∴W随a的增大而增大，
∴当a=17时，W的值最小，最省钱为1840元，此时50 a=33（个），
∴共有4种方案，其中最省钱的方案是购进甲品牌的消毒液17瓶，则购进乙品牌的消毒液33瓶．
24．【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴
又∵△ECF为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴EFAD，
（2）解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G，
∵∠GCE=45°，∠CGE=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴GC=EG==4，
设GC=EG=x，则x2+x2=(4)2，
解得：x=4，
即GC=EG=4，
∴BG=BC-GC=12-4=8
在Rt中，
BE===，
答：的长度为；
（3）证明：过点C作交延长线于，连接，
∵∠ACN=90°，∠CAN=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵∠ADC=90°，
∴
又∵
∴
又∵
∴△AEC≌△NFC（SAS）
∴FN=AE
在△AFN中，M为AF中点，AD=DN
∴
∴
25．【详解】（1）∵x是整数，时，是一个无理数
∴时，不是整数，
∴，即函数的图象上“吉祥点”的坐标是．
（2）∵
∴，
∴无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”：；
（3）由题意，，，，
∴点B始终直线的右侧（也就是直线在直线的右侧，点B的左侧），
当时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；
当时，y轴将W分成左右两部分，左边部分内点的横坐标在－1到0之间（不包括y轴），右边部分的点纵坐标在0到1之间（包括y轴），故时W内无整点；
当时，由图知，W内无整点；
当时，W内可能存在的整数点横坐标只能为－1，
此时边界上两点坐标为和，；
故时，W内无整点；
当时，由图知，W内无整点；
当时，横坐标为－2的边界点为和，线段长度为，故必有整点．
综上所述：或时，W内没有整数点．
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