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广东省深圳市北师大版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试模拟试卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式组的整数解为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若的三边长分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（ ）
A．2，3 B．， C．，3 D．2，
7．已知点，，将线段平移后得到线段，其中点A平移到点C，点B平移到点D，平移后点C、点D恰好都落在坐标轴上，则点C的坐标是（　　）
A． B．
C．或 D．或
8．一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
10．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．点在第二象限内，为整数，则点的坐标为____．
12．写出点关于原点对称的点的坐标是________．
13．分解因式：______．
14．已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是________
15．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为______________________．
16．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解不等式并把解集在数轴上表示出来：．
18．按要求完成下列计算：
(1)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
(2)求不等式组的整数解．
19．因式分解：
(1)；
(2)．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题：
(1)的面积为 ；
(2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出．并写出坐标；
(3)作出关于成中心对称的，并写出坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求m的值及一次函数的表达式；
(2)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请写出点P的坐标．
(3)结合图象直接写出：的解集．
22．为了响应襄阳市中小学“阳光课间活力校园”专项行动，某校成立了足球社团，需要到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
(1)求购买一个A种品牌，一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)随着社团人数的增多，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3220元，且保证这次购买的B种品牌足球不少于26个，则学校有哪几种购买方案？哪种方案需要资金最少？
23．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连接，并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)过点作，交于点，猜想线段满足的数量关系，并证明；
(3)若为中点，求的值．
24．如图1，中，，于点D，平分，，与相交于点E．
(1)求的长；
(2)延长与相交于一点P，如图2，求证：是等边三角形；
(3)如图3，点M是中点，点N是上一动点，连接．当时，求面积的最大值．
25．使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”．
例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”．
(1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）；
(2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围；
(3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D C A B C B B C
二、填空题
11．
12．
13．
14．3
15．
16．
三、解答题
17．【详解】解：，
，
，
，
，
，
解集表示在数轴上如图所示，
．
18．【详解】（1）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
解集在数轴上表示如图所示：
（2）解：原不等式组可化为，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为．
19．【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
20．【详解】（1）解：的面积；
（2）解：如图所示：
坐标为；
（3）如图所示：
坐标为．
21．【详解】（1）解：代入点到，得，
解得，
∴，
代入，到，
则，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：对于，令，则，
∴，
设点P的坐标为，
∵的面积为6，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或；
（3）解：由图象得，当时，，
∴的解集为．
22．【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价为元，B种品牌足球的单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：购买一个种品牌的足球分别需要50元、80元；
（2）解：设第二次购买A种足球个，则购买种足球个，
依题意得：
，
解得：，
即可以取值为：22，23，24，
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球22个，B种足球28个，
方案二：购买A种足球23个，B种足球27个，
方案三：购买A种足球24个，B种足球26个，
，
当，时，（元），
当，时，（元），
当，时，（元），
∵，
为了节约资金，学校应选择方案三：购买A种足球24个，B种足球26个，资金最少．最少资金是3168元．
23．【详解】（1）证明：∵等腰中，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．
24．【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）解：过点M作边上的高，如图，
则的面积，
∵点M是中点，
∴点M是定点，
∴为定值，
∴当的值最大时，的面积最大，
∵点N是线段上一动点，
∴当点N与点D重合时，的值最大，
如图，当点N与点D重合时，过点D作于点G，
∵，，，
∴，
∵点M是中点，
∵，
∴，，
∴，
∴当点N与点D重合时，面积的最大值为．
25．【详解】（1）解：，解得：，
，故①不成立；
，故②不成立；
，故③成立，
故答案为：③；
（2）∵是方程与不等式组的“调和解”，
∴，，
解得：，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）不等式组，解得：，
将代入，得，解得：，
∵关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，
∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1，
∴，解得：，
∴．
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