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北师大版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试学科素养达标卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点在第四象限，则m的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
5．下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段
B．任意一个三角形的内角和都是
C．三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和等边三角形
D．直角三角形的两个锐角互余
6．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
7．如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知，，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
9．具备下列条件的三角形中，不为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．一个外角等于和它相邻的一个内角
10．如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为（ ）
A． B． C．10 D．12
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．分解因式：___________．
12．已知、两点关于原点对称，若点的坐标为，则点的坐标为______．
13．如图，，，将沿方向平移得到，若，，则平移的距离为________．
14．关于的不等式组无解，则的取值范围是___________．
15．如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为______．
16．如图，是中边上的一点，将沿着对折，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则的长为_________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解不等式组把解集表示在数轴上，并求出它的最小整数解．
18．因式分解：
(1)；
(2) ．
19．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，坐标是____；
(2)平移，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，的坐标__；
(3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标是________．
20．已知解关于m的不等式组．
(1)求不等式组的解集；
(2)化简；
(3)在m的取值范围内，当整数 时，关于x的不等式的解集是．
21．某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 3 4
利润（万元/件） 1 3
(1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？
(3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润
22．已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，．
(1)如图1，若是等边三角形，，则的长等于 ；
(2)如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接．
①求证：是等边三角形；
②求证：．
23．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的长．
24．在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，．
(1)若的面积为16，在线段上存在点；
①如图1，填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____；
②如图2，点在轴负半轴上，连接，，若，求点的坐标；
(2)如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，且．求证：．
25．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”______；“整点”为______；
(2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围；
(3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B C B A B C B
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【详解】解：解不等式得，，
解不等式得，
不等式组的解集是，
解集在数轴上表示如下：
最小整数解为．
18．【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
19．【详解】（1）解：如图所示，即为所作，的坐标为
（2）解：如图所示，即为所作，的坐标为；
（3）解：连接，，，交于点，则点为旋转中心．
由（1）得，
由（2）得，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得：，
∴直线的解析式为；
同理得直线的解析式为，
联立方程组得，
解得，
∴点的坐标为．
20．【详解】（1）解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为；
（2）解：∵，
∴，
则原式；
（3）解：不等式整理得：，
∵不等式的解集为，
∴，
解得：，即，
∴当整数或时，关于x的不等式的解集是．
21．【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件，
∵工厂计划获利23万元，
∴，
解得：，
∴，
即A种产品应生产件，B种产品生产件；
（2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件，
∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，
∴，
解得：
∴，
可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件；
（3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）；
第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）；
第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）；
可知第一种获利最大，最大利润为37万元．
22．【详解】（1）解：如图1，是等边三角形，，
，，
，
，
，
D是的中点，
，，
，
，
∵，
，
，
，
，
；
（2）①证明：如图2，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
∴是等边三角形；
②证明：如图2，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
23．【详解】（1）证明：，
，
，分别平分，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
的长是6．
24．【详解】（1）①解：∵点，点均在坐标轴上，
∴，则，
∵的面积为，
∴，则，
如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵点，点，
∴；
②解：如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点，
∵点；
∴
又
∴，
∴
∴，
∴；
（2）证明：∵
∴，
又∵，
∴
∴是等边三角形，
如图所示，在上取点，，
∵，
则是等边三角形，
∴，
∴
在中，
∴
∴
∴．
25．【详解】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴，整点为，
故答案为：；，；
（2）解：
解不等式得：，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得，,
∴
当时，方程组解为：，
满足题意，
综上所述：的取值范围．
（3）解：存在，理由如下：
当时，不等式的解集为，
∴，不符合，
当时，不等式的解集为，
∵，
∴，
解得：，
当时，不等式的解集为，
∴，
解得：，
当，不等式的解集为，
∴，
解得：，当时，，不符合，
当或，方程组无解，
综上所述：，
∴为，
解不等式组得：，
∵关于y的不等式组恰有4个“整点”，
∴，
解得：．
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