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北师大版2025-2026学年八年级数学下学期期中素养测试卷（一）
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在以下四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到，则四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．在关于x，y的方程组的解满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　）
A． B． C． D．
9．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．因式分解：______．
12．如图， 将其沿着点B到C的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为________．
13．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，，则的度数为______．
14．若不等式组的解集是，则的取值范围是________．
15．如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________．
16．如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列不等式（组），并在数轴上表示其解集．
(1)
(2)
18．因式分解
(1)；
(2)．
19．已知 ，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)画出向左平移4个单位后得到的对应；
(2)画出绕原点旋转后得到的对应；
(3)观察发现，与关于某点成中心对称，写出对称中心的坐标．
21．当关于的二元一次方程组的解为正数，为负数．
(1)求的取值范围；
(2)化简．
22．为了加强校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选择．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少160元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多120元．
(1)求甲、乙两种型号设备的单价；
(2)若购买这批设备的资金不超过7600元，则至少应该购买甲型设备多少台？
23．如图，在中，，点分别在边上，连接交于点．
(1)试判断与是否相等，并说明理由；
(2)若平分，求证：；
(3)在（2）的条件下，已知，求的长度．
24．如图1，在中，为线段上的一点，且满足，连接，过点作于点E，与交于点．
(1)如图1，若，则_________．
(2)如图1，在（1）的条件下，若．
①求的长．
②求的面积．
(3)如图2，若点在的延长线上，且，设直线与直线交于点，在线段的延长线上取一点，使得，连接，交直线于点．若，请直接写出线段和之间的数量关系．
25．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号）
(2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
(3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C D A C B D C
二、填空题
11．
12．34
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【详解】（1）解：去分母得：，
去括号得：，
移项，合并，得：，
解得．
将解集表示在数轴上如下：
；
（2）解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
．
18．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．【详解】（1）解：，
，，
；
（2）解：由（1）知 ，
∵，
．
20．【详解】（1）解：如图所示，分别确定，，平移后的对应点，，，得到即为所求；
（2）解：如图所示，分别确定，，旋转后的对应点，，，得到即为所求；
（3）解：由图可得，与关于点成中心对称．
21．【详解】（1）解： ，
解得： ，
∵原方程组的解中x为正数，y为负数，
∴ ，
解得：；
（2）解：∵，
∴，，
∴．
22．【详解】（1）解：设甲型设备的单价为x元，则乙型设备的单价为元，
根据题意，得
解得
∴
答：甲型设备的单价为440元，乙型设备的单价为600元；
（2）解：设购买甲型设备m台，则购买乙型设备台，
根据题意，得
解得
∵m为整数，
∴m的最小值为9．
答：至少应该购买甲型设备9台．
23．【详解】（1）解：．
证明：∵，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点F作于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上截取，连接，如图所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．【详解】（1）解：∵，，
∴；
∵，
∴
∵，
∴，
∴
（2）解：①∵在中，，，，
∴，
∵，
∴；
②如图1所示，过点P作于点F，则，
由（1）得，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下；
如图所示，过点D作交的延长线于点K，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，延长交于点M，过点A作交于点N，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
在中，，，
∴，
∴，
∴．
25．【详解】（1）解：①，
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，；
②，
去括号得，，
移项合并同类项得，；
③，
移项得，，
系数化为1得，；
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”．
故答案为：①③．
（2）解：
解得，
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴，
解得；
（3）解：，
去分母得，
移项合并同类项得，；
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴，
解得，
∵不等式组有3个整数解，
∴，
解得，
∴．

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