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北京市朝阳区人教版2025-2026学年七年级数学下学期期中考试模拟卷培优卷
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．9的平方根是（ ）
A． B． C． D．3
3．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（　 ）
A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．相等的两个角是对顶角
D．对任意的有理数a和b，若，则
5．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．若在y轴上，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，平面直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知是关于，的二元一次方程，则的值是________．
12．若，，则________．
13．设、为实数，且，则的立方根是________．
14．如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和6的正方形，则阴影部分的面积为__________．
15．已知点在x轴上，则点P的坐标是_________
16．若与是同一个正数的两个不同的平方根，则______．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解方程（组）：
(1)；
(2)．
19．已知的立方根是2，的算术平方根是1，是的整数部分．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
20．已知：，，．
(1)在坐标系中描出各点，画出．
(2)的面积是 ；
(3)设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标．
21．列二元一次方程组解下列问题
(1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价．
(2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度．
22．如图，，于点P．
(1)若，请求出的度数；
(2)若，求证：．
23．已知关于，的方程组
(1)若方程组的解满足，求的值．
(2)为何整数时，原方程组的解为正整数？
(3)小聪发现，无论取何值，方程总有同一个解；小明发现，存在一个实数，使得原方程组无解，求的平方根．
24．在平面直角坐标系中，，，（见图1），且
(1)求、的值；
(2)①在轴的正半轴上存在一点，使的面积的面积，求出点的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点，使的面积的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；
(3)如图2，过点作轴交轴于点，点为线段延长线上的一动点，连接，平分，，当点运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
25．新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以2的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题：
(1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是______．
(2)若无理数（a为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值；
(3)实数x，y，m满足关系式：求m的算术平方根的“青一区间”．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B A B A C D A
二、填空题
11．
12．
13．3
14．
15．
16．1
三、解答题
17．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，即或；
（2）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
19．【详解】（1）解：∵的立方根是2，
∴，
∵的算术平方根是1，
∴，
∵，
∴即，
∴的整数部分是4，
又是的整数部分，
∴，
综上可知，，；
（2）∵，，，
∴．
∴的平方根为．
20．【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：过点向、轴作垂线，垂足为、．
四边形的面积，的面积，的面积，的面积．
的面积四边形的面积的面积的面积的面积
．
故答案为：4；
（3）点在轴上，
的面积，
即，
解得：．
所以点的坐标为或．
21．【详解】（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，
所以根据题意列二元一次方程组得：，
解得，
答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元．
（2）设甲的速度为，乙的速度为，
由题意得：，
解得：．
答：甲的速度为，乙的速度为．
22．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
23．【详解】（1）解：联立，
解得，
∴，
∴；
（2）解：
由①得：，
∵方程组的解为正整数，
∴是正整数，即，
当时，，则，解得，不符合题意；
当时，，则，解得，符合题意；
当时，，则，解得，符合题意；
综上所述，或；
（3）解：∵，
∴，
∵无论取何值，方程总有同一个解，
∴当时，，解得，
∴；
得：，
∵存在一个实数，使得原方程组无解，
∴方程无解，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为．
24．【详解】（1）解：∵，，
∴
解得：
（2）解：①设，，
∵，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
②当点在轴负半轴上时，由①可知，
当点在轴上时，同理可计算出，即或
满足条件的点坐标为或或．
（3）结论：的值不会改变，．
理由：如图2中，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
25．【详解】（1）∵，，
∴，，
∴的“青一区间”是，的“青一区间”是，
故答案为：，；
（2）∵无理数的“青一区间”为，
∴，
∴，即，
∵的“青一区间”为，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵a为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴的值为2或；
（3）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
两式相减，得，
∴，
∴m的算术平方根为，
∵，
∴，
∴m的算术平方根的“青一区间”是．
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试卷第1页，共3页
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