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9.2轴对称 强化提升专练
一、知识点核心定义
轴对称是平面内图形运动的基本形式之一，属于“全等变换”（不改变图形的形状和大小）。在平面内，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（对称点）。
补充：若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形（轴对称图形是单个图形的特征，成轴对称是两个图形的关系）。
关键关联：轴对称与平移、旋转同属全等变换，核心区别是：平移是“移动”，旋转是“转动”，轴对称是“翻折”，可对比三者特征理解记忆。
二、轴对称的核心要素
轴对称的两个核心要素是判断图形是否成轴对称、进行轴对称作图的关键，缺一不可。
对称轴：一条固定的直线（可以是水平、竖直、倾斜的直线），折叠时图形围绕这条直线翻折，对称轴是轴对称的核心，一个轴对称图形可能有1条或多条对称轴（如等腰三角形有1条，正方形有4条）。
对应点（对称点）：两个成轴对称的图形中，折叠后能够完全重合的点，对称点到对称轴的距离相等，且对称轴是对应点连线的垂直平分线。
记忆口诀：轴对称，有特点，一条直线是关键；对称点，连线段，垂直平分对称轴。
三、轴对称的基本性质
成轴对称的两个图形（或轴对称图形的两部分）具有以下性质，是解题、作图的核心依据：
成轴对称的两个图形全等（形状、大小完全相同，对应边、对应角均相等）；
对应点：对应点所连的线段垂直于对称轴，且被对称轴平分（即对称轴是对应点连线的垂直平分线）；
对应线段：对应线段相等，且对应线段所在直线与对称轴的夹角相等；
对应角：对应角相等；
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点连线的垂直平分线。
四、轴对称作图的一般步骤
第一步：找关键点：找出原图形中的关键顶点、端点、交点（如三角形的三个顶点、线段的端点），关键点的数量根据图形复杂程度确定，确保能确定图形的形状和位置。
第二步：作对称点：过每个关键点作对称轴的垂线，垂足为O，在垂线上截取与原关键点到垂足距离相等的点，即为该关键点的对称点（可借助直尺、圆规作图，确保对称点到对称轴的距离等于原关键点到对称轴的距离）。
第三步：顺次连接：按照原图形的顺序，依次连接所有关键点的对称点，得到原图形关于这条直线的对称图形。
第四步：检验验证：检查对应点连线是否垂直于对称轴且被对称轴平分，对应线段、对应角是否相等，确保作图准确。
记忆口诀：定点（找关键点）、作垂线（过点作对称轴垂线）、取等距（截取对称点）、连点成形（顺次连接）。
强化提升专练
一、单选题
1．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．黑体字是一种横平竖直，粗细一致的雄浑字体，以下汉字可以看作轴对称图形的是（ ）
A．中 B．国 C．自 D．信
3．如图，在的正方形网格中，有一个格点（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与成轴对称的格点三角形有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与在同一条直线上，折痕为，若，则的度数（ ）

A． B． C． D．
5．如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落边上的点处，折痕为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好落在线段上，点与点关于直线对称，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．题目：“如图，在长方形纸片中，点E，F，G分别在边，，上，将，分别沿，进行折叠并压平，与分别折叠到与的位置，若，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
8．小明用长宽比为的卡纸制作三折式贺卡：左右折叠使与重合，展开后得图1所示折痕；将折痕右侧折叠使与折痕重合，得图2所示长方形；翻折至，使点分别落在线段上，得图3．若长，长方形面积恰为贺卡面积的一半，则贺卡的面积为（ ）．
A．252 B．210 C．315 D．
二、填空题
9．如图，五角星是非常美丽的图案，它有_______条对称轴．

10．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是______．
11．如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则________．
12．如图，沿直线对折后，点落在边上的点处，若，则_____．

13．如图，把标有序号①、②、③、④、⑤、⑥中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是轴对称图形，那么该小正方形的序号可以是______（填一个即可）．

14．如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于点M，交于点N，，则的周长为______

15．如图，在等腰中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在外部的点处，则图形中阴影部分的周长为________．

16．如图，长方形纸片中，，，且，将长方形纸片沿直线翻折，使点C落在边上，记作点N，再将沿直线向左翻折，使点D落在射线上，记作点P，若点N，P，A三点中有一点是另外两点的中点，则的值为________________．

17．如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在、处，且经过点B，交BC于点G，连结，平分．若，，则的度数是___．
18．如图，将三角形纸片沿折叠，使与重合，，相交于，已知，设的面积为，的面积为，的面积为，则的值为______ ．
三、解答题
19．画出图中图形的对称轴．
20．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，的位置如图所示．
(1)试在网格图中画出，使与关于轴对称；
(2)在轴上找一点，使得最小．
21．国庆期间，高笋塘广场上设置了一个庆祝国庆75周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板．
(1)用含、的代数式表示出展板的面积，并求出当米，米时展板的面积．
(2)在（1）的条件下，已知摆放花草部分造价为元/平方米，展板部分造价为元/平方米，求制作整个造型的造价（取3）．
22．如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，
(1)求的度数；
(2)若，求的面积．
23．在直角三角形ABC中，，点D，E分别在上，将沿翻折，得到．
(1)如图①，若，则______；

(2)如图②，的平分线交线段于点G.若，求证．

(3)已知，的平分线交直线于点G.当的其中一条边与平行时，直接写出的度数（可用含的式表示）．

24．综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动．
【生活案例】
（1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______．
【变式思考】
（2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数．
【拓展运用】
（3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数．
试卷第6页，共7页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C A A B B A
1．A
【详解】解：B、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
2．A
【详解】解：B、C、D选项中的汉字不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
3．C
【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形有
共5个．
故选：C．
4．A
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
故选：A．
5．A
【详解】解：由翻折可知：，，
，，
，
的周长，
故选：A．
6．B
【详解】解：连接，
轴于点，，
，，
点关于直线的对称点恰好在上，
是线段的垂直平分线，
，
，
点与点关于直线对称，
是的垂直平分线，
．
故选：B．
7．B
【详解】解：将，分别沿，进行折叠并压平，与分别折叠到和的位置，
根据折叠的性质可知：，，，
分两种情况讨论：
①如下图所示，
则，
，
，
，
，
②如下图所示，
则，
，
，
，
；
综上所述，或，
甲、丙答案合在一起才完整．
故选：B．
8．A
【详解】解：∵卡纸的长宽比为，
，
由折叠的性质得：，
∵长方形面积恰为贺卡面积的一半，
，
设，则，
，
由题意得：，
解得：，
，
∴贺卡的面积，
故选：A．
9．5
【详解】解：五角星是轴对称图形，它只有5条对称轴；
故答案为：5．
10．
【详解】解：此刻的实际时间应该是，
故答案为：
11．/度
【详解】解：∵长方形中，，
，
由∵
．
故答案为：．
12．/80度
【详解】解：由折叠得：
，
，
，
．
故答案：．
13．②（③或④或⑤）
【详解】解：把标号②或③或④或⑤涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是轴对称图形．
故答案为：②（③或④或⑤）．
14．m
【详解】 P点关于、的对称点，
，，
周长，
故答案为：m．
15．26
【详解】解：由折叠的性质可得：，，
，，，
图形中阴影部分的周长，
故答案为：26．
16．3或
【详解】解：∵将长方形纸片沿直线翻折，
∴，
将沿直线向左起折，当点D落在线段上时，如图，

∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∴；
当点D落在线段的延长线上时，如图，

∴，
∵点A是的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3或．
17．130
【详解】解：设，
∵平分，
∴，，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：130．
18．
【详解】解：由折叠可知≌，
，
，
①，
过作于，交的延长线于，
，
，
，
，
②，
得，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
19．
【详解】解：如图，直线为所求的对称轴．
20．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图，连接,交轴于点,
与关于轴对称，
,
，
即为所求．
21．(1)；平方米
(2)制作整个造型的造价为元．
【详解】（1）解：根据题意，展板的面积．
当米，米时，
展板的面积平方米；
（2）元，
即制作整个造型的造价为元．
22．(1)
(2)10
【详解】（1）解：由折叠可得，，，
又，
，
，
，
．
（2）解：根据折叠的性质，得，
又，得，
根据折叠的性质，得，
故，
故．
23．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）解：∵的平分线交线段于点G，
∴，
∵，
设，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；

（3）解：
①当，如图①所示：

∴，
∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∵，
∴；
②当，如图②所示：

∴，
∴，
∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∵，
∴；
③当，如图③所示：

∴，
∵翻折，，
∴，
∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∵，
∴；
④当时，在的下方，如图④所示：

∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∴；
⑤当时，在的下方，如图⑤所示：

∴，
∵翻折，，
∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∴；
综上所述，或或或．
【点睛】本题考查平行线的性质，翻折，三角形内角和定理，角的平分线的定义，注意分情况讨论是解（3）题的关键．
24．（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）理由：如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：．
（2）如图
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即．
（3）如图，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
当时，
∴
解得：

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