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湖南省长沙市人教版2025-2026学年七年级数学下学期期中考试模拟考试自我检测卷
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A．1.414 B． C． D．0
2．已知点P的坐标为，则点P在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．如图，能判定的条件是（ ）

A． B． C． D．
4．以方程组的解为坐标的点在平面坐标系中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．下列方程中：①；②；③；④，二元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在端午节来临之际，某商店订购了型和型两种粽子，其中型粽子28元/千克，型粽子24元/千克．若型粽子的数量比型粽子的2倍少20千克，且购进两种粽子共用了2560元设购进型粽子千克，型粽子千克，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，已知直线，相交于点，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点P(a+5，a-1)在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为( )
A．(4，-2) B．(-4，2) C．(-2，4) D．(2，-4)
9．若，，且点在第二象限，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．对于实数x，y，定义一种新的运算“⊙”： ，其中，，为常数，若，，求的值为（ ）．
A． B．1
C． D．与或或的值有关
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．在平面直角坐标系中，已知在x轴上，则_________．
12．如图，已知，则的度数是________度．
13．已知是方程的一个解，那么___________．
14．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”的坐标是，“兵”的坐标是，那么“帅”的坐标为___________．
15．如图，AD//BC，，则____度．
16．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_____．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．解下列方程或方程组：
（1）；
（2）．
19．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式的值．
20．如图平面直角坐标系中，
（1）把三角形ABC向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位，得到三角形，在下面坐标系中画出平移后的图形并写出的坐标．
（2）求三角形ABC的面积；
21．物流公司用A型车和B型车运送物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨
(2)该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
22．如图，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23．如图，，．
(1)若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数．
(2)若，求∠AOD的度数．
24．已知a，b均为正整数．我们把满足的点P（x，y）称为幸福点．
(1)下列四个点中为幸福点的是________；
P1（5，5）； P2（6，6）； P3（7，7）； P4（8，8）
(2)若点P（20，t）是一个幸福点，求t的值；
(3)已知点P（，）是一个幸福点，则存在正整数a，b满足，试问是否存在实数k的值使得点P和点Q（，）到x轴的距离相等，且到y轴的距离也相等？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
25．如图所示，点A为x轴上一点，点B为y轴上一点，点满足．
(1)求点A，B的坐标；
(2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度向x轴负半轴方向运动，与此同时，点Q从O点出发，以1个单位每秒的速度向y轴负半轴方向运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，与面积相等．
(3)如图，点C在线段上，且满足，过点O在第二象限内作射线，使，点E在线段上运动，连接并延长交于点与F，交与点H，试求是否为定值，如果是，求出这个定值：如果不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A B D C A B A
二、填空题
11．
12．
13．10
14．（0，－2）
15．52
16．
三、解答题
17．【详解】解：原式=，
=．
18．【详解】解：（1）∵3x2-27=0，
∴x2=9，
∴x=±3．
（2），
①+②，可得6x=6，
解得x=1，
把x=1代入①，解得y=3，∴原方程组的解是．
19．【详解】解：由数轴的定义得：，
，
为8的立方根，
，
则
．
20．【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
由图知A′（-1，0）、B′（2，-1）、C′（0，-3）；
（2）△ABC的面积为3×3-×1×3-×3×1-×2×2=4．
21．【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，依题意得：
，
解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）依题意得：3a+4b=80，
∴b==20-．
∵a，b均为正整数，
∴解得：或或或或或，
∵a∴共有2种租车方案，
方案1：租用4辆A型车，17辆B型车；
方案2：租用8辆A型车，14辆B型车；
方案1所需租金为100×4+120×17=2440（元）；
方案2所需租金为100×8+120×14=2480（元）；
∵2480>2440，
∴最省钱的租车方案是：租A型车4辆，B型车17辆，
答：租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元．
22．【详解】解：（1）∵
∴AC∥ED
∴∠E+∠EBC=180°
∵∠C=∠E
∴∠C+∠EBC=180°
∴BE∥CD
（2）∵AC∥ED
∴
∵
∴∠C=45°
∵BE∥CD
∴∠CBE+∠C=180°
∴∠CBE=135°
23．【详解】（1）∵OC平分∠AOD，，
∴，
∵，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30°，
∴∠BOC的度数是30°．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴∠AOD的度数是105°．
24．【详解】（1）解：∵a，b均为正整数，满足 的点P（x，y）称为幸福点，
∴当a=1，b=1时，x=5，y=5，故P1（5，5）是幸福点，
当a=1，b=2时，x=8，y=7，故（8，7）是幸福点，
当a=2，b=1时，x=7，y=8，故（7，8）是幸福点， ．．．
∴P1（5，5），P2（6，6），P3（7，7），P4（8，8）中只有P1（5，5）是幸福点，
故答案为：P1（5，5）；
（2）∵点P（20，t）是一个幸福点，
∴2a+3b=20，3a+2b=t，
∵a，b均为正整数，
∴a=1，b=6或a=b=4或a=7，b=2，
当a=1，b=6时，t=15，
当a=b=4时，t=20，
当a=7，b=2时，t=25，
∴t的值为15或20或25；
（3）∵点P（，）是一个幸福点，
则存在正整数a，b满足，
∴消去m得，b=a+2，
∵P（2a+3b，3a+2b），Q（，），
∴P（5a+6，5a+4），Q（，），
∵点P和点Q到x轴的距离相等， 且到y轴的距离也相等，
∴有4种情况， ①， 解得，，；
不符合题意，舍去，
② ， 解得，a=1，k=10.5， ∴b=3，符合题意；
③， 解得，a=-3，； 不符合题意，舍去，
④ ， 解得，a=-1，； 不符合题意，舍去，
∴当a=1，b=3，k=10.5时，点P和点Q到x轴的距离相等，且到y轴的距离也相等．
25．【详解】（1）∵．
∴，解得，
∴A (2，0) ，B (0，4)；
（2）根据题意得： AP =2t，BQ =4+ t，
∵△ABP 与△ABQ 面积相等，
∴APOB = BQOA
∴×2t×4=× (4十 t )×2，
解得 t =，
∴当 t 为时，△ABP 与△ABQ 面积相等；
（3）为定值，理由如下：
设∠GOB = ∠COB = ，
在△EOH 中， ∠OHA = ∠OEA - ，
在 △EOF 中， ∠OFA =∠OEA + ，
∴
=
．
∴为定值，等于．
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