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广西南宁市人教版2025-2026学年八年级数学下学期期中素养综合测试卷（一）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( )
A．1，2，3 B．1，1，2 C．5，12，15 D．6，8，10
3．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相垂直
4．一次函数中，随的增大而增大，且，则此函数的图象大致为( )
A． B． C． D．
5．如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）.
A．2.5 B． C． D．3
6．如图，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）

A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断
9．在平面直角坐标系中，一次函数的图像与直线平行，且经过点，则一次函数的解析式为(　　　)
A． B． C． D．
10．已知一次函数（k为常数，且），无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．函数中，自变量的取值范围是________．
12．如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，如果∠AEF ＝75°，那么∠BAF ＝_______°．
13．函数y=kx+b（k≠0）的图象平行于直线y=2x+3，且交y轴于点（0，﹣1），则其解析式是_____．
14．如图，已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点P，根据图象可得方程组的解_______．
15．如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为___________．

16．如图，在正方形ABCD外取一点E，分别连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．S正方形ABCD＝_____．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．如图，在中,∠ACB=90°,,,于D．
(1)求斜边AB的长；
(2)求高CD的长．
19．已知一次函数的图象经过点和．
(1)求一次函数的解析式；
(2)该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为______．
20．如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
21．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进，两类图书，已知购进本类图书和本类图书共需元；购进本类图书和本类图书共需元．
(1)，两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划购进，两类图书共本，且类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的．已知类图书每本的售价为元，类图书每本的售价为元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
22．如图，在矩形中，E是上一点，连接平分．

(1)求证：；
(2)作于点F，若，，求的长．
23．某农户准备种植甲、乙两种水果．经市场调查，甲种水果的种植费用y（元）与种植面积x（）有关，如果种植面积不超过，种植费用为每平方米14元；种植面积超过，超过的面积种植费用为每平方米10元；乙种水果的种植费用为每平方米12元．
(1)当甲种水果种植面积超过时，求y与x的函数关系式；
(2)甲、乙两种水果种植面积共，种植总费用为w，其中甲种水果的种植面积超过，不超过乙种水果的种植面积的3倍．请问怎样分配甲、乙两种水果种植面积才能使种植总费用w最少？最少的种植费用是多少？
24．如图1所示，在平面直角坐标系中，动点A（0，a），B（b，0）分别在y轴、x轴的正半轴上，射线AC、BC是△OAB的两条外角平分线，且它们相交于定点C（3，3）．
(1)若点A的坐标为（0，2），求直线AC的解析式；
(2)求证：；
(3)在图1中，延长CA、CB分别交x轴、y轴于点D，E，得到的图形如图2所示．试探究△ODE的面积是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
25．约定：如果函数的图象经过点，我们就把此函数称作“族函数”．比如：正比例函数的图象经过点，所以正比例函数就是“族函数”．
(1)①以下数量关系中，y不是x的函数的是　　（填选项）
②以下是“族函数”的是 　　（填选项）
A， B， C， D， E， F，
(2)已知一次函数为常数，．
①若该函数是“族函数”，求k的值．
②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标．
(3)已知一次函数和都是“族函数”．当时，一次函数的函数值恰好有，求该一次函数的解析式．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D C A C B B B
二、填空题
11．且
12．60
13．y=2x﹣1．
14．
15．1
16．/
三、解答题
17．【详解】解：
．
18．【详解】在中, ∠ACB=90°,,,
；
的面积；
可知,
cm．
19．【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
∴该一次函数的解析式为；
（2）解：如图，
对于，令，则，
解得：．
令，则，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：4．
20．【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
21．【详解】（1）解：设类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元，
根据题意得：，
解得，
答：类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元；
（2）解：设购进类图书本，获得利润为元，
根据题意得：，
类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的，
，解得，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为，
此时，
答：该书店购进类图书本，类图书本时所获利润最大，最大利润为元．
22．【详解】（1）平分
矩形
；
（2）矩形
，
，平分
设，则
．
23．【详解】（1）根据题意得，时，，
化简得，
甲种水果种植面积超过时，与的函数关系式为：；
（2）甲种水果的种植面积超过，不超过乙种水果的种植面积的3倍，
解得
根据题意得：
，随的增大而减小
当时，甲、乙两种水果种植总费用最少，最小值为：（元）
答：甲分配种植面积，乙分配种植面积时，甲、乙两种水果种植总费用最少，最少费用为13800元．
24．【详解】（1）解：设直线AC解析式为y=kx+b，将A（0，2），C（3，3）代入得，
，解得．
∴直线AC解析式为y=x+2；
（2）解：证明：过C作CM⊥y轴于M，CH⊥AB于H，CN⊥x轴于N，如图：
∵AC平分∠MAB，
∴∠MAC=∠HAC，
∵CM⊥y轴，CH⊥AB，
∴∠CMA=90°=∠CHA，
又∵AC=AC，
∴△ACM≌△ACH（AAS），
∴AM=AH，
∴A（0，a），C（3，3），
∴AM=3-a=AH，
同理可得BH=BN=3-b，
∴AB=AH+BH=（3-a）+（3-b）=6-a-b，
∵在Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2，
∴a2+b2=（6-a-b）2；
（3）解：△ODE的面积为定值，理由如下：
过C作CM⊥y轴于M，CH⊥AB于H，CN⊥x轴于N，连接OC，如图：
∵∠CMO=∠MON=∠ONC=90°，OM=ON=3，
∴四边形MONC是正方形，
∴∠M0C=∠CON=45°，∠MCN=90°，
∴∠DOC=135°=∠COE，
由（2）知△ACM≌△ACH，
∴∠ACH=∠ACM=∠MCH，
同理∠BCH=∠BCN=∠NCH，
∴∠ACH+∠BCH=∠MCH+∠NCH=（∠MCH+∠NCH）=∠MCN=45°，即∠ACB=45°，
∴∠AC0+∠0CB=45°，
∴∠CON=45°=∠ACO+∠ODC，
∴∠OCB=∠ODC，
又∵∠DOC=∠COE，
∴△COE△DOC，
∴,
∴，
∵C（3，3），
∴OC2=32+32=18，
∴，
∴△ODE的面积为．
25．【详解】（1）解：①对于选项，，则与不是唯一对应关系，不符合函数定义，即不是的函数，
对于选项，，则与不是唯一对应关系，不符合函数定义，即不是的函数；
②．，不是“族函数”，
．，不是“族函数”，
．，不是“族函数”，
，不是“族函数”，
，是“族函数”，
，是“族函数”．
∴E、F符合题意．
（2）解：①一次函数为常数，是“，族函数”，
，
解得：；
②，
令，则，，
无论取何值，该函数必经过一定点；
（3）解：一次函数和都是“族函数”，
一次函数的图象与一次函数的图象的交点为，
联立得：，
解得：，
交点为，
，，
当时，一次函数的函数值恰好有，
当时，一次函数的函数值恰好有，
①当时，
此时一次函数过点，，
，
解得：，
；
②当时，
此时一次函数过点，，
，
解得：，
；
综上，该一次函数的解析式为或．

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