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湖南省长沙市人教版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试模拟考试学科素养达标卷
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长度为（　　）
A． B． C．5 D．
6．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则 ABCD的周长是（　　）
A．12 B． C． D．
7．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线相等且互相垂直
8．在中，，分别是、，的对边，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
9．在四边形中，对角线与相交于点，给出四组条件：
①，； ②，； ③，； ④，． 能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A． B． C． D．
10．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿AE对折至，延长交边于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为，，则边长的值为________．
12．如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则的长是______．

13．在中，若，则______．
14．已知菱形的周长为，一条对角线长为，该菱形的面积为________．
15．如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是___________．
16．如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中，．
19．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C与点A重合，折痕分别交、于点E、F，连接，点D的对应点为点，若，，
(1)求证：；
(2)求线段的长度．
20．如图，在中，是的中点，连接交于点，连接，．
(1)求证：是菱形．
(2)若，求的面积．
21．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且．
(1)求修建的公路的长；
(2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
22．如图，已知点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．
(1)求证：四边形ABFC为矩形；
(2)若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．
23．在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
(1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由）
(2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；
(3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．
24．若四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做“筝形”，这条对角线叫做它的“筝线”．
(1)在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定为“筝形”的有______；
(2)在“筝形”中，为它的“筝线”，与对角线相交于点，且．
①如图1，若，点为对角线上一点，且为等腰三角形，求的值；
②如图2，延长至点，使得，连接，为上一点，且，，，求四边形面积的最大值．
25．如图，平面直角坐标系中，已知等腰三角形，，点，点，且a，b满足，轴，
(1)求点C的坐标______；
(2)动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿方向运动，运动时间为t秒，当三角形满足时，求对应t的值；
(3)已知点，且，，D是线段上的动点，，
①当最小时，求点M坐标；
②在第①问的条件下，点T是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，以点A、D、T、为顶点的四边形是以为边的矩形，求点Q的坐标．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B B D C C C C
二、填空题
11．8
12．
13．
14．
15．
16．139
三、解答题
17．【详解】解：
．
18．【详解】解：原式
．
当，时，
原式
．
19．【详解】（1）解：由折叠得：，
∵四边形是矩形，
，
，
；
（2）解：由折叠得：，，
设，则
在中，，
解得：，
．
20．【详解】（1）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是菱形；
（2）解：是的中点，，
点是的重心，
，
，
是菱形，，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
21．【详解】（1）解：∵，，
∴是直角三角形，，
∵，
∴．
故修建的公路的长是；
（2）解：在中，，
一辆货车从C处经过D点到B处的路程．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是．
22．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴．
∵点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形ABFC是平行四边形．
又∵，
∴平行四边形ABFC为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴四边形ABFC的面积．
23．【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由题意得：
∵四边形是矩形，
，
，
∵分别是中点，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）如图1，连接，
由（1）得，，，
∴四边形是矩形，
∴，
①如图1，当四边形是矩形时，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图2，当四边形是矩形时，
∵，，
∴，
∴；
综上，四边形为矩形时或；
（3）如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
∴，即，
∴当时，四边形为菱形．
24．【详解】（1）解：四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做“筝形”，
在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定为“筝形”的有菱形，正方形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）解：①为“筝形”的“筝线”，
平分与，
，，
又，
，
，
又，，
，
，
由，不妨设，，
在中，，
又，，
点，在的垂直平分线上，
，，
在中，，
，
在中，，
，
当时，，
，
，
；
当时，设，则，
，
在中，，
即，
解得，
，
；
当时，不合题意，
综上所述，的值为或；
②由①可得，，
，
又，即，
，
，
又，
，
又，
，
，
四边形为平行四边形，
，
又，
，
连接，
由，，
四边形为平行四边形，
又，
为矩形，
，，
，
在中，，
由，
有，
即，
化简得，
又，
，
又四边形显然为直角梯形，
，
，
当时，四边形的面积最大值为．
25．【详解】（1）由题可知：，，
∴，
∵，
∴
∴
（2）由题意可知，存在两种情况：
①当点P在线段上，即时，如图1，
，
∵.
∴ ，.
②当点P在线段上时，即时，如图2.
，
∵.
∴
∵，
∴，.
综上可知，或8秒.
（3）①由题意得：
所以M在线段上运动，
∵轴
∴
∵
∴，
∴.
作点M关于直线的对称点，则在x轴上，如图3，
当D，，E三点共线，且与垂直时，如图4，
有最小值，
∴
则，
，
又已知，代入上式得：
，，
∴
联立：，解得.
∴
②由第①可得，，
∵，平行x轴，
∴，
又，
连并延长，交x轴于点，
与y轴重合，
∴，
又，
∴，
，
∴，
因为为矩形的边，
∴四边形，四边形为矩形，
又，
∴，；
设，
由勾股定理有：，
∴，
∴，
∴；
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