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湖南省长沙市人教版2025-2026学年七年级数学下学期期中考试模拟考试仿真卷
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列各数是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．关于下图中各角的说法不正确的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是对顶角 D．与是邻补角
4．如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
5．已知轴，点M的坐标为，点N的坐标为，则点M坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．小明在解关于的二元一次方程组时，解得，则△和？代表的数分别是（ ）
A．和3 B．3和 C．5和1 D．1和5
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．射线与射线表示同一条射线 B．垂线段最短
C．两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补 D．如果，，那么
8．我国明代《算法统宗》一书中有如下的类似问题：“一支竿子一条索，索比竿子长两托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长10尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此题中设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，点E在上，，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，连接，，若．点M是直线上的一个动点，当最短时，求（ ）
A．5 B． C． D．3
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a的值是 ______．
12．已知 是关于x，y的方程的一个解，那么的值是__________．
13．如图， ，点E在上，点F在上，如果，，那么的度数为______．
14．如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则_____．
15．如图，在数轴上的两个点表示为实数，，化简：________．
16．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解二元一次方程组．
(1)；
(2)．
19．如图，，，．将向右平移个单位长度，然后再向上平移个单位长度，可以得到．
（1）的顶点的坐标为______，顶点的坐标为______．
（2）的面积为______．
（3）已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为，则点的坐标为______．
20．若关于x、y的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值．
21．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，，于点，求的度数．
22．随着长沙中考政策的调整和课间时间的延长，为了丰富孩子们的课余生活，提高孩子们体育锻炼的积极性，吕老师准备给每班发一些乒乓球和跳绳．已知盒乒乓球和根跳绳元，盒乒乓球和根跳绳共计元．
(1)求盒乒乓球和根跳绳的售价分别为多少元？
(2)若吕老师计划正好用元零花钱购买以上两种体育器材，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案．
23．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组．
(1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）；
；；
(2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值；
(3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值．
24．已知直线，点，是直线上的两个定点，点，是直线上的两个动点，射线，交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在直线上，满足．与交于点，与交于点，若，且．求的度数；
(3)在（2）的条件下，射线绕点以3度/秒的速度逆时针转动，射线绕点以2度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为秒．
（i）当________秒时，；
（ii）设直线与直线的夹角为度（），直线与直线的夹角为度，当时，直接写出转动时间的值．
25．我们知道： 关于的二元一次方程有无数个解，每个解记为点，称点为“中国结”，这些“中国结”在同一条直线上，称这条直线是所有“中国结”的“复兴线”，记作“复兴线”．特别的，我们把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”．回答下列问题：
(1)已知，则是“复兴线”的“中国结”的是____；
(2)“复兴线” （是常数且） 是否存在“超级中国结”？若存在，请求出“超级中国结”的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平面直角坐标系中，，若“复兴线”与线段的交点为“奇妙中国结”，求整数a的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B A C B B D B
二、填空题
11．1
12．6
13．
14．
15．
16．5
三、解答题
17．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【详解】（1）解：，
得：，解得，
把代入②得：，解得，
原方程组的解为：；
（2），
②化简得：，即，
得：，解得：，
将代入①得：，解得：，
原方程组的解为：．
19．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，
顶点A1的坐标为（0，3）；顶点C1的坐标为（4，0）；
故答案为：；；
（2）计算△A1B1C1的面积＝4×4 ×2×4 ×2×1 ×4×3＝5；
故答案为：5；（3）设P点得坐标为（t，0），∵以A1、C1、P为顶点的三角形得面积为，∴×3×|t 4|＝，解得t＝3或t＝5，即P点坐标为（3，0）或（5，0）．故答案为：（3，0）或（5，0）．
20．【详解】（1）根据题意，得：，
解得：；
（2）将代入方程组，得：，
解得：．
21．【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：设，
由（1）知，
，
平分，
，
，
，，
，
，
解得：，
．
22．【详解】（1）解：设盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元，
根据题意得：，
解得：，
盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元；
（2）设购进盒乒乓球和根跳绳，
根据题意得：，
，
，均为正整数，
当时，；
当时，；
答：有种购买方案：①购进盒乒乓球和根跳绳；②购进盒乒乓球和根跳绳．
23．【详解】（1）解：∵，
∴，
∵中的，
故不是“开心”方程组；
∵中的
∴是“开心”方程组；
∵，
∴，
把代入，
得，
解得，
把代入，
∴，
∵，
故不是“开心”方程组；
故答案为：．
（2）解：∵，
∴两式子相加得，
整理得，
∵关于，的方程组是“开心”方程组，
∴，
即，
解得或；
（3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴
即把代入，
得
整理得，
∴，
故或，
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
综上：的值为或．
24．【详解】（1）解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：类比（1）同理可得：，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴①，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴②，
联立①②解得：，；
（3）解：（i）如图3所示：
由题意得：，，
，
，
即：，
，
解得：，
故答案为：；
（ii）当与平行时，，解得，
当与平行时，，解得，
如图所示，当两个交点都在上方时，即，
由（2）得，，
则，
，
，
解得：或；
如图所示，当一个交点在上方，一个交点在下方时，即，
，
则，
，
解得：或；
综上，转动时间的值为或或或．
25．【详解】（1）解：，“复兴线”，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
故选：A；
（2）解：已知“复兴线”，把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，
当时，由，消去得到：，
∴此方程的解的情况决定“超级中国结”的存在情况，
①当，即时，方程无解，不存在“超级中国结”；
②当，即时，方程有无数个解，此时存在无数个“超级中国结”，“超级中国结”的坐标可表示为（为任意实数）；
③当，即时，
得，
∴这种情况下存在唯一“超级中国结”的坐标为．
（3）解：已知“复兴线”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”，
∵，即纵坐标相等，
∴轴，“奇妙中国结”的纵坐标为，
代入，整理得，
当，即时，等式不成立，舍去，
当，即时，，
∵均为整数，
∴，或，
对应的，
当时，，此时“奇妙中国结”没有在线段上，应舍去，
∴的值为．
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