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2025-2026学年高二下学期3月月考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 体积为的球的表面积为（ ）
A B. C. D.
2. 设函数，则（ ）
A. 3 B. C. 6 D. 0
3. 已知等差数列满足，且，则首项（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 3
4. 已知双曲线的离心率为，C的渐近线与圆相切，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列满足，且，则（ ）
A B. C. D.
7. 直线分别与及交于两点，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数，仅有唯一极值点，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数在定义域内可导，若，且，若，，，则a，b，c的大小关系正确的有（ ）
A. B. C. D.
10. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一动点，当运动到点时，，直线与相交于，两点，则（ ）
A.
B. 若上一点，则最小值为1
C. 若，则直线与圆相切
D. 存在直线，使得，两点关于对称
11. 已知正三棱柱的外接球球心为，半径为，且（为常数），点满足.则下列结论正确的是（ ）
A
B. 当时，的最小值为
C. 当时，存在点，使得平面
D. 当时，点到直线的最小距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线与直线互相垂直，那么a的值等于______．
13. 如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成.已知正四棱锥的侧棱长为，正四棱柱的高为，则该几何体的体积的最大值为_________.
14. 在数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…，如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列.若数列满足，，则_________；若数列为二阶等比数列，其前5项分别为2，2，3，，，则_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线平行于直线．
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间与极值．
16. 已知公差不为零的等差数列的前3项和为9，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求证：．
17. 如图，在三棱锥中，D是棱AB的中点，，，是边长为4的正三角形，．
（1）证明：；
（2）点E满足，且平面PAE，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求直线CE与平面PAE所成角的正弦值．
18. 已知动圆C与圆内切，同时与圆外切，圆心C的轨迹为曲线E，过抛物线的焦点F且斜率不为0的直线l交曲线E于点M、N，，，直线与直线交于点P．
（1）求曲线E的方程；
（2）记，的面积分别为，，若，求直线l的斜率；
（3）记直线、的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
19. 已知函数，，．
（1）当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（2）若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值．参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A
2. C
3. C
4. D
5. C
6. D
7. B
8. B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BC
10. AC
11. ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. .
13.
14. ①. 36 ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (1)求导得：，
，
；
(2)由（1）可得：
令得：或，令得：
于是函数的单调增区间为，单调减区间
当变化时，的变化情况如下表：
1 4
＋ 0 - 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
于是：当时，有极大值；当时，有极小值．
16. (1)设数列的公差为，则，，
由，可得，
又，，成等比数列，故，即，整理得，
因为，故，代入可得，，．
故．
（2），
故
因，则，故可得.
17. （1）因是边长为4的正三角形，且D是棱AB的中点，则，，
又，平面，则平面，因平面，则，
又，则，因，，由可得.
（2）（ⅰ）法1．综合法：因，则D，E，C，P共面，延长CD，PE交于点F，连接AF，
则点平面中，由平面PAE，平面平面，平面ABC，
，∴，
又∵D是棱AB的中点，，故，则，又，
则，即．
法2．坐标法：由（1）已证，易得CD，PD，AB两两垂直，
以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
于是，，，，，
∵，则，
，
设平面PAE的一个法向量为，
∴，不妨取，则,
因平面PAE，则，解得．
（ⅱ）由（ⅰ）可得平面PAE的法向量，
又，
设直线CE与平面PAE所成角为θ，
则，
即直线CE与平面PAE所成角的正弦值．
18. （1）圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为，所以圆内切于圆，
由，可得，故切点坐标为，故，
设动圆C的半径为，则圆C与圆内切时，，
圆C与圆外切时，，
所以，
由椭圆的定义可知，曲线E的方程为.
（2）设，，又，，，
面积，
面积.
由，得，
因为M，N在F两侧，故，异号，不妨设.
设直线，与椭圆联立得：，
则，，
代入，得：，，
消去得：，
所以，所以直线的斜率.
【小问3详解】
由题得直线，令得：，
所以，又直线BN的斜率，
于是：，代入，，
所以，
由韦达定理得：，，
可得：，．
代入上式，分子，
分母，
所以.
19. （1）当时，，.
，，
当时，，，单调递减，当时，，，单调递增；
当时，，当时，，
若函数有两个不同的零点，需.
此时在和上各存在一个零点.
（2）∵，恒成立∴
则，
当时，，则在递增，且时，，则不成立；
当时，，由，得，此时；
当时，令可得，即在上递减，
令可得，即在上递增，
∴
则，故，
设，，
则，
设，可知单调递增，且，
所以，，，则在单调递减；
，，，则在单调递增.
则，的最小值为1，当且仅当，时取得等号．
综上所述：的最小值为1．

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