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北师大万宁实验学校 2025－2026学年下学期第一次月考(高二) A．180 B．360 C．720 D．1440
6．若直线 与曲线 相切，则实数 a的值为( )
数学试题
A．0 B．－1 C．－2 D．－3
考试时间 120分钟 满分 150分 7．某新能源汽车公司研发了新型电池，电池的市场价值 V（x）（单位：万元）随着使用
年限 的变化规律为： ，公司计划在电池下降速度最快的
一、选择题（共 8题，每题 5分，共 40分）
那一年回收处理（即价值衰减的速率最大），该公司应该在第几年进行回收（ ）
1．已知等差数列 中， 则 ( ) A. 2年 B. 4年 C. 6年 D.8年
A．15 B．14 C．16 D．12 8．若函数 有两个不同的极值点，则实数 a的取值范围为( )
2．已知函数 ，其导函数 的图象如图所示，则( ) A． B． C． D．
二、多选题（共 3题，每题 6分，共 18分）
9．同学们为了艺术节准备了 5个节目，分别是：舞蹈、小品、唱歌、朗诵、舞台剧，则
下列说法正确的有( )
A．若舞蹈，唱歌两节目相邻，则有 48种不同的排法
A． 有 2个极值点 B． 在 处取得极小值 B．若舞蹈，唱歌不相邻，则共有 72种不同的排法
C D C．若舞蹈排在唱歌节目之前，则有 60种不同的排法． 有极大值，没有极小值 ． 在 上单调递减
D．若舞蹈，唱歌两节目相邻，朗诵和舞台剧也相邻，则有 12种不同的排法
3．若函数 在 的切线方程为： ，则 的值是( )
10．已知数列 是等比数列，以下结论正确的是( )
A．2 B．－2 C．0 D．1
4．如果函数 在区间 上是减函数，则 a的取值范围是( )． A． 是等比数列
A． B． C． D． B．若 ， ，则
5．李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有 120名诗 C．若 ，则数列 是递增数列
人写下了 400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了 7首，制作了分 D．若数列 的前 n项和 ，则
别赏析这 7首诗的 7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发
布 1个，每个短视频只在其中 1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这 7个短视频不
同的发布种数为( )
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11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼 14．若函数 在 上有最小值，则实数a的取值范围为____________．
形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定
义：圆 O的圆心在原点，若函数的图象将圆 O的周长和面积同时等分成两部分，则
这个函数称为圆 O的一个“太极函数”．下列说法正确的有( )
四、解答题（共 5题，共 77分，写出解答过程的必要步骤）
15．记 为等差数列 的前 n项和．已知 ．
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求使得 的 n的取值范围．
16．已知函数 在 处取得极值 7．
A．对于圆 O，其“太极函数”只有 1个 （1）求 a，b的值；
（2）求函数 在区间 上的最值．
B．函数 是圆 O的一个“太极函数”
17．某企业在 2023年全年内计划生产某种产品的数量为 x百件，生产过程中总成本
C．函数 是圆 O的“太极函数” （万元）是关于 x（百件）的一次函数，且 ， ．预计生产的产品
能全部售完，且当年产量为 x百件时，每百件产品的销售收入 （万元）满足
D．函数 是圆 O的一个“太极函数”
．
(1)写出该企业今年生产这种产品的利润 （万元）关于年产量 x（百件）的函数
三、填空题（共 3题，每题 5分，共 15分） 关系式；
12．已知定义在 R上的函数 满足 ，且 ，则实数 m的取 (2)今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？
值范围是__________． （参考数据： ， ， ， ）
13．2023年 3月 13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，
18．已知函数 ．
为记录这一历史时刻，会务组将 6张不同的纪念邮票分配给来自 A省的 2名代表和 B
(1)当 时，求 的最小值；
省的 2名代表，每名代表至少 1张，邮票全部用完，则有___________种分配方法．（用
(2)若 对 总成立，求实数 a的取值范围．
数字作答）
19．已知函数 ．
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（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 有两个零点 ， （ ），且 ，求 a的取值范围．
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