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高三数学
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符
合题目要求的）
1 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若抛物线 的准线 过点 ，则 （ ）
A. 1013 B. C. D. 2026
3. 已知等差数列 满足 ，则 （ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4. 已知单位平面向量 ， 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
5. 已知函数 ，设甲： ，乙：曲线 关于直线 对称，则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
6. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则使得 的 的最小值为（ ）
A. 4050 B. 4051 C. 4052 D. 4053
7. 已知直线 与圆 相交于 不同两点，劣弧 所对的圆心角为 ，
若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A B.
C D.
8. 椭圆与双曲线共焦点 、 ，它们的交点 对两公共焦点 、 的张角为 ，椭圆与双曲线的离心率
分别为 、 ，则
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 一个样本（数据不全为 3）的平均数为 3，若添加一个新数据 3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变
小
B. 在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C. 数据 ，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为 40，则这组数据的第 m百分位数为 79
D. 依据小概率值 的独立性检验推断两个分类变量 X与 Y之间是否有关联，经计算得
，则可以认为“X与 Y没有关联”
10. 在 中，角 的对边分别为 外接圆的半径为 2，且 ，则下
列结论正确的是（ ）
A.
B
C. 面积的最大值为
D. 若 ，角 的平分线交 于点 ，则
11. 定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则下列结论正确的有（ ）
A. 当 时，
B. 的图象在 处的切线方程为
C. 的图象与 的图象所有交点的横坐标之和为 10
D. 的图象与直线 恰有一个公共点，则实数
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等 6名同学被安排到 ， 两个场馆，若每个场
馆至少安排 2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答).
13. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 过 与 相交于 ， 两点，若点 的坐标为 ，
则 （ 为坐标原点）的面积为_______.
14. 已知直线 l： 与曲线 和 都相切，则 _______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的内角 所对的边分别为 ，且
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积 的最大值.
16. 近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市 100天中每天的空气质量等
级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量
优良 7 26 37
轻度污染 6 7 8
中度污染 7 2 0
（1）求空气质量优良的概率的估计值；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
空气质量 人次≤400 人次 合计
优良
污染
合计
（3）根据小概率值 独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附： ．
0.050 0.010 0 001
3.841 6.635 10.828
17. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 AB的长.
18. 在平面直角坐标系 xOy中，过点 Q(-2，0)的直线与抛物线 C：y2=4x的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为抛物
线 C上异于 A，B的一点，直线 PA，PB与直线 l：x=a交于 M(a，y3)，N(a，y4)两点.
（1）① ；② ，其中 k1，k2，k3分别是直线 OA，AB，OB的斜率；③AF·BF-(AF+BF)，其中 F为
抛物线 C的焦点.请从①②③中任选一个，证明其结果为定值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
（2）若 ，求实数 a的值.
19. 定义：若存在 ， ，使得曲线 在点 和点 处有相同 切线 l，则称切
线 l为曲线 的“自公切线”.已知函数 ．
（1）若函数 在区间 上单调递增，求实数 a 取值范围；
（2）证明：当 时，曲线 不存在“自公切线”；
（3）若曲线 有且只有两条“自公切线”，求实数 a的取值范围．
CDBAA BDB 9AC 10BCD 11BCD 12 13 ##2.5 14 ##
15【小问 1详解】
由已知得 ，由余弦定理得 ，即 .
【小问 2详解】
由 ，所以 ，
由正弦定理得 ，故 .
由（1）知 ，
所以 ，即 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，故 的面积 的最大值为 .
16【小问 1详解】
由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为： ；
【小问 2详解】
列联表为：
空气质量 人次≤400 人次 合计
优良 33 37 70
污染 22 8 30
合计 55 45 100
【小问 3详解】
零假设为 ：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关．
根据表中数据，得
，
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
17【详解】（1）证明：在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
又 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）如图以 为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴建立如图所示直
角空间坐标系 ，设 ，则 ，
由 ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，得 ，
取 ，则
设直线 与平面 所成角为 ，则有 ，
即 ，化简得： ，
解得： 或 ，即 或 .
18【详解】解：（1）设过 点的直线方程为 ，与 联立消去 得 ，
所以
① .
② .
③ .
（2）设 ，则 ，所以 ，
即 ，
令 ，则 ，同理： ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
由点 的任意性知， 且 ，所以
19 【小问 1详解】
当 时， ， ，
由题意可知， ，即 在区间 上恒成立，
设函数 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以 ，即 .
【小问 2详解】
当 时， ， ，
假设 在点 和点 处存在“自公切线”l，
则 l的斜率 ， ，
即 ，
同时 ，
故 ，即
不妨设 ，令 ， ，
则 ，
所以 在区间 上单调递减， ，故 不成立，
所以当 时，曲线 不存在“自公切线”.
【小问 3详解】
因为 ，所以 为偶函数，
又由（2）可得，当 时，曲线 不存在“自公切线”，
所以当 时，曲线 也不存在“自公切线”．
假设 在点 和点 处存在“自公切线”l，
则 和 只可能一正一负，不妨设 ， ，
则 l的斜率 ，
即
同时 ，
所以 ，
所以 或 ，即 或 ，
①当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增， ，
所以函数 没有零点，此时没有满足题意的 ，即 没有“自公切线”；
当 时， 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
所以 ，
因为 ，且 时， ，
当 ，即 时， ， 没有零点，即 没有“自公切线”；
当 ，即 时， ， 有一个零点，即 有一条“自公切线”；
当 ，即 时， ， 有两个零点，即 有两条“自公切线”．
②当 时， ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
设函数 ， ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
且 ， ， ，
所以当 ，即 时， 有一个解，即 有一条“自公切线”；
当 ，即 时， 有两个解，即 有两条“自公切线”；
当 或 ，即 或 时， 无解，即 没有“自公切线”．
又因为当 时，
在情况① 中， ， ；
在情况② 中， ， ；
所以当 时， 与 同时成立， 有且只有一条“自公切线”．
综上所述，若曲线 有且只有两条“自公切线”，实数 a的取值范围是 .

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