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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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保密★启用前
2025-2026学年度初中数学期中考试卷2
人教版八年级下学期
考试范围：19-21章内容；考试时间：100分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题 共30分）
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5
2．（本题3分）若是最简二次根式，则a的值可以是（ ）
A． B．2 C．4 D．8
3．（本题3分）如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　）
A．9 B．7 C．6 D．8
5．（本题3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ）
A． B． C．3 D．
10．（本题3分）如图，矩形和矩形，，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连结和，点N是的中点，M是的中点，则的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）代数式中x的取值范围是______ ．
12．（本题3分）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______．
13．（本题3分）如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____．
14．（本题3分）已知，则______________．
15．（本题3分）如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______．
16．（本题3分）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）计算：
(1)；
(2)．
18．（本题6分）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，请求出图中、两点之间的距离．
19．（本题8分）已知，，分别求下列代数式的值．
(1)．
(2)．
20．（本题8分）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．
(1)找出格点，连结，，使四边形是平行四边形；
(2)过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积．
21．（本题10分）如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处．
(1)求线段的长；
(2)连接，求证：
22．（本题10分）阅读材料并解决问题： 像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
(1)的有理化因式是 ， ；
(2)计算：
23．（本题12分）如图，四边形，、、，连接，且．
(1)求的长；
(2)若，求的长．
24．（本题12分）如图，在四边形中，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长．
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班级：
___________
考号：
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人教版八年级下学期
考试范围：19-21章内容；考试时间：100分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题 共30分）
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可．
【详解】A．，是勾股数；
B．，不是勾股数；
C．，不是勾股数；
D． ，不是勾股数；
故选：A．
2．（本题3分）若是最简二次根式，则a的值可以是（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式，
根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可．
【详解】解：∵时，，根号下有分母，不是最简二次根式；
∵时，，可化简为整数，不是最简二次根式；
∵时，，可化简，不是最简二次根式；
∵时，，被开方数2不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式．
故选：B．
3．（本题3分）如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，由平行四边形对边平行结合平行线的性质可得，则由已知条件可得，据此求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．（本题3分）如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　）
A．9 B．7 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，根据中点，求出的长，勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵点D、E分别为中点，
∴，
在中，，
∴；
故选C．
5．（本题3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的乘法，二次根式的加法，二次根式的减法，根据运算法则逐项分析即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
6．（本题3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴得，则，再化简，即可作答．
【详解】解：观察数轴得，
则，
∴
，
故选：A．
7．（本题3分）如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由菱形对角线相互垂直得到是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出菱形边长即可得到答案．
【详解】解：在菱形中，，则，
在中，点是的中点，则，
菱形的周长为．
8．（本题3分）如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数．
【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是，
∴；
∵于点，，
∴是直角三角形，，
由勾股定理得：；
∴，
∴点表示的数为，
故选：C．
9．（本题3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积．
【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4，
∴
，
故选：B．
10．（本题3分）如图，矩形和矩形，，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连结和，点N是的中点，M是的中点，则的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】连接，交于R，延长交于H，连接，则四边形是矩形，求出， ，由证得，得出，则点R与点M重合，得出是的中位线，即可得出结果．
【详解】解：连接，交于R，延长交于H，连接，如图所示：
则四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，，
在中，由勾股定理得： ，
在和中，
∴，
∴，
∴点R与点M重合，
∵点N是的中点，
∴是的中位线，
∴，故C正确．
第II卷（非选择题 共90分）
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）代数式中x的取值范围是______ ．
【答案】且
【分析】根据同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零列不等式组求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，解得：且．
∴代数式中x的取值范围是且．
12．（本题3分）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______．
【答案】6
【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，根据多边形的外角和定理，即可求解．
【详解】解：∵多边形的外角和等于，每个外角为，
∴边数．
故答案为：6．
13．（本题3分）如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理与勾股树，掌握好相关知识是关键．
根据直角三角形的三边关系推出、、之间的关系，然后计算即可．
【详解】解：∵在直角中，，
又∵，，，
∴．
故答案为：．
14．（本题3分）已知，则______________．
【答案】8
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：8．
15．（本题3分）如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______．
【答案】
【分析】作于交延长线于G，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到的面积，由的面积的面积的面积，得到，因此，即可求出．
【详解】解：作于交延长线于G，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
∵的面积的面积的面积，
∴，
∴，
∴．
16．（本题3分）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形．
【答案】2或3
【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可．
【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形，
根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴， 解得，
即经过2秒四边形为平行四边形；
②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形，
根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴ 解得．
综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据零指数幂、立方根、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可；
（2）先根据二次根式的除法、平方差公式计算，再根据有理数加减法则计算即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
18．（本题6分）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，请求出图中、两点之间的距离．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的形式．在中，利用勾股定理求出即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，，，
在中，．
答：点到点的距离为．
19．（本题8分）已知，，分别求下列代数式的值．
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)25
【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键：
（1）利用平方差公式法进行因式分解，整体代入法进行计算即可；
（2）利用完全平方公式进行因式分解，整体代入法进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）
．
20．（本题8分）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．
(1)找出格点，连结，，使四边形是平行四边形；
(2)过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和网格的特点，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）利用网格的特点找到点使得平行且等于即可．
（2）利用平行四边形的对称性，找到对角线、的交点，过点、作直线交于点即可
【详解】（1）取格点，使平行且等于，即可得到平行四边形．
（2）连接、交于点，过点、作直线交于点，直线平分平行四边形的周长和面积．
21．（本题10分）如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处．
(1)求线段的长；
(2)连接，求证：
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】对于本题，重点掌握折叠的不变性，即对应边相等，以及正确利用方程的思想解决问题．
（1）根据折叠得到，，再设，然后对运用勾股定理建立方程求解；
（2）直接根据折叠得到对应边相等即可证明．
【详解】（1）解：由题意得，，
设，则，
四边形是正方形，
，
，
落在边的中点处，
，
，
解得：，
；
（2）证明：如图，由折叠可得．
22．（本题10分）阅读材料并解决问题： 像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
(1)的有理化因式是 ， ；
(2)计算：
【答案】(1)；
(2)49
【分析】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键．
（1）根据平方差公式，类比例子解答即可；
（2）根据平方差公式，类比例子解答即可．
【详解】（1）解：
所以的有理化因式是
；
故答案为：，．
（2）解：原式
．
23．（本题12分）如图，四边形，、、，连接，且．
(1)求的长；
(2)若，求的长．
【答案】(1)5
(2)
【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出；
(2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交延长线于．
∴，
由(1)知，又知，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
24．（本题12分）如图，在四边形中，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6.5
【分析】本题考查了矩形的判定，直角三角形的判定以及直角三角形斜中半定理，综合运用以上知识是解题的关键．
（1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行证明；
（2）先根据勾股定理的逆定理，证得，再由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”求得的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴．
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