资源简介

2025-2026 学年第二学期九年级第一次大练习
数学试卷
注意事项：
1.本试卷共 6页，三个大题，满分 120 分，考试时间 100 分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在
试卷上的答案无效。
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1.下列各数中，最小的数是( )
A.3 B.0 C. - 2 D. - π
2.2025 年 9 月 3 日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜
利 80 周年阅兵式上，东风—5C 液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开
亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象.如图为东风—5C 液体
洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是( )
A.主视图与俯视图相同 B.主视图与左视图相同
C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都不相同
3.东风-5C 是一种覆盖全球，射程高达 15000 公里，可以携带多个分导式弹头，而且可
以实现核常兼备的液体洲际战略核导弹，是中国战略反击体系中的重要组成部分，其中数
据 15000 用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.习近平总书记指出，“全民健身是全体人民增强体魄，健康
生活的基础和保障”.如图，这是公园新增设的健身器材上肢牵引
器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行.抽象成如图所示
的几何图形,AB∥EF ,若∠A =100°,∠P = 135°,则∠E 的度数为( )
A.-100° B. 115° C. 125° D. 135°
5.为了加深学生对数学文化的了解，某校开展了讲数学家故事的活动.学校收集了祖冲
之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成除内容外，其余完全相同的四张卡片，
将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，
乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率
是( )
A. B. C. D.
6.每年的 4月 23 日是世界读书日，某校想要了解全校 1658 名学生的课外阅读时长，请
你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序：①抽样调查；
②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据.正确的步骤是( )
A.①②③④⑤ B.②①③④⑤ C.②①④③⑤ D.②①④⑤③
7.化简 的结果是：( )
A. x+1 B. x C. x-1 D. x-2
8.已知 a，b 为常数，且点 A(a，b)在第二象限，那么关于 x的一元二次方程
的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
9.如图,AB 为⊙O的直径,点 P在 AB 的延长线上,PC、PD 与⊙O相切,切
点分别为 C,D.若 AB = 10,PC = 12 ,则 sin∠CAD 等于( )
A. B. C.
10.如图所示，在台球桌面 ABCD 上建立平面直角坐标系，点 P从(0，1)出发沿图中箭头
方向运动，碰到边界(粗线)会发生反弹(反射角等于入射角).若点 P 的运动速度为每秒
个单位长度,则第 2026 秒时点 P 的坐标为 ( )
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(2,3)
D.(3,2)
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11.函数 的自变量 x的取值范围是 .
12.不等式组 的最小整数解为 .
13.如图，左图为《天工开物》记载的用于春(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的
结构简图，右图为其平面示意图，已知 AB⊥CD 于点 B，AB 与水平线 L相交于点 O，OE⊥l.若
BC=4分米,OB = 12分米. ∠BOE =60°,则点C到水平线L的距离CF为 分米(结果用
含根号的式子表示).
14.如图，等边△ABC 内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色
部分和白色部分关于等边△ABC 的内心成中心对称，则圆中黑色部分的面积与△ABC 的面积
之比为 .
15.若一个三角形三边长之比为3：4：5，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在
矩形 ABCD 中,AB = 5,AD >AB ,点 E 在边 AD 上,将 △ABE 沿 BE 折叠,得到 △FBE ,过点
F 作 FG⊥BC 于点 G.若△FBG 是“勾股三角形”,则 BE 长为 .
三、解答题(本大题共 8 个小题，共 75 分)
16.(10 分)(1)计算:
(2)先化简，再求值：(x-y)(x-3y) - (2x-y) 其中，
17.(9 分)中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和
氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2026年，中国新能源汽车产
销量预计达到 1900 万辆.在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了
“我最喜欢的汽车类型”的调查活动(每人限选其中一种类型)，并将数据整理后，绘制成下
面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图：
类型 人数 百分比
纯电 m 54%
混动 n a%
氢燃料 3 b%
油车 5 c%
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本 次 调 查 活 动 随 机 抽 取 了
人；表中 a = ，b= ；
(2)请补全条形统计图；
(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
(4)若此次汽车展览会的参展人员共有 4000 人，请你估计喜欢新能源(纯电、混动、氢
燃料)汽车的有多少人
18.(9 分)如图，正比例函数 与反比例函数 的图象
交于点 A,过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B,点 A 的横坐标为 8
(1)求 k 的值;
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段 OA 的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图
痕迹)
(3)(2)中所作的垂直平分线与 AB 交于点 C，与 x轴交于点 D，连结 OC，AD，求证：四
边形 OCAD 是菱形.
19.(9 分)如图，以点 O为圆心，AB 长为直径作圆，在⊙O上取一点
C，延长 AB 至点 D,连结 DC,∠DCB =∠DAC,过点 A 作 AE⊥AD 交 DC 的
延长线于点 E.
(1)求证:CD 是⊙O 的切线;
(2)若 AB=8,∠DAC=30°,求线段 CD 的长度.
20.(9分)洛阳以古都历史文化为底蕴，通过一系列活动正吸引越来越多的游客来一场古
今穿越之旅，某单位计划购进A，B两种汉服，若购进2套A 种汉服与1套B 种汉服共需560
元；购进 3套 A 种汉服与 2 套 B 种汉服共需 920 元.
(1)求购进 A 种汉服和 B 种汉服每套各多少元
(2)若该单位因举办活动需要购进A，B两种汉服共21套，要求买A种汉服的数量不少于
B种汉服数量的一半，怎样购买花费最少
21.(9 分)我国冬奥选手在 2026 米兰冬季奥林匹克运动中取得了 5 块金牌、4块银牌、6
块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情.某滑雪场建了一个滑雪大跳台；
它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.如下示意图，已知：助滑坡道 AF
=50 米，弧形跳台的跨度 FG =7 米，顶端 E到 BD 的距离为 40米，HG∥BC ,∠AFH =40°,∠
EFG =25°,∠ECB = 36°.求此大跳台最高点 A距地面 BD 的距离是多少米(结果保留整数).
(参考数据：sin40°≈ 0.64 , cos40°≈0.77 , tan40°≈0.84 , sin25°≈0.42 ,
cos25°≈0.91 , tan25°≈0.47 , sin36°≈0.59 ,cos36°≈0.81 , tan36°≈0.73)
22.(10 分)现有一个二级火箭进行发射.第一级运行
路径形如抛物线，当运行一定水平距离时，自动引发第
二级，第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟
火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为 x轴，
垂直于地面的直线为 y轴，建立平面直角坐标系，分别
得到抛物线 和直线 且火箭第二级的引发点坐标为(9，3.6)
(1)求 a 和 b 的值;
(2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低 1.35km，求这
两个位置之间的水平距离.
23.(10 分)综合实践课上，李老师带领同学们进行如下操作、探究：
第一步：将长宽比为 3：2的矩形纸片 ABCD(AB 的方法折出一个正方形 ABEF，然后把纸片展平；
第二步：连结 CF，沿过点 F 的直线翻折，使点 D落在边 EF 上的点 G
处，然后把纸片展平，连结 BG 并延长，交 CF 于点 H ；
【问题解决】
(1)BG 与 CF 的数量关系为 ，位置关系为 ；
【问题拓展】
第三步:如图②,沿 CF 剪载,得到四边形 ABCF ,将△CEH 沿 EH 翻折,点 C
的对应点为 C'.
(2)点 C'是否在BH上 若在，请判断BC'与 C'H的数量关系并说明理由；若不在，请说明
理由；
【拓展研究】
第四步:如图③,M 是 AB 上一点,将△BEM 沿 EM 翻折得到 △B'EM ,B'E
与 BG 交于点 N.
(3)已知 CF =5,当△ENH 是直角三角形时,直接写出线段 B'N 的长.
九年级第一次大练习数学参考答案
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1-5DABBD 6-10DABDC
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11.
12.
13.6-2
14.
15.
三、解答题(本大题共 8 个小题，共 75 分)
16.(1) =1 =
(2)(x-y)(x-3y) - (2x-y) =
把 代入原式= =0
17.解: (1) 50, 30;
(2)补全条形统计图如图所示：
答：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为
(人),
答：估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有 3600 人.
18.(1)解：∵点 A 在正比例函数 上, A 点的横坐标为 8，
∴A(8, 4),
∵点 A(8，4)在反比例函数 的图象上，
∴k=4×8=32 .
(2)解：如图，分别以点 O，A为圆心，以大于 的
长为半径画弧，两弧分别相交于 M, N 两点，作直线 MN 即为
线段 OA 的垂直平分线.
(3)证明：设垂直平分线与 OA 交于点 E，由作图易知：
OC=AC,OD=AD
轴于点 B，
又
∴四边形 OCAD 是菱形.
19.(1)如图,连接 OC.
∵AB 为直径，
即
又
即
是⊙O的半径，
∴CD 是⊙O的切线.
(2)在 Rt△ABC 中，∵∠DAC=30°AB=8,
OC=OB=OA=4
在 Rt△OCD 中，
∵∠DAC=30°
∠DOC=60°
∠CDO=30°OD=2OC=4 OD=8 CD= 4
20.(1)解：设购进 A 种汉服每套 x 元，购进 B 种汉服每套 y 元，根据题意得：
解得：
答：购进 A 种汉服每套 200 元，购进 B 种汉服每套 160 元 .
(2)解：设购进 A 种汉服 a 套，则购进 B 种汉服 21-a 套，根据题意得：
解得：
总花费 W=200a+160(21-a)=40a+3360
由于 W 随 a 增大而增大，当 a=7 时，总花费 3640 元
设购进 A 种汉服 7 套，则购进 B 种汉服 14 套，花费最少
21.【解析】如图,过点 E 作 EN⊥BC 于点 N,交 HG 于点 M,则 AB=AH-EM+EN.
根据题意可知，
米，
在 中， 米，
32(米),
在 和 中，
设 MG=m 米，则 FM=(7-m)米，
0.73m,EM=FM·tan∠EFM=FM·
解得 (米),
(米),
70(米).
∴此大跳台最高点 A 距地面 BD 的距离约是 70 米.
22.(1)解：∵火箭第二级的引发点坐标为(9，3.6),
将(9, 3.6)代入 得 81a+9=3.6
解得
将(9, 3.6)代入 得
解得 b=8.1;
(2)解:由(1)得,抛物线 解析式为
直线 解解析式为
∵
∴火箭第一级运行的最高点为 3.75km，
将 代入 得
解得：x=3 或 x=12,
火箭第二级的引发点坐标为(9，3.6)，
不符合题意，舍去，
将 y=2.4 代入 得
解得 x=11.4;
11.4-3=8.4km,
∴这两个位置之间的水平距离为 8.4km .
23.解: (1)∵四边形 ABEF 是正方形,
∴BE=EF, ∠BEF=∠CEF=90°,
∵∠ADC=∠BCD=∠CEF=90°,
∴四边形 ECDF 是矩形，
∴DF=EC,
由折叠的性质可得，DF=FG,
∵AB: AD=2: 3,
∴AB=AF=EF=BE=2x, AD=3x,
∴DF=FG=EC=x,
∴GE=EC=x,
∴△BEG≌△FEC(SAS),
∴BG=CF, ∠GBE=∠CFE,
∵∠BGE=∠FGH,
∴∠BEG=∠FHG=90°,
∴BG⊥CF,
故答案为: BG=CF, BG⊥CF;
(2)点 C'在 BH 上, BC'=C'H, 理由如下：
由(1)得
∴点 C'在 BH 上,
当 时，
由折叠可得
当 时，
由折叠可得
综上所述，B'N 的长为 或

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