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2025-2026 f(583)学年度保亭中学高一第二学期第一次月考数学科试卷
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出 4 个选项中，有多项符合题目要求。全部选
对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
考试时间：120 分钟 满分：150 分 9.下列说法正确的是( )
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A．长度相等的向量是相等向量
B．单位向量的模为 1
注意事项 ：
C．零向量的模为 0
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 D．共线向量是在同一条直线上的向量
2. 请将答案正确填写在答题卡上 10. 下列不等式成立的是( )
A．sin 1cos 2 C．cos(－70°)>sin18° D．sin15π7>sin4π5
11.已知函数 f (x)＝Asin(ωx＋φ)\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π2))的部分图象如图所示，
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题只有一个选项符合要求.
1.已知集合 A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{0,1,4,8}，则 A∩B＝( ) 则下列结论正确的是( )
A．{2, 4, 8} B．{1，2，8} C． {0，1，8} D．{0，1, 4}
2. “ab＞4”是“a＞2 且 b＞2”的 ( ) A． ω＝1
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B．φ＝π4
3. 若 x>0，y>0，且 x＋y＝1，则 xy的最大值是( ) C．函数 f (x)的图象关于直线 x＝－π4 对称
A.116 B.14 C.12 D.1 D．函数 f (x)在\a\vs4\al\co1(\f(ππ2)上单调递减
4. 不等式 ≥0 的解集是( )
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
A{x|x≥4或 x<1} B. {x|x≥4或 x≤1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|15. 已知锐角α，β满足 cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则 cos β等于( ) 13. 若 cos αcos β－sin αsin β＝15，cos(α－β)＝35，则 tan αtan β＝________.
A．5475 B．－3365 C．3365 D．－5475 14. 将函数 y＝3sin 2x的图象向左平移φ\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π2))个单位长度，所得图象关于
6.设α为锐角，若 cos\a\vs4\al\co1(α＋\f(π6))＝45，则 sin\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π3))的值 y轴对称，则φ＝________.
为( ) 四、解答题（其中 15 题 13 分，16-17 题各 15 分，18-19 题各 17，共 77 分;解答时应写出文字说明，证明过程
A B C 或演算步骤.）．1225 ．2425 ．－2425 D．－1225
→ →
7.在△ABC中，若 cos Acos B＝－cos2C2＋1，则△ABC一定是( ) 15.如图，四边形 ACDE是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且 ＝a， ＝b，
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
→ → → →
C．等边三角形 D．等腰三角形 ＝c，试用向量 a，b，c表示向量 ， ， .
8. 已知函数 f (x)＝3sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为( )
A．\a\vs4\al\co1(\f(11176) B．\f(11176) C．\a\vs4\al\co1(\f(583) D． \
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16.已知函数 f (x)＝12sin 2x－3)2cos 2x 19.先将函数 f (x)＝sin(ωx＋φ)（ >0， <φ< ）的图象上每一点的横坐标缩短为原来的 12，纵
(1)求 f (x)的最小正周期及最值；
坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到 y＝sin x的图象．
(2)求 f (x)在 R上的单调递增区间.
(1)求函数 f (x)的解析式；
(2)当 x∈[0，3π]时，方程 f (x)＝m有唯一的实数根，求 m的取值范围．
17.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝13.
(1)求 a与 b的夹角；
(2)若 a在 b上的投影向量为 c，求 c·(a＋b)的值．
18.已知两个非零向量 a，b不共线．
(1)若 ka＋b与 2a＋kb共线，求实数 k的值;
→ → →
(2)若 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线.
第 1页，共 2页第一次月考参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A C B D B BC AC
题号 11
答案 ABD
12. 6 13. 14.
→ →
15.解：因为四边形 ACDE是平行四边形，所以 ＝ ＝c; --------3分
→ → →
＝ － ＝b－a；----------------7分
→ → →
故 ＝ ＋ ＝b－a＋c；------------------13分
16.解： f (x)＝ 12sin 2x－ 3)2cos 2x =sin
\a\vs4\al\c
o1(2x－
\f(π 3))
-------4 分
因此 f (x)的最小正周期为π，最大值为 1，最小值为-1 ----------------7分
（2）由正弦函数 f (t)=sint 的单调性得：
1
---------------9分
----------------12分
----------------15分
17.方法一:
解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝4|a|2－4a·b－3|b|2＝64－4a·b－27＝13，
---------------2分
解得 a·b＝6，-----------------------3分
所以 cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝12，----------------5分
所以 a与 b的夹角为 60°.--------------7分
（2）因为 c＝|a|cos〈a，b〉b|b|＝23b，-------------------11分
所以 c·(a＋b)＝23b·(a＋b)＝23a·b＋23b2＝4＋6＝10.-------------15分
方法二：
（1）因为(2a－3b)·(2a＋b)＝4|a|2－4a·b－3|b|2＝64－4a·b－27＝13，
---------------2分
解得 a·b＝6，-----------------------3分
所以 cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝12，----------------5分
所以 a与 b的夹角为 60°.--------------7分
（2）
2
18.(1)解：因为 ka＋b与 2a＋kb共线，
所以存在λ∈R，使得 ka＋b＝λ(2a＋kb)，--------------3分
所以 k＝2λ1＝kλ，)---------------6 分
解得 k＝\r(2\r(22)或 k＝－\r(2\r(22)，------------8 分
即 k＝±2 ------------------9分
→ →
（2）证明：根据条件可知， ＝5a＋5b＝5 ，-------------13分
→ →
所以 ， 共线．-----------------------------15分
→ →
又因为 ， 有公共点 B，所以 A，B，D三点共线．------------17分
19.解 ： (1)将 y＝ sin x的 图 象 向 左 平 移 π 6个 单 位 长 度 得 到 y＝ sin
\a\vs4\al\co1(x＋\f(π6))的图象，
---------------------3分
新图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2倍，可得 f (x)＝sin
\a\vs4\al\co1(\f(1π6)的图象．--------------------------------6分
3
所以 f (x)＝sin\a\vs4\al\co1(\f(1π6).----------------------8分
(2)因为 x∈[0，3π]，所以 12x＋π6∈\f(π5π3)，-------------------10分
所以 sin\a\vs4\al\co1(\f(1π6)∈[－1，1]．--------------12分
因为当 x∈[0，3π]时，方程 f (x)＝m有唯一的实数根，
所以函数 f (x)的图象和直线 y＝m只有一个交点．----------13分
令 t＝12x＋π6，作出函数 y＝sin t，t∈\f(π5π3)的图象，如图所示．
故方程 f (x)＝m有唯一的实数根时，m的取值范围为\a\vs4\al\co1(－\f(\r(312)∪{1，
－1}
------------------------17分
4

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