资源简介

解题技巧专题　求一次函数表达式的几种类型
　　类型一　根据平移求一次函数表达式
（1）上下平移：上加下减
①直线y＝kx＋b向上平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的表达式是y＝kx＋b＋h；
②直线y＝kx＋b向下平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的表达式是y＝kx＋b－h.
（2）左右平移：左加右减
①直线y＝kx＋b向左平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的表达式是y＝k（x＋h）＋b；
②直线y＝kx＋b向右平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的表达式是y＝k（x－h）＋b.
1.（信阳平桥区期末）要得到函数y＝－3x－2的图象，只需将函数y＝－3x的图象（　D　）
A.向左平移2个单位长度
B.向右平移2个单位长度
C.向上平移2个单位长度
D.向下平移2个单位长度
2.（1）将直线y＝2x＋5向上平移2个单位长度，所得直线的表达式为　y＝2x＋7　；
（2）将直线y＝2x＋5向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为　y＝2x＋3　；
（3）将直线y＝2x＋5向左平移1个单位长度，所得直线的表达式为　y＝2x＋7　；
（4）将直线y＝2x＋5向右平移1个单位长度，所得直线的表达式为　y＝2x＋3　；
（5）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x＋1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，求所得直线的表达式.
解：（5）直线y＝3x＋1向左平移3个单位长度，所得直线的表达式为y＝3（x＋3）＋1＝3x＋10.
将直线y＝3x＋10向上平移2个单位长度，所得直线的表达式为y＝3x＋12.
　　类型二　根据对称求一次函数表达式
（1）直线y＝kx＋b关于x轴对称的直线表达式为y＝－kx－b；
（2）直线y＝kx＋b关于y轴对称的直线表达式为y＝－kx＋b.
3.（1）直线y＝2x－1关于x轴对称的直线的表达式为　y＝－2x＋1　；
（2）直线y＝2x－1关于y轴对称的直线的表达式为　y＝－2x－1　.
4.如图，直线y＝2x－2与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线AC与y轴交于点C且与AB关于x轴对称，以点C为直角顶点在第一象限作等腰直角三角形ACD，过点D作DE⊥y轴于点E.
（1）求直线AC所对应的函数表达式；
（2）求四边形AOED的面积.
解：（1）∵直线AC与y轴交于点C且与直线AB关于x轴对称，
∴直线AC所对应的函数表达式为y＝－2x＋2.
（2）由题意及直线AB，AC的函数表达式，得A（1，0），C（0，2），
∴OA＝1，OC＝2.
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝90°，AC＝CD.
∵DE⊥y轴，∴∠DEC＝∠AOC＝90°.
∴∠CDE＋∠DCE＝∠DCE＋∠ACO＝90°.
∴∠CDE＝∠ACO.∴△CDE≌△ACO（AAS）.
∴DE＝OC＝2，CE＝OA＝1.∴OE＝3.
∴S四边形AOED＝（OA＋DE） OE＝×（1＋2）×3＝.
5.我们知道一次函数y＝mx＋n与y＝－mx＋n（m≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝mx＋n与y＝－mx＋n（m≠0）互为“M”函数.
（1）请直接写出函数y＝2x＋5的“M”函数；
（2）如果一对“M”函数y＝mx＋n与y＝－mx＋n（m≠0）的图象交于点A，且分别与x轴交于点B，C，如图，若∠BAC＝90°，且△ABC的面积是8，求这对“M”函数的表达式.
解：（1）函数y＝2x＋5的“M”函数为y＝－2x＋5.
（2）∵函数y＝mx＋n和y＝－mx＋n为一对“M”函数”，
∴AB＝AC，OB＝OC.
又∵∠BAC＝90°，∴OA＝OB＝OC.
又∵S△ABC＝BC AO＝8，BC＝2AO，
∴AO＝.∴A（0，），B（－，0），C（，0）.
∵A，B，C是一次函数y＝mx＋n与y＝－mx＋n（m≠0）的图象与坐标轴的交点，
∴A（0，n），B，C.
∵OA＝OB＝n，∴n＝，＝.∴m＝1.
∴这对“M”函数的表达式为y＝x＋和y＝－x＋.
　　类型三　根据旋转求一次函数表达式
直线的旋转规律
（1）绕坐标原点旋转90°
①直线y＝kx＋b绕坐标原点顺时针旋转90°得到直线y＝－x＋；
②直线y＝kx＋b绕坐标原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x－.
（2）绕直线上某点旋转90°或45°
如图所示，构造“K”型线、三垂直全等，利用全等三角形的性质求出对应点坐标，再根据待定系数法，求出一次函数的表达式.
6.已知直线l：y＝－x＋1与x轴交于点P，将l绕点P顺时针旋转90°得到直线l′，则直线l′的表达式为（　D　）
A.y＝x－1　　B.y＝2x－1
C.y＝x－4　　D.y＝2x－4
7.如图，一次函数y＝2x＋b的图象经过点M（1，3），且与x轴、y轴分别交于A，B两点.
（1）填空：b＝　1　；
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式.
解：（2）∵一次函数y＝2x＋1的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点.
∴A，B（0，1）.
∴OA＝，OB＝1.
过点C作CD⊥y轴于点D，
∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，
∴∠ACB＝45°.∴AB＝BC.
∵∠ABO＋∠BAO＝90°＝∠ABO＋∠CBD，
∴∠BAO＝∠CBD.
在△AOB和△BDC中，
∴△AOB≌△BDC（AAS）.
∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1.
∴OD＝OB－BD＝.∴C.
设直线l的表达式为y＝mx＋n，
把A，C代入，
得 解得
∴直线l的表达式为y＝x＋.解题技巧专题　与四边形有关的最值问题
　　类型一　垂线段最短
　　两个动点，求一条线段的最小值，利用等量代换，根据垂线段最短.
1.（洛阳期中）如图，在菱形ABCD中，AC＝16，BD＝12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连结FG，则FG的最小值为 .
第1题图
2.（安阳北关区期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，点P和点E分别为BD，CD上的动点，则PE＋PC的最小值为 .
第2题图
　　类型二　将军饮马
　　一个动点，求两条线段和的最小值，作一个对称点.
3.（商丘期末）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为（　 　）
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
第3题图
4.（洛阳期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝7，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP，QD，则PC＋QD的最小值为（　 　）
第4题图
A.25　　B.24　　C.　　D.13
　　类型三　利用三角形的三边关系求最值
　　把线段转到同一个三角形中.
5.如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为边向下作正方形DEFG，连结CG，CF，则DE＋CG＋CF的最小值为（　 　）
A.2
B.
C.4
D.
6.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当点B在OM上运动时，点C随之在ON上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中CD＝5，BC＝24，在运动过程中，点D到点O的最大距离是 .
第6题图
7.（开封期末）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是边BC上一动点，M，N分别是AE，AD的中点，在点E运动过程中，MN的最大值为 ，最小值为 .
8.如图，在 ABCD中，∠BAC＝90°，AD＝5，AC＝4.点E，F分别是线段BC，AC上的两动点，且BE＝CF，连结AE，BF，则AE＋BF的最小值为 .
第8题图解题技巧专题　与四边形有关的折叠问题
　　【例】（教材P124习题T8）如图，将矩形纸片ABCD折叠，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，将边AD重叠到对角线BD上，得折痕DG，AB＝2，BC＝1.求AG的长.（精确到0.01）（提示：作GE⊥BD，记垂足为点E，设AG＝x，列出x满足的等量关系）
解：过点G作GE⊥BD，垂足为点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，BC＝AD＝1.
∴BD＝＝＝.
由折叠，得∠A＝∠DEG＝90°，AD＝DE＝1，AG＝GE.
∴BE＝－1.
∵GE2＋BE2＝BG2，
∴AG2＋（－1）2＝（2－AG）2，
解得AG≈0.62.
　　条件：如图，在矩形ABCD中，沿对角线AC折叠△ABC，点B的对应点为B′，连结BB′.
　　结论：（1）△ABC≌△AB′C；（2）折痕AC垂直平分BB′；（3）△AEC是等腰三角形.
1.（河南中考改编）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　D　）
A.　　B.2－4
C.2　　D.4－
第1题图
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于点F，那么S△ACF为（　D　）
第2题图
A.12　　B.15　　C.6　　D.10
3.（安阳北关区期末）如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为D′，若AD＝9 cm，AB＝3 cm，则折痕EF的长为（　D　）
A.2 cm
B.8 cm
C.3 cm
D. cm
4.（河南中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（－2，0），点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为　（3，10）　.
第4题图
5.【分类讨论思想】（洛阳老城区期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝10，BC＝16，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AD运动，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，运动时间为　2.5或10　秒.
第5题图解题技巧专题　平行四边形的证明思路
　　思路一　利用边的关系判定平行四边形
　　若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
　　①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
　　②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
　　③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1.如图，已知在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交BC，AD于点G，H，求证：四边形AHCG是平行四边形.
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°.
∴AG∥CH.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
即AH∥CG.
∴四边形AHCG是平行四边形.
2.（许昌期末）如图，在△ABC中，D是AB的中点.
（1）求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交AC于点E，连结DE并延长至点F，使EF＝2DE，连结BE，CF.补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形.
解：（1）如图所示.
（2）补全图形如图所示.
证明：由（1）知，AE＝EC，
∵AD＝DB，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC，BC＝2DE.
∵EF＝2DE，∴EF＝BC.
∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形.
3.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E在AB的延长线上，连结ED，且ED＝AD，过点A作AF⊥AB交ED的延长线于点F，连结BF，CF，CE，求证：四边形BECF为平行四边形.
证明：∵AD是等边△ABC的BC边上的高，
∴BD＝DC，
∠BAD＝∠CAD＝30°.
∵ED＝AD，∴∠AED＝30°，
∴∠ADF＝60°.
∵AF⊥AB，
∴∠DAF＝90°－∠EAD＝90°－30°＝60°.
∴△ADF为等边三角形.∴AD＝DF.
∴ED＝DF.
∵BD＝DC，
∴四边形BECF为平行四边形.
4.如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF.
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠GAE＝∠HCF.
∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH.
在△AGE和△CHF中，
∴△AGE≌△CHF（SAS）.
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH.
∴∠GEF＝∠HFE.∴GE∥HF.
∴四边形EGFH是平行四边形.
（2）连结BD交AC于点O，若BD＝14，AE＋CF＝EF，求EG的长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD＝7.
∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∵AE＋CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE.∴AE＝OE.
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线.
∴EG＝OB＝.
　　思路二　利用角的关系判定平行四边形
　　若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明.
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，对角线AC，BD相交于点O.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝5，AD＝3，AC⊥BC，求AC的长和BD的长.
解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC＋∠BAD＝∠ADC＋∠BCD＝180°.
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠CDA.
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝3.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.
∴AC＝＝＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝AC＝2，BD＝2OB.
∵OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2.
　　思路三　利用对角线的关系判定平行四边形
　　若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明.
6.如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连结EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵O为AC的中点，∴OA＝OC.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF（ASA）.
∴OE＝OF.
同理可得OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
7.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连结BF，DE.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠CBD＝45°，DE＝DC＝6，CE＝4，求BE的长.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB∥AD.∴∠OEB＝∠OFD.
∵点O是对角线BD的中点，
∴OB＝OD.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（AAS）.∴OE＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
（2）过点D作DH⊥CB于点H，则∠BHD＝90°，
∵∠CBD＝45°，∴∠HDB＝∠CBD＝45°.
∵DE＝DC＝6，CE＝4，DH⊥EC，
∴EH＝CH＝CE＝2.
∴BH＝DH＝＝＝.
∴BE＝BH－EH＝－2.
数学活动　图形的等分
综合与实践
【活动主题】探究用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分.
【活动素材】如图1，圆和平行四边形都是中心对称图形，对于一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分.
【拓展应用】
（1）如图2，若长方形ABCD是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻.请你帮老林家设计一下，画出图形（保留作图痕迹，不写作图过程）；
（2）图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线EF将图3的阴影部分分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作图过程）.
解：（1）如图所示，过点P的直线l即为所求.
（2）如图所示，直线EF即为所求.解题技巧专题　一次函数与面积问题
　　类型一　直接利用面积公式求几何图形的面积
　　当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接利用三角形的面积公式计算三角形的面积.
　　如图1，S△ABC＝｜xC－xB｜ ｜yA｜.
　　如图2，S△ABC＝｜yC－yB｜ ｜xA｜.
1.如图，在平面直角坐标系中，直线AC的表达式为y＝2x－，与y轴交于点C，点A（2，m）在直线AC上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）.
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）求△ABC的面积.
解：（1）将A（2，m）代入y＝2x－，得m＝.
∴A（2，）.
设直线AB的表达式为
y＝kx＋b（k≠0），将A（2，），B（0，3）代入，得
解得
∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋3.
（2）在y＝2x－中，当x＝0时，y＝－.
∴C（0，－）.
∵B（0，3），∴BC＝.
∴S△ABC＝BC xA＝××2＝.
2.如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋5的图象l1分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）.
（1）求m的值及l2的函数表达式；
（2）求S△AOC－S△BOC的值.
解：（1）将C（m，4）代入y＝－x＋5，得
－m＋5＝4，
解得m＝2.∴点C的坐标为（2，4）.
设正比例函数l2的函数表达式为y＝k0x（k0≠0），将点C（2，4）代入，得2k0＝4，解得k0＝2.
∴l2的函数表达式为y＝2x.
（2）在一次函数y＝－x＋5中，
当y＝0时，－x＋5＝0，解得x＝10；
当x＝0时，y＝5.
∴A（10，0），B（0，5）.∴OA＝10，OB＝5.
由（1）知，C（2，4），
∴S△AOC－S△BOC＝×10×4－×5×2＝15.
　　类型二　利用和差法求几何图形的面积
　　当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用和差法将所求图形的面积转为两个图形的面积的和或差.
　　如图1，S△ABC＝S△ADC＋S△ADB＝｜yA－yD｜ ｜xB－xC｜或S△ABC＝S△ACE－S△BCE＝｜xE－xC｜ ｜yA－yB｜.
　　如图2，连结OB，S四边形ABDO＝S△AOB＋S△DOB＝｜xA｜ ｜yB｜＋｜yD｜ ｜xB｜或S四边形ABDO＝S△ABC－S△OCD＝｜xC－xA｜ ｜yB｜－｜xC｜ ｜yD｜.
3.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋b经过点A（2，4）和点B（4，2），连结OA，OB.
（1）求直线l的函数表达式；
（2）求△AOB的面积.
解：（1）把A（2，4），B（4，2）分别代入y＝kx＋b，得
解得
∴直线l的函数表达式为y＝－x＋6.
（2）设直线l与x轴交于点C，在y＝－x＋6中，当y＝0时，－x＋6＝0，解得x＝6.∴C（6，0）.
∴S△AOB＝S△AOC－S△BOC＝×6×4－×6×2＝6.
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线l2与x轴交于点B（1，0），与l1相交于点C（m，4）.
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）求四边形OBCD的面积.
解：（1）∵直线l1：y＝x＋2与l2相交于点C（m，4），
∴4＝m＋2，解得m＝2.
∴C（2，4）.
设直线l2的表达式为y＝kx＋b（k≠0），
把B（1，0），C（2，4）代入，得
解得
∴直线l2的函数表达式为y＝4x－4.
（2）在y＝x＋2中，当x＝0时，y＝2.
∴D（0，2）.∴OD＝2.
当y＝0时，0＝x＋2，解得x＝－2.
∴A（－2，0）.∴OA＝2.
∵B（1，0），∴AB＝3.
∴S四边形OBCD＝S△ABC－S△AOD＝×3×4－×2×2＝4.
　　类型三　由图形的面积或面积的数量关系求点的坐标
5.如图，直线l1：y＝k1x＋6与直线l2：y＝k2x＋b相交于点A（－3，3），l1交y轴于点B，l2交y轴负半轴于点C，且OB＝2OC.
（1）求直线l1和l2的函数表达式；
（2）若D是直线l1上一点，且△BCD的面积是9，求点D的坐标.
解：（1）将A（－3，3）代入y＝k1x＋6，得
－3k1＋6＝3，解得k1＝1.
∴直线l1的函数表达式为
y＝x＋6.
在y＝x＋6中，令x＝0，
则y＝6.∴B（0，6）.
∵OB＝2OC，∴C（0，－3）.
将A（－3，3），C（0，－3）代入y＝k2x＋b，得
解得
∴直线l2的函数表达式为y＝－2x－3.
（2）设点D到y轴的距离为m，由题意，得
BC＝9，则S△BOD＝BC m＝×9×m＝9，
∴m＝2.∴xD＝2或xD＝－2.
∴D（2，8）或（－2，4）.解题技巧专题　求一次函数表达式的几种类型
　　类型一　根据平移求一次函数表达式
（1）上下平移：上加下减
①直线y＝kx＋b向上平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的表达式是y＝kx＋b＋h；
②直线y＝kx＋b向下平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的表达式是y＝kx＋b－h.
（2）左右平移：左加右减
①直线y＝kx＋b向左平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的表达式是y＝k（x＋h）＋b；
②直线y＝kx＋b向右平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的表达式是y＝k（x－h）＋b.
1.（信阳平桥区期末）要得到函数y＝－3x－2的图象，只需将函数y＝－3x的图象（　 　）
A.向左平移2个单位长度
B.向右平移2个单位长度
C.向上平移2个单位长度
D.向下平移2个单位长度
2.（1）将直线y＝2x＋5向上平移2个单位长度，所得直线的表达式为 ；
（2）将直线y＝2x＋5向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为 ；
（3）将直线y＝2x＋5向左平移1个单位长度，所得直线的表达式为 ；
（4）将直线y＝2x＋5向右平移1个单位长度，所得直线的表达式为 ；
（5）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x＋1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，求所得直线的表达式.
　　类型二　根据对称求一次函数表达式
（1）直线y＝kx＋b关于x轴对称的直线表达式为y＝－kx－b；
（2）直线y＝kx＋b关于y轴对称的直线表达式为y＝－kx＋b.
3.（1）直线y＝2x－1关于x轴对称的直线的表达式为 ；
（2）直线y＝2x－1关于y轴对称的直线的表达式为 .
4.如图，直线y＝2x－2与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线AC与y轴交于点C且与AB关于x轴对称，以点C为直角顶点在第一象限作等腰直角三角形ACD，过点D作DE⊥y轴于点E.
（1）求直线AC所对应的函数表达式；
（2）求四边形AOED的面积.
5.我们知道一次函数y＝mx＋n与y＝－mx＋n（m≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝mx＋n与y＝－mx＋n（m≠0）互为“M”函数.
（1）请直接写出函数y＝2x＋5的“M”函数；
（2）如果一对“M”函数y＝mx＋n与y＝－mx＋n（m≠0）的图象交于点A，且分别与x轴交于点B，C，如图，若∠BAC＝90°，且△ABC的面积是8，求这对“M”函数的表达式.
　　类型三　根据旋转求一次函数表达式
直线的旋转规律
（1）绕坐标原点旋转90°
①直线y＝kx＋b绕坐标原点顺时针旋转90°得到直线y＝－x＋；
②直线y＝kx＋b绕坐标原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x－.
（2）绕直线上某点旋转90°或45°
如图所示，构造“K”型线、三垂直全等，利用全等三角形的性质求出对应点坐标，再根据待定系数法，求出一次函数的表达式.
6.已知直线l：y＝－x＋1与x轴交于点P，将l绕点P顺时针旋转90°得到直线l′，则直线l′的表达式为（　 　）
A.y＝x－1　　B.y＝2x－1
C.y＝x－4　　D.y＝2x－4
7.如图，一次函数y＝2x＋b的图象经过点M（1，3），且与x轴、y轴分别交于A，B两点.
（1）填空：b＝ ；
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式.解题技巧专题　与四边形有关的折叠问题
　　【例】（教材P124习题T8）如图，将矩形纸片ABCD折叠，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，将边AD重叠到对角线BD上，得折痕DG，AB＝2，BC＝1.求AG的长.（精确到0.01）（提示：作GE⊥BD，记垂足为点E，设AG＝x，列出x满足的等量关系）
　　条件：如图，在矩形ABCD中，沿对角线AC折叠△ABC，点B的对应点为B′，连结BB′.
　　结论：（1）△ABC≌△AB′C；（2）折痕AC垂直平分BB′；（3）△AEC是等腰三角形.
1.（河南中考改编）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　 　）
A.　　B.2－4
C.2　　D.4－
第1题图
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于点F，那么S△ACF为（　 　）
第2题图
A.12　　B.15　　C.6　　D.10
3.（安阳北关区期末）如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为D′，若AD＝9 cm，AB＝3 cm，则折痕EF的长为（　 　）
A.2 cm
B.8 cm
C.3 cm
D. cm
4.（河南中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（－2，0），点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 .
第4题图
5.【分类讨论思想】（洛阳老城区期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝10，BC＝16，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AD运动，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，运动时间为 秒.
第5题图解题技巧专题　与四边形有关的最值问题
　　类型一　垂线段最短
　　两个动点，求一条线段的最小值，利用等量代换，根据垂线段最短.
1.（洛阳期中）如图，在菱形ABCD中，AC＝16，BD＝12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连结FG，则FG的最小值为　　.
第1题图
2.（安阳北关区期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，点P和点E分别为BD，CD上的动点，则PE＋PC的最小值为　　.
第2题图
　　类型二　将军饮马
　　一个动点，求两条线段和的最小值，作一个对称点.
3.（商丘期末）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为（　C　）
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
第3题图
4.（洛阳期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝7，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP，QD，则PC＋QD的最小值为（　A　）
第4题图
A.25　　B.24　　C.　　D.13
　　类型三　利用三角形的三边关系求最值
　　把线段转到同一个三角形中.
5.如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为边向下作正方形DEFG，连结CG，CF，则DE＋CG＋CF的最小值为（　D　）
A.2
B.
C.4
D.
6.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当点B在OM上运动时，点C随之在ON上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中CD＝5，BC＝24，在运动过程中，点D到点O的最大距离是　25　.
第6题图
7.（开封期末）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是边BC上一动点，M，N分别是AE，AD的中点，在点E运动过程中，MN的最大值为　2.5　，最小值为　1.5　.
8.如图，在 ABCD中，∠BAC＝90°，AD＝5，AC＝4.点E，F分别是线段BC，AC上的两动点，且BE＝CF，连结AE，BF，则AE＋BF的最小值为　　.
第8题图解题技巧专题　一次函数与面积问题
　　类型一　直接利用面积公式求几何图形的面积
　　当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接利用三角形的面积公式计算三角形的面积.
　　如图1，S△ABC＝｜xC－xB｜ ｜yA｜.
　　如图2，S△ABC＝｜yC－yB｜ ｜xA｜.
1.如图，在平面直角坐标系中，直线AC的表达式为y＝2x－，与y轴交于点C，点A（2，m）在直线AC上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）.
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）求△ABC的面积.
2.如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋5的图象l1分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）.
（1）求m的值及l2的函数表达式；
（2）求S△AOC－S△BOC的值.
　　类型二　利用和差法求几何图形的面积
　　当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用和差法将所求图形的面积转为两个图形的面积的和或差.
　　如图1，S△ABC＝S△ADC＋S△ADB＝｜yA－yD｜ ｜xB－xC｜或S△ABC＝S△ACE－S△BCE＝｜xE－xC｜ ｜yA－yB｜.
　　如图2，连结OB，S四边形ABDO＝S△AOB＋S△DOB＝｜xA｜ ｜yB｜＋｜yD｜ ｜xB｜或S四边形ABDO＝S△ABC－S△OCD＝｜xC－xA｜ ｜yB｜－｜xC｜ ｜yD｜.
3.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋b经过点A（2，4）和点B（4，2），连结OA，OB.
（1）求直线l的函数表达式；
（2）求△AOB的面积.
.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线l2与x轴交于点B（1，0），与l1相交于点C（m，4）.
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）求四边形OBCD的面积.
　　类型三　由图形的面积或面积的数量关系求点的坐标
5.如图，直线l1：y＝k1x＋6与直线l2：y＝k2x＋b相交于点A（－3，3），l1交y轴于点B，l2交y轴负半轴于点C，且OB＝2OC.
（1）求直线l1和l2的函数表达式；
（2）若D是直线l1上一点，且△BCD的面积是9，求点D的坐标.解题技巧专题　平行四边形的证明思路
　　思路一　利用边的关系判定平行四边形
　　若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
　　①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
　　②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
　　③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1.如图，已知在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交BC，AD于点G，H，求证：四边形AHCG是平行四边形.
2.（许昌期末）如图，在△ABC中，D是AB的中点.
（1）求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交AC于点E，连结DE并延长至点F，使EF＝2DE，连结BE，CF.补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形.
3.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E在AB的延长线上，连结ED，且ED＝AD，过点A作AF⊥AB交ED的延长线于点F，连结BF，CF，CE，求证：四边形BECF为平行四边形.
4.如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF.
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD＝14，AE＋CF＝EF，求EG的长.
　　思路二　利用角的关系判定平行四边形
　　若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明.
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，对角线AC，BD相交于点O.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝5，AD＝3，AC⊥BC，求AC的长和BD的长.
　　思路三　利用对角线的关系判定平行四边形
　　若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明.
6.如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连结EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH是平行四边形.
， 角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连结BF，DE.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠CBD＝45°，DE＝DC＝6，CE＝4，求BE的长.
数学活动　图形的等分
综合与实践
【活动主题】探究用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分.
【活动素材】如图1，圆和平行四边形都是中心对称图形，对于一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分.
【拓展应用】
（1）如图2，若长方形ABCD是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻.请你帮老林家设计一下，画出图形（保留作图痕迹，不写作图过程）；
（2）图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线EF将图3的阴影部分分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作图过程）.

展开更多......

收起↑