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【期中真题汇编】第十九章 二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·重庆·期中）若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·重庆·期中）估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（25-26八年级下·福建·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是____．
8．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）计算：______； ______．
9．（25-26八年级下·全国·期中）计算：____________．
10．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）化简的结果是______．
11．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）已知，化简______；化简______．
12．（25-26九年级上·重庆·期中）若为正整数，且满足，则___________．
三、解答题
13．（25-26八年级下·福建·期中）计算：
(1)；
(2)．
14．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）计算
(1)；
(2)．
15．（25-26八年级下·云南曲靖·期中） 计算：
(1)；
(2)．
16．（25-26八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)。
17．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）先化简，再求值，已知：，求的值．
18．（25-26八年级上·北京顺义·期中）先化简，再求值：，其中．
19．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，解答下列各题：
(1)求的值；
(2)求的值．
20．（25-26八年级下·河南信阳·期中）课本再现观察下列等式，解答后面的问题：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：．
(1)请直接写出第个等式__________；
(2)用字母是正整数，表示这一规律是：__________，并给出证明；
(3)爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到，，猜想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，，，请你帮助直接写出，的值，__________，__________．
21．（25-26八年级上·广东茂名·期中）阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
(1)模仿材料中的计算方法，化简___________；___________．
(2)计算：；
(3)已知，求的值．
22．（25-26八年级下·全国·期中）阅读下列材料，解答下列问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中有一种数学思想叫作换元，它可以简化我们的计算．
(1)计算：．
(2)已知是正整数，，，，求的值．
(3)已知，求的值．
23．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得：
∴
∴，
当且仅当时，等号成立．
因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值．
例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2．
阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为．
例：若，则变形为，
∴该方程的解为，
化简后得：．
请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题：
(1)若，当_______时，式子的最大值为_______．
(2)若，求出的最小值及对应的x的值．
(3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值．
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《【期中真题汇编】第十九章 二次根式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B A A B C
1．B
【详解】解：A．被开方数，无意义，不是二次根式；
B．根指数为2，且被开方数，满足二次根式定义，是二次根式；
C．式子的根指数为3，是三次根式，不是二次根式；
D．的符号不确定，当时，无意义，不一定是二次根式．
2．B
【分析】根据同类二次根式的定义解题，先将每个选项化为最简二次根式，再比较最简二次根式的被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式．
【详解】解：对各选项逐一化简判断：
A选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A错误；
B选项：，与的被开方数相同，是同类二次根式，故B正确；
C选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C错误；
D选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故D错误．
3．A
【分析】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，注意分母不能为，被开方数不能为负数．
根据分式和二次根式有意义的条件确定的取值范围即可．
【详解】解：由题意可知：，
解得：；
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了最简二次根式的定义．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数的因数为整数且无开得尽方的因数），逐一判断各选项．
【详解】∵ A：，被开方数5为整数，无分母，且5不是完全平方数，∴ 是最简二次根式．
∵ B：，被开方数含分母，∴ 不是最简．
∵ C：，分母中有根号，∴ 不是最简．
∵ D：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，∴ 不是最简二次根式．
故选A．
5．B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先简化表达式为 ，再估计 ，计算数值后判断区间．
【详解】解：
，
∵
∴
∴
∵
∴ 值在2和3之间，
故选：B．
6．C
【分析】利用二次根式的化简和混合运算的法则逐一判断即可．
【详解】解：对于A：和不是同类二次根式，无法合并，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误．
7．
【分析】根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，解不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
移项得：，
系数化为得：．
8． 5 5
【分析】本题考查二次根式的性质，运用二次根式的基本性质计算即可．
【详解】解：，．
9．
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键．
通过有理化分母即可求解．
【详解】解：将分子和分母同时乘以，得，再约分得．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了将根式化为最简二次根式，将根号内的分数表示为分子和分母的平方根之比，然后化简分母中的根号并有理化；
【详解】解： ．
故答案为： ．
11． /
【分析】根据二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再判断绝对值内式子的正负，利用绝对值的性质去绝对值符号，得到化简结果．
【详解】解：∵
∴；．
12．4
【分析】本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过平方法估算的范围即可．
【详解】解：．
，
，
故答案为：4．
13．(1)；
(2)．
【分析】（）先计算二次根式乘法、化简二次根式，最后合并即可；
（）先运用完全平方公式计算、化简二次根式，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．(1)
(2)
【分析】（1）先根据二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算，即可．
（2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先化为最简二次根式，再根据二次根式加减运算的法则进行计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式进行展开，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可；
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂、立方根运算及因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，灵活运用因式分解简化计算．
（1）先化简二次根式、分母有理化、计算负整数指数幂，再合并同类项；
（2）先计算完全平方、化简根式、立方根，再进行除法运算，最后合并；
（3）提取公因式简化高次幂项，再逐步计算．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
17．；4
【分析】利用完全平方公式把所求式子变形得到，再代值计算即可．
【详解】解： ，
∵，
∴原式．
18．，
【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先化简题目中的式子，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19．(1)
(2)19
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，做题关键是掌握分母有理化．
（1）先进行分母有理化，再进行加减即可；
（2）利变形为，再代入求值即可．
【详解】（1）解：
（2）解：由（1）知
，，
．
20．(1)
(2)；证明见解析
(3)，
【分析】（1）根据题干中的已知等式即可求得答案；
（2）根据已知等式总结规律，然后利用二次根式的运算法则证明即可；
（3）根据规律将原式变形后计算即可．
【详解】（1）解：由题干中的等式得第个等式为：．
（2）解：用字母是正整数，表示这一规律是：，
证明：
，
．
（3）解：，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解．
，
，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解．
综上，，．
21．(1)；
(2)2024
(3)10
【分析】（1）根据材料提示分别将分母有理化即可解答；
（2）分别将第一个括号内的每一项分母有理化，即可化简得到，再根据平方差公式计算即可；
（3）先根据完全平方公式把原式化为，再代入计算即可．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：原式
；
（3）解：∵，
∴
．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依据题意，先分母有理化，再合并同类二次根式，然后化简二次根式后进行有理数的运算；
（2）先计算出，再利用分母有理化得到，接着利用得到，然后解一次方程即可；
（3）先设，，则，，根据完全平方公式变形公式求出即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2），，
，，
，
，
．
（3）解：设，，则．
，
，
，
，
．
，
（负值已舍去），
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键．
23．(1)3，
(2)，
(3)，，
【分析】本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值．
（1）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最大值，同时确定等号成立时x的值；
（2）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，同时确定等号成立时x的值；
（3）先对M进行变形，将分子凑成含有的形式，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，当且仅当，，且，此时确定等号成立时x的值．
【详解】（1）解：由题意知，，
解得，
∵，
∴，
故答案为：3，．
（2）解：，
当且仅当，即，解得，
∵，
∴时，的最小值为．
（3）解：
,
当时，．
当且仅当，，且，
∴，．
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