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重点强专题　特殊平行四边形的性质与判定
　　类型一　从平行四边形到特殊平行四边形
1.（徐州中考）如图，在 ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连结AE，CF.求证：
（1）△AGF≌△CGE；
（2）四边形AECF是菱形.
证明：（1）∵AB⊥AC，E为BC的中点，
∴AE＝BE＝EC.
∵EF⊥AC，∴AG＝GC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB.
又∵∠AGF＝∠CGE，
∴△AGF≌△CGE（ASA）.
（2）由（1）得，△AGF≌△CGE，∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形.
又∵EF⊥AC，∴ AECF是菱形.
2.（洛阳老城区期中）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.
（1）求证：BE＝DF；
（2）连结DE，BF，已知　　（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形DEBF的形状，并证明你的结论.
条件①：AC＝2BD；条件②：AB＝BC.
证明：（1）连结DE，FB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC.
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC.∴OE＝OF.
∴四边形DEBF是平行四边形.∴BE＝DF.
（2）选择条件①，
∵OA＝OC，OE＝OA＝AC，
OF＝OC＝AC，AC＝2BD，
∴EF＝OE＋OF＝AC，即AC＝2EF.
∴EF＝BD.
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴平行四边形DEBF是矩形.
选择条件②，
∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴平行四边形DEBF是菱形.
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连结DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BC＝CD，BF＝16，DF＝8，求 ABCD的面积.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥EF.
∵CF＝BE，∴CF＋EC＝BE＋EC，即EF＝BC.
∴EF＝AD.∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°.
∴平行四边形AEFD是矩形.
（2）由（1）得，四边形AEFD是矩形，
∴AE＝DF＝8，∠F＝90°.
∴DF2＋CF2＝CD2.
∵BC＝CD，∴CF＝BF－BC＝16－CD.
∴82＋（16－CD）2＝CD2.
∴CD＝10.∴BC＝CD＝10.
∴S ABCD＝BC AE＝10×8＝80.
　　类型二　特殊平行四边形之间的互相转
4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE与CE相交于点E.
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）连结DE，若AB＝5，AC＝6，求DE的长.
解：（1）证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形BECO是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
∴∠BOC＝90°.
∴平行四边形BECO是矩形.
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD.
∴OB＝＝4.∴BD＝2OB＝8.
∵四边形BECO是矩形，∴BE＝OC＝3.
∴DE＝＝＝.
5.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连结CM，AN.
（1）求证：四边形ANCM是平行四边形；
（2）若MN⊥AC且AD＝4，AB＝2，求四边形ANCM的面积.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.∴∠AMO＝∠CNO，∠MAO＝∠NCO.
∵O为对角线AC的中点，∴OA＝OC.
在△AOM和△CON中，
∴△AOM≌△CON（AAS）.∴AM＝CN.
又∵AM∥NC，
∴四边形ANCM为平行四边形.
（2）由（1）知，四边形ANCM为平行四边形，
∵MN⊥AC，∴平行四边形ANCM是菱形.
∴AM＝AN＝NC.
∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，∴AD＝BC＝4.
设NC＝x，则AN＝x，BN＝4－x，
∵∠B＝90°，∴AB2＋BN2＝AN2.
∴22＋（4－x）2＝x2，解得x＝.∴NC＝.
∴S四边形ANCM＝NC AB＝×2＝5.
6.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O.
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OF的长.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°.
∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°.
∴四边形ABEF是矩形.
∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB.
∴矩形ABEF是正方形.
（2）证明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAG＝∠BAE.
在△AGD和△ABE中，
∴△AGD≌△ABE（AAS）.∴AB＝AG.
（3）由（1）得，四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝BE＝1.
由（2）得，△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝BE＝AG＝1.
∴AD＝＝，∠DAG＝∠ADG＝45°.
∴DF＝－1.
∵EF⊥AD，∴∠FDO＝∠FOD＝45°.
∴DF＝OF＝－1.重点强专题　与四边形有关的作图题
　　类型一　四边形与尺规作图
1.（河南中考）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形.
2.如图，在△ABD中，AB＝AD.
（1）点C为BD的垂直平分线上一点，且点C在BD下方，CB＝AB，求作点C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC，BD交于点O，点E为BC的中点，连结OE.若OE＝5，BD＝12，求AC的长.
3.如图，平行四边形ABCD中，点F在AD上.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作AE⊥BC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若DF＝BE，连结CF，求证：四边形AECF是矩形.
　　类型二　四边形与补全图形
4.如图， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OB＝OC.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图，AM为射线，过点C作CP⊥射线AM于点P，连结PO，PD.请你补全图形，判断∠OPD与∠ODP之间的数量关系，并证明.
5.如图，已知正方形ABCD，AC，BD相交于点O，E为AC上一点，AH⊥EB交EB于点H，AH交BD于点F.
（1）若点E在图1的位置，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论；
（2）若点E在AC的延长线上，请在图2中按题目要求补全图形，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论.
　　类型三　四边形与无刻度直尺作图
6.如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图.
（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；
（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点.
7.如图，已知四边形ABCD为矩形，点E是边AB的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.
（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴l，使l∥BC；
（2）在图2中作出菱形EFGH，使得点F，G，H分别在边BC，CD，DA上.重点强专题　特殊平行四边形的性质与判定
　　类型一　从平行四边形到特殊平行四边形
1.（徐州中考）如图，在 ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连结AE，CF.求证：
（1）△AGF≌△CGE；
（2）四边形AECF是菱形.
2.（洛阳老城区期中）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.
（1）求证：BE＝DF；
（2）连结DE，BF，已知 （从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形DEBF的形状，并证明你的结论.
条件①：AC＝2BD；条件②：AB＝BC.
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连结DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BC＝CD，BF＝16，DF＝8，求 ABCD的面积.
　　类型二　特殊平行四边形之间的互相转
4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE与CE相交于点E.
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）连结DE，若AB＝5，AC＝6，求DE的长.
5.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连结CM，AN.
（1）求证：四边形ANCM是平行四边形；
（2）若MN⊥AC且AD＝4，AB＝2，求四边形ANCM的面积.
6.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O.
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OF的长.重点强专题　反比例函数的简单综合
　　类型一　反比例函数与一次函数的综合
1.（广安中考）如图，一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标是（－8，1），点B的坐标是（n，－4）.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据函数图象直接写出关于x的不等式kx＋b＞的解集.
解：（1）把点A（－8，1）代入
y＝，得1＝，
解得m＝－8.
∴反比例函数的表达式为y＝－.
把点B（n，－4）代入y＝－，得
－4＝－，解得n＝2.∴B（2，－4）.
把A（－8，1），B（2，－4）代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的表达式为y＝－x－3.
（2）由函数图象可知，关于x的不等式kx＋b＞的解集是x＜－8或0＜x＜2.
2.（资阳中考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝kx－2的图象与x轴交于点A（－1，0），与反比例函数y＝的图象交于点B（－2，a），射线BO与反比例函数的图象交于点C，连结AC.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△ABC的面积.
解：（1）∵一次函数y＝kx－2的图象与x轴交于点A（－1，0），
∴0＝－k－2，解得k＝－2.
∴一次函数的表达式为y＝－2x－2.
∵一次函数y＝－2x－2的图象过点B（－2，a），
∴a＝－2×（－2）－2.∴a＝2，∴B（－2，2）.
∵反比例函数y＝的图象经过点B（－2，2），
∴2＝，解得m＝－4.
∴反比例函数的表达式为y＝－.
（2）由题意，得点B与点C关于原点成中心对称，
∴C（2，－2）.
过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴BE＝2，CD＝2.
∵A（－1，0），∴AO＝1.
∴S△ABC＝2S△AOB＝2××1×2＝2.
3.如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB.
（1）求函数y＝kx＋b和y＝的表达式；
（2）已知点C（0，7），试在该反比例函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标.
解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（4，3）.
∴3＝，∴a＝12.
∴反比例函数的表达式为y＝.
∵A（4，3），∴OA＝＝5.
∵OB＝OA＝5，∴B（0，－5）.
把A（4，3），B（0，－5）代入y＝kx＋b（k≠0），得
解得
∴一次函数的表达式为y＝2x－5.
（2）由题意，得点M在线段BC的垂直平分线上.
∵B（0，－5），C（0，7），
∴线段BC的中点的纵坐标为＝1.
∴点M在直线y＝1上.∴点M的纵坐标为1.
又∵点M在反比例函数y＝的图象上，
∴点M的坐标为（12，1）.
　　类型二　反比例函数与几何图形的综合
4.（河南中考）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连结CD.求证：CD∥AB.
解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4），
∴k＝2×4＝8.
∴反比例函数的表达式为
y＝.
（2）如图，直线m即为所求.
（3）证明：∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC.
∵直线m垂直平分线段AC，
∴DA＝DC.∴∠OAC＝∠DCA.
∴∠DCA＝∠BAC.∴CD∥AB.
5.（河南中考）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标.
解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C（2，2），∴k＝2×2＝4.
∴反比例函数的表达式为y＝.
（2）∵C（2，2），∴CO2＝22＋22＝8.
∵△OAC为等腰直角三角形，且∠ACO＝90°，
∴AC＝CO，AO＝＝4.
将△OAB绕点O顺时针旋转90°到△OEF的位置，点D的对应点为点G，
∴OE＝OA＝4，即xG＝4.
∵点D的对应点G在y＝的图象上，
∴yG＝1.∴EG＝1.
由旋转，得AD＝GE＝1.
∴D（－1，4）.
6.（南阳宛城区期末）如图，四边形ABCD是正方形，点A（2，0），点B（0，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线OD向上平移m个单位长度后经过反比例函数y＝（x＞0）的图象上的点（3，n），分别求m与n的值.
解：（1）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD.
∵∠OAB＋∠OBA＝∠OAB＋∠FAD＝90°，∴∠OBA＝∠FAD.
在△OBA和△FAD中，
∴△OBA≌△FAD（AAS）.
∴OA＝DF＝2，OB＝AF＝4.
∴OF＝6.∴D（6，2）.
∵反比例函数y＝的图象经过点D（6，2），
∴k＝12.∴反比例函数的表达式为y＝.
（2）∵点（3，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝4.
设直线OD的表达式为y＝tx，将D（6，2）代入，得2＝6t，解得t＝.
∴直线OD的表达式为y＝x.
根据题意，得直线OD向上平移后的表达式为y＝x＋m，
∵直线y＝x＋m经过点（3，4），
∴4＝×3＋m，解得m＝3.重点强专题　反比例函数的简单综合
　　类型一　反比例函数与一次函数的综合
1.（广安中考）如图，一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标是（－8，1），点B的坐标是（n，－4）.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据函数图象直接写出关于x的不等式kx＋b＞的解集.
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝kx－2的图象与x轴交于点A（－1，0），与反比例函数y＝的图象交于点B（－2，a），射线BO与反比例函数的图象交于点C，连结AC.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△ABC的面积.
3.如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB.
（1）求函数y＝kx＋b和y＝的表达式；
（2）已知点C（0，7），试在该反比例函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标.
　　类型二　反比例函数与几何图形的综合
4.（河南中考）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连结CD.求证：CD∥AB.
5.（河南中考）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标.
6.（南阳宛城区期末）如图，四边形ABCD是正方形，点A（2，0），点B（0，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线OD向上平移m个单位长度后经过反比例函数y＝（x＞0）的图象上的点（3，n），分别求m与n的值.重点强专题　一次函数的应用
1.（陕西中考）在探究小球速度随时间变规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图1所示.小球滚动过程中的速度y（m/s）与时间x（s）之间的关系如图2所示.
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长.
2.（河南中考）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50 g，营养成分表如下.
（1）若要从这两种食品中摄入4 600 KJ热量和70 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90 g，且热量最低，应如何选用这两种食品？
3.（成都锦江区期中）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件.设甲组加工时间为t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示.
（1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）求a的值，并说明a的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个.
4.（许昌期末）项目学习
项目主题：玉米种子购买方案的选择
项目背景：种子是植物世界的起源，是农业生产的基础，是保障粮食安全最重要的因素之一.优质种子的生产、繁殖和利用，能够提高粮食生产的质量和效益.某校综合实践活动小组以探究“玉米种子的购买方案”为主题开展项目学习.
驱动任务：探究玉米种子的付款金额与购买量之间的函数关系.
研究步骤：
（1）收集区域内甲、乙两个种子商店销售同一玉米种子的信息；
（2）对收集的信息进行整理、描述；
（3）信息分析，形成结论.
数据信息：
信息1：甲商店这种玉米种子的售价为4元/kg，无论购买多少均不打折；
信息2：乙商店这种玉米种子的售价如下表：
购买量 3 kg以内 （含3 kg） 超过3 kg
售价 5元/kg 超过3 kg的部分打折销售
信息3：乙商店销售这种玉米种子的部分小票统计如下表：
购买量 /kg 1 2 3 4 5 6 7 15 31 …
付款金 额/元 5 10 15 18.5 22 25.5 29 57 113 …
问题解决：
（1）请分别写出在甲、乙两个商店购买玉米种子的付款金额y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；
（2）现需购买一批这种玉米种子，请通过计算说明选择哪个商店更合算.重点强专题　与四边形有关的作图题
　　类型一　四边形与尺规作图
1.（河南中考）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形.
解：（1）如图，∠ECM即为所求.
（2）证明：由（1），得∠ECF＝∠A，∴CF∥AB.
∵BE∥DC，
∴四边形CDBF是平行四边形.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝BD.
∴平行四边形CDBF是菱形.
2.如图，在△ABD中，AB＝AD.
（1）点C为BD的垂直平分线上一点，且点C在BD下方，CB＝AB，求作点C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC，BD交于点O，点E为BC的中点，连结OE.若OE＝5，BD＝12，求AC的长.
解：（1）如图，点C即为所求.
（2）由作图可知，AB＝AD＝
BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD，OA＝OC，
OB＝OD＝BD＝6.
∵BE＝EC，∠BOC＝90°，
∴BC＝2OE＝10.
∴OC＝＝＝8.
∴AC＝2OC＝16.
3.如图，平行四边形ABCD中，点F在AD上.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作AE⊥BC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若DF＝BE，连结CF，求证：四边形AECF是矩形.
解：（1）如图，AE即为所作.
（2）证明：由作图，得∠AEC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵BE＝DF，∴AF＝EC.
∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AE⊥BC，
∴平行四边形AECF是矩形.
　　类型二　四边形与补全图形
4.如图， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OB＝OC.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD.
∵OB＝OC，
∴AO＝OD＝OC＝OB.
∴AO＋OC＝OB＋OD.∴AC＝BD.
∴平行四边形ABCD是矩形.
（2）如图，AM为射线，过点C作CP⊥射线AM于点P，连结PO，PD.请你补全图形，判断∠OPD与∠ODP之间的数量关系，并证明.
解：补全图形如图所示，∠OPD＝∠ODP，理由：
∵CP⊥AM，∴∠CPM＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝OD.
∴OP＝AC＝AO.∴OP＝OD.
∴∠OPD＝∠ODP.
5.如图，已知正方形ABCD，AC，BD相交于点O，E为AC上一点，AH⊥EB交EB于点H，AH交BD于点F.
（1）若点E在图1的位置，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论；
（2）若点E在AC的延长线上，请在图2中按题目要求补全图形，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论.
解：（1）OE＝OF.证明如下：
在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°.
∴∠OBE＋∠BEO＝90°.
∵AH⊥EB，∴∠AHE＝90°.
∴∠HAE＋∠AEH＝90°.∴∠OBE＝∠OAF.
在△AOF和△BOE中，
∴△AOF≌△BOE（ASA）.
∴OE＝OF.
（2）补全图形如图所示.
OE＝OF，证明如下：
在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°.
∴∠FAO＋∠F＝90°.
∵AH⊥EB，∴∠AHE＝90°.
∴∠HAE＋∠E＝90°.∴∠E＝∠F.
在△AOF和△BOE中，
∴△AOF≌△BOE（AAS）.
∴OE＝OF.
　　类型三　四边形与无刻度直尺作图
6.如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图.
（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；
（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点.
解：（1）如图，点F即为所求.
（2）如图，点G即为所求.
7.如图，已知四边形ABCD为矩形，点E是边AB的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.
（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴l，使l∥BC；
（2）在图2中作出菱形EFGH，使得点F，G，H分别在边BC，CD，DA上.
解：（1）如图，直线l即为所求.
（2）如图，菱形EFGH即为所求.重点强专题　函数图象信息题
　　类型一　根据实际问题判断函数图象
1.（江西中考）将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用图象可近似表示为（　 　）
A　　　B　　　C　　　D
2.匀速地向一个如图所示的容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随时间t变的图象（草图）大致是（　 　）
A　　　B　　　C　　　D
3.小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s（m），所经过的时间为t（min），下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间的关系的是（　 　）
A　B
C　D
　　类型二　根据函数图象描述实际问题
4.从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变情况如图所示，则对应容器的形状为（　 　）
　A　　　B　　　C　　　D
　　类型三　实际问题——从函数图象中获取信息
5.（鹤壁期末）我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马21.097 5千米的比赛并跑完全程，其行程y（千米）随时间x（时）变的图象如图所示.下列说法正确的是（　 　）
①起跑后1小时内，甲在乙的前面；
②在1小时的时候两人都跑了10千米；
③乙比甲先到达终点；
④两人都跑了21.097 5千米.
A.①②③④　　B.①③
C.②④　　D.③④
第5题图
6.（河南中考）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变而变.研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是（　 　）
第6题图
A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D.若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
7.今年“十一”假期，小凡一家驾车前往黄果树景区旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景区的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（　 　）
A.出发第1小时y与x之间的函数表达式是y＝－75x＋200
B.出发第1 h的平均速度为75 km/h
C.出发1 h后y与x之间的函数图象所在的直线是直线y＝－75x＋150向上平移1个单位长度
D.小凡从家到黄果树景区的时间共用了3 h
　　类型四　动点问题中判断函数图象
8.如图，在平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A→D→C→B→A运动一周，则P的纵坐标y与P点走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（　 　）
A　　　B
C　　　D
第8题图
9.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P在折线BCD从点B开始运动到点D，设运动路程为x，△ADP的面积为y，则y与x的关系图象大致是（　 　）
第9题图
A.　　B.
C.　　D.
　　类型五　几何问题——从函数图象中获取信息
10.（信阳期末）如图1，在长方形ABCD的边BC上有一点E，连结AE，点P从顶点A出发，沿A→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C.图2是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变的函数图象，则BE的长为（　 　）
A.1 cm　　B.2 cm　　C.3 cm　　D.4 cm
11.（广元中考）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从点A出发沿A→C→B以1 cm/s的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，△ABP的面积y（cm2）随时间x（s）变的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为（　 　）
A.5 cm　　B.7 cm　　C.3 cm　　D.2 cm
12.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则y的最大值为 .重点强专题　一次函数的应用
1.（陕西中考）在探究小球速度随时间变规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图1所示.小球滚动过程中的速度y（m/s）与时间x（s）之间的关系如图2所示.
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长.
解：（1）设OA所在直线的函数表达式为y＝kx（k≠0），∴2＝k.
∴OA所在直线的函数表达式为y＝2x.
∴A点坐标为（2，4）.
设AB所在直线的函数表达式为y＝mx＋b（m≠0），
得 解得
∴AB所在直线的函数表达式为y＝－x＋.
（2）当y＝0时，－x＋＝0，解得x＝5.
∴5－2＝3.
∴该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3 s.
2.（河南中考）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50 g，营养成分表如下.
（1）若要从这两种食品中摄入4 600 KJ热量和70 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90 g，且热量最低，应如何选用这两种食品？
解：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得 解得
答：应选用A种食品4包，B种食品2包.
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品（7－m）包，
根据题意，得10m＋15（7－m）≥90，解得m≤3.
设每份午餐的总热量为w KJ，则
w＝700m＋900（7－m）＝－200m＋6 300.
∵－200＜0，∴w随m的增大而减小.
∴当m＝3时，w取得最小值，此时7－m＝4.
答：应选用A种食品3包，B种食品4包.
3.（成都锦江区期中）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件.设甲组加工时间为t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示.
（1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）求a的值，并说明a的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个.
解：（1）设y乙与t之间的函数关系式是y乙＝kt＋b，由题意，得
解得
∴y乙与t之间的函数关系式是y乙＝120t－600（5≤t≤8）.
（2）由图象可得，甲的工作效率为120÷3＝40（个/时），
∴a＝120＋40×（8－4）＝280.
a的实际意义是当甲加工8小时时，一共加工了280个零件.
（3）设甲组加工c小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个，由题意，得
120＋40（c－4）＋（120c－600）＝480，解得c＝7.
∴甲组加工7小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个.
4.（许昌期末）项目学习
项目主题：玉米种子购买方案的选择
项目背景：种子是植物世界的起源，是农业生产的基础，是保障粮食安全最重要的因素之一.优质种子的生产、繁殖和利用，能够提高粮食生产的质量和效益.某校综合实践活动小组以探究“玉米种子的购买方案”为主题开展项目学习.
驱动任务：探究玉米种子的付款金额与购买量之间的函数关系.
研究步骤：
（1）收集区域内甲、乙两个种子商店销售同一玉米种子的信息；
（2）对收集的信息进行整理、描述；
（3）信息分析，形成结论.
数据信息：
信息1：甲商店这种玉米种子的售价为4元/kg，无论购买多少均不打折；
信息2：乙商店这种玉米种子的售价如下表：
购买量 3 kg以内 （含3 kg） 超过3 kg
售价 5元/kg 超过3 kg的部分打折销售
信息3：乙商店销售这种玉米种子的部分小票统计如下表：
购买量 /kg 1 2 3 4 5 6 7 15 31 …
付款金 额/元 5 10 15 18.5 22 25.5 29 57 113 …
问题解决：
（1）请分别写出在甲、乙两个商店购买玉米种子的付款金额y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；
（2）现需购买一批这种玉米种子，请通过计算说明选择哪个商店更合算.
解：（1）依题意，甲商店：
y＝4x.
乙商店：当0＜x≤3时，
y＝5x，
当x＞3时，设y＝kx＋b，将（5，22），（7，29）代入，得
解得 ∴y＝3.5x＋4.5.
∴乙商店：y＝
（2）当0＜x≤3时，∵4x＜5x，∴选择甲商店更合算.
当x＞3时，
令4x＜3.5x＋4.5，解得x＜9.
∴当3＜x＜9时，选择甲商店更合算.
令4x＝3.5x＋4.5，解得x＝9.
∴当x＝9时，选择两个商店的付款金额相同.
令4x＞3.5x＋4.5，解得x＞9.
∴当x＞9时，选择乙商店更合算.
综上所述，当0＜x＜9时，选择甲商店更合算；当x＝9时，选择两个商店一样；当x＞9时，选择乙商店更合算.重点强专题　函数图象信息题
　　类型一　根据实际问题判断函数图象
1.（江西中考）将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用图象可近似表示为（　C　）
A　　　B　　　C　　　D
2.匀速地向一个如图所示的容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随时间t变的图象（草图）大致是（　B　）
A　　　B　　　C　　　D
3.小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s（m），所经过的时间为t（min），下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间的关系的是（　A　）
A　B
C　D
　　类型二　根据函数图象描述实际问题
4.从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变情况如图所示，则对应容器的形状为（　C　）
　A　　　B　　　C　　　D
　　类型三　实际问题——从函数图象中获取信息
5.（鹤壁期末）我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马21.097 5千米的比赛并跑完全程，其行程y（千米）随时间x（时）变的图象如图所示.下列说法正确的是（　D　）
①起跑后1小时内，甲在乙的前面；
②在1小时的时候两人都跑了10千米；
③乙比甲先到达终点；
④两人都跑了21.097 5千米.
A.①②③④　　B.①③
C.②④　　D.③④
第5题图
6.（河南中考）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变而变.研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是（　C　）
第6题图
A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D.若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
7.今年“十一”假期，小凡一家驾车前往黄果树景区旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景区的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（　D　）
A.出发第1小时y与x之间的函数表达式是y＝－75x＋200
B.出发第1 h的平均速度为75 km/h
C.出发1 h后y与x之间的函数图象所在的直线是直线y＝－75x＋150向上平移1个单位长度
D.小凡从家到黄果树景区的时间共用了3 h
　　类型四　动点问题中判断函数图象
8.如图，在平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A→D→C→B→A运动一周，则P的纵坐标y与P点走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（　A　）
A　　　B
C　　　D
第8题图
9.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P在折线BCD从点B开始运动到点D，设运动路程为x，△ADP的面积为y，则y与x的关系图象大致是（　D　）
第9题图
A.　　B.
C.　　D.
　　类型五　几何问题——从函数图象中获取信息
10.（信阳期末）如图1，在长方形ABCD的边BC上有一点E，连结AE，点P从顶点A出发，沿A→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C.图2是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变的函数图象，则BE的长为（　B　）
A.1 cm　　B.2 cm　　C.3 cm　　D.4 cm
11.（广元中考）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从点A出发沿A→C→B以1 cm/s的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，△ABP的面积y（cm2）随时间x（s）变的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为（　A　）
A.5 cm　　B.7 cm　　C.3 cm　　D.2 cm
12.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则y的最大值为　3　.

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