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【解答题期中真题汇编】第1章 相交线与平行线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（25-26七年级上·河北邢台·期中）看图，写出相应的语句．
2．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）推理填空：如图，在中，于点，于点，．求证：．
证明：∵，（已知），
∴，
∴（① ），
∴② （③ ），
又∵（已知），
∴④ （⑤ ），
∴．
3．（25-26七年级下·北京·期中）如图，四边形中，．
(1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到）；测得点到的距离为________（精确到）．
(2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“”或“”或“”填空）依据是________．
4．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，按下列要求画图．
(1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中画出线段．
(2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图2中画出三角形．
5．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形中，且，，，延长至点E．求的度数．
7．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．如图，，数学课上，老师请同学们根图形特征添加一个关于角的条件，使得，并给出证明过程．
小明添加的条件：．
请你帮小明将下面的证明过程补充完整．
证明：（__________）
__________（__________）
又（已知）
__________（__________）
__________（__________）
（__________）
8．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，，，求的度数．请把下列推理的过程和依据补充完整．
解：_______（ ），
_______，
且（ ），
（ ），
（ ），
∴（ ）．
，
_______°．
9．（25-26八年级上·贵州黔南·期中）如图，，，比小，求的度数．
10．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，把沿直线平移，得到．若，，求的长．
11．（25-26八年级上·河北张家口·期中）小芳想知道作业纸上两条相交直线，所夹锐角的大小，但发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．小亮提供了如下间接的测量方案：
①如图，画一直线，分别交，于点E，F；
②利用尺规作；
③测量的度数即可．
小亮的方案可行吗？为什么？
12．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）（1）我们以前学过利用直尺和三角尺画平行线，如图1，过直线外一点P画已知直线b的平行线a，其操作步骤是：①用三角尺的一边贴住直线b；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；④沿三角尺的边作出直线a．这个操作得到直线b的平行线a的依据是：________；
（2）类比迁移：图2中，利用直尺与圆规作图：作直线a，使a经过点P且．（保留作图痕迹，不写画法）
13．（25-26七年级下·全国·期中）图①中和处于直线的同一侧，直线、之间．这种位置关系的一对角叫作同旁内角．
【类比探究】
(1)如图②所示，具有与这种位置关系的两个角叫作同旁外角，请在图②中再找出一对同旁外角，分别用，在图②中标记出来．
(2)如图③所示，已知，试说明直线．
(3)如图④所示，直线，当时，直接写出的度数．
14．（25-26七年级下·全国·期中）按图填空，并注明理由．
(1)完成正确的证明：如图，已知，求证：．
证明：过点作（经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
（ ）
（已知），
（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
（ ）
又，
（等量代换）．
(2)如图，在中，，，．将求的过程填写完整．
解：（已知），
（ ）
又，
（ ）
（ ）
（ ）
又，
．
15．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线，，求的度数．
16．（25-26七年级下·新疆·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为______；
问题迁移：
(2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明．
17．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明．
如图，已知______，求证：______．（填“①”，“②”，“③”）
证明：
18．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形．
(1)若，则的度数为_____；
(2)若是的中点，，，，连接．
求三角形的面积；
已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示）
19．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）填写推理依据：已知：如图，，，求证：．
证明：∵（已知），
（________），
∴（等量代换），
∴（________），
∴（________）．
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（________），
∴（________）．
20．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，与交于点，，垂足为．若，求的度数．
21．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，，与交于点．
(1)求证：．
(2)若与垂直，，求的度数．
22．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）问题背景：若，则我们称是的“驰骋角”．例如：，，则是的“驰骋角”．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究．
(1)探究：如图，直线，被直线所截．已知是的“驰骋角”．
当时，________；
当时，直线与直线_________（填“互相垂直”或“不互相垂直”）；
(2)探究：如图，直线与直线，分别交于点，．已知是的“驰骋角”．
求证：是的“驰骋角”．
如图，是上一点，过点的直线分别交直线，于点，，且．当是的“驰骋角”时，求的度数．
23．（25-26七年级下·全国·期中）钱塘江汛期来临时，防汛指挥部在某危险地带两岸各安置了一个探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯每秒转动，灯每秒转动，且，满足．假设这一带钱塘江两岸河堤是平行的，即，且．
(1)求，的值；
(2)若灯射线先转动30s，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，当灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？
(3)如图②，两灯同时转动，在灯射线到达之前，灯，灯射出的光束交于点，过点作于点，交于点．在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
24．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动．
(1)【问题初探】如图1，，，求证：．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示）
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《【解答题期中真题汇编】第1章 相交线与平行线》参考答案
1．（1）点P在直线l上，点Q在直线l外；（2）直线，交于点O，点P在内；（3）直线a，直线b，直线c交于一点Q
【分析】本题主要考查了点与直线的关系，直线与直线的位置关系等知识，根据几何图来一一描述图形即可．
【详解】解：（1）点P在直线l上，点Q在直线l外；
（2）直线，交于点O，点P在内；
（3）直线a，直线b，直线c交于一点Q．
2．同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等
【分析】根据平行线的判定和性质证明即可求证．
【详解】证明：∵，（已知），
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等．
3．(1)见解析
(2)；垂线段最短
【分析】本题主要考查垂线段：
（1）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这个点到这条直线的距离；
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
【详解】（1）解：如图所示，垂线段，即为所求．
∵，
∴点到的距离为线段的长度，经测量（依据图形实际大小确定）．
∵，
∴点到的距离为线段的长度，经测量（依据图形实际大小确定）．
（2）∵，
∴点与直线上各点的连线中垂线段最短．
∴．
4．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（）由平移的性质，结合网格特征画出线段即可；
（）根据平移的性质找出点、的对应点，顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，线段即所求；
（2）解：如图，三角形即所求．
5．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质；
（1）根据平角的定义可得，等量代换求出，然后根据平行线的判定定理得出结论；
（2）先根据平行线的性质得出两组角相等，等量代换可得结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
根据，可得，由此可求解的度数，再由，可得，由此可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴．
7．见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键，根据平行线的判定和性质，进行作答即可．
【详解】证明：（已知）
（两直线平行，同位角相等）
又（已知）
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）．
8．5；对顶角相等；6；已知；6；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；80．
【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角的性质；根据对顶角的性质、平行线的判定与性质即可完成．
【详解】解：（对顶角相等），
，
且（已知），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
，
．
故答案为：5；对顶角相等；6；已知；6；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；80．
9．
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，得到，，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵比小
∴，
∴，
∴
10．5
【分析】根据平移的性质解答即可．
本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
．
．
11．可行，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握“同位角相等，两直线平行”以及“两直线平行，同位角相等”的定理．
分析能推出的平行关系，结合平行线的性质说明与直线所夹锐角的关系
【详解】解：可行，
理由：∵，
∴，
又∵两直线平行，同位角相等，
∴等于直线所夹锐角的大小．
12．（1）同位角相等，两直线平行；（2）作图见解析
【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
（1）根据“过直线外一点P画已知直线b的平行线a的操作步骤”，结合平行线的判定定理得出答案即可；
（2）类比（1）的方法，根据同位角相等，两直线平行，利用直尺与圆规作出过点P且平行于直线b的直线即可．
【详解】解：（1）在利用直尺和三角尺画平行线的操作中，三角尺在平移过程中，对应的同位角始终相等，根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，所以这样操作能得到直线b的平行线a．
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（2）作图步骤如下：
以直线b上一点为圆心，任意长为半径画弧，交直线b于点M，交于点，
以点P为圆心，长为半径画弧，交过点P且与直线b的截线于点Q，
以点Q为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点R，
过点P、R作直线，则直线即为所求．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）根据题意在图中标记即可；
（2）根据邻补角的定义及平行线的判定定理求解即可；
（3）根据邻补角的定义及平行线的性质定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，与互为同旁外角．
（2）如图所示：
，，
，
．
（3）如图所示，
，，
．
又，
．
14．(1)；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等
(2)两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补
【分析】（1）因为作了，所以根据平行线的内错角相等性质，可确定对应的角，填写对应理由；因为，所以根据平行线的内错角相等性质，可确定对应的角，填写对应理由。
（2）因为，所以根据平行线的同位角相等性质，填写对应理由；因为且，所以根据等量代换得出，填写对应理由；因为，所以根据内错角相等，两直线平行，确定平行的直线，填写对应理由；因为与对应直线平行，所以根据两直线平行，同旁内角互补，确定与互补的角，填写对应理由．
【详解】（1）第一个空：，理由：两直线平行，内错角相等；
第二个空：，理由：两直线平行，内错角相等．
（2）第一个空理由：两直线平行，同位角相等；
第二个空理由：等量代换；
第三个空：，理由：内错角相等，两直线平行；
第四个空：，理由：两直线平行，同旁内角互补．
15．
【分析】根据得出，根据对顶角相等得出，即可得出，结合即可求解．
【详解】解：如图，
，
．
，
．
，
，
解得：．
16．(1)，理由见解析；
(2)，理由见解析；
(3)当在延长线时，；当在延长线时，
【分析】（1）过作，通过平行线性质求即可；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点作，如图2所示，
，
，
，，
，，
，，
．
（2）解：，
理由是：如图3，过作交于，
，
，
，，
；
（3）解：当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
17．见解析
【详解】选择①③，②．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
选择①②，③．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
选择②③，①．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．(1)；
(2) ； ．
【分析】（）根据平移的性质进行求解即可；
（）根据平移的性质，结合三角形面积公式求出结果即可；
过点作于点，根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：根据平移性质可得，，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，，
∴
∵是的中点，
∴，
∴，
∴；
如图，过点作于点，
由等面积法可求得，
即点到的距离为．
19．对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】先证明可得，证明，再证明，从而可得结论．
【详解】证明：∵（已知），（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）
20．
【分析】根据，得出，结合，求出，最后根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：与交于点，
．
，
，
．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，根据平行线内错角相等，得；结合已知，推得，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明；
（2）设与的交点为，过点作，由得；根据，可得，再根据进行计算，即可求解．
【详解】（1）证明：，
．
，
，
．
（2）解：如图，设与的交点为，过点作，
．
，
．
与垂直，
，
．
，
，
，
．
22．(1) ；不互相垂直；
(2)见解析；
【分析】（）由是的“驰骋角”，则，然后代入即可求解；
根据“驰骋角”定义可求出，过作，通过平行线的性质求得，从而求解；
（）根据“驰骋角”定义和角度和差即可求解；
过点作，则，，所以，由题意得，则有，然后求出的度数即可．
即，
【详解】（1）解：∵是的“驰骋角”，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
是的“驰骋角”，
∴，
∵，
∴联立得，
∴，
如图，过作，
∴，，
∴，
∴，
∴直线与直线不互相垂直，
故答案为：不互相垂直；
（2）证明：∵是的“驰骋角”，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴是的“驰骋角”；
如图，过点作，
∴，，
∴，
由题意得，
∴，
即，
解得，
∴的度数为．
23．(1)，；
(2)15s或82.5s；
(3)不发生变化，见解析．
【分析】（1）根据，可得，且，进而得出的值．
（2）设灯转动x秒时两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论，分别求得x的值即可．
（3）设灯转动的时间为秒，根据角的和差关系分别用含x的代数式表示出和，即可得到两角的数量关系．
【详解】（1）解：因为，
所以，，
所以，；
（2）解：设灯转动时，两灯的光束互相平行．
①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，解得（不符合题意，舍去）．
综上所述，当灯转动15s或82.5s时，两灯的光束互相平行；
（3）解：与的数量关系不发生变化．
设灯转动的时间为．
由题意可知，，，
所以．
如图，过点作．
因为，
所以，
所以，，
所以．
因为，所以，
所以，
所以．
【点睛】本题考查了平行线的性质及角的和差关系，解题时注意：若两个非负数的和为0，那么这两个非负数均为0．
24．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明．
（2）根据平行线的性质，等式性质解答即可．
（3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：，理由如下：
∵，，
∴，，，
∴，，
∴．
（3）证明：如图，过E作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
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