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2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试题
一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的相反数是（　　）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
2．我国某公司生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅0.000015米，是世界上最薄的不锈钢．数据0.000015用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×10﹣4 B．1.5×10﹣5 C．15×10﹣6 D．0.15×10﹣4
3．我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a、b两面，且a∥b，现有一束光线CD从玻璃中射向空气时发生折射，折射后光线变成DE，F为射线CD延长线上一点，当∠1＝133°，∠2＝19°时，∠3的度数为（　　）
A．28° B．31° C．35° D．38°
5．下列各式计算正确的是（　　）
A．a2+2a3＝3a5 B．（a2）3＝a6
C．a6÷a2＝a3 D．a2 a3＝a6
6．将抛物线y＝﹣2x2平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣3）2，则平移方向是（　　）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
7．把一个大正方形分成如图所示的四个不重叠的小正方形，现从中任选三个，则选中的三个小正方形中包括两个阴影部分小正方形的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．若点A（1﹣a，a+2）在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则2b2﹣8c+1的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2
10．如图，在平面直角坐标系中，点A、B都在反比例函数的图象上，延长AB交y轴于点C，作BD⊥x轴于点D，连接CD、AD，并延长AD交y轴于点E．若AB＝2BC，△DCE的面积是4.5，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．在如图的方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则图中m的值为　 　 ．
12．已知a、b是方程x2+3x+1＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝　 　 ．
13．因式分解：a3b2﹣9a＝　 　 ．
14．如图是某款“不倒翁”的示意图，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是4cm，∠P＝60°，则的长是 　 　 cm．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与ED，EC分别交于点M，N．计算MN的长为 　 　 ．
三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分、
16．（7分）先化简，再求值：，其中x＝﹣4．
17．（7分）如图，在△ABC中，D为边AC上的一点，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）尺规作图：作线段BD的垂直平分线，交AB于点M，交BC于点N，连接DM，DN，MN交BD于点H（只保留作图痕迹，不写作法和结论）．
（2）在（1）的条件下，求证：EM＝FN．请补全下面的证明过程．
证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴①　 　 （②　 　 ），
∠ABD＝∠CBD．
∵MN是BD的垂直平分线，
∴BM＝DM，BN＝DN，∠BHM＝∠BHN＝90°．
在△BHM和△BHN中，
∴△BHM≌△BHN（ASA），
∴③　 　 ，
∴DM＝DN（④　 　 ）．
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEM＝∠DFN＝90°．
在Rt△DME和Rt△DNF中，
∴Rt△DME≌Rt△DNF（HL），
∴EM＝FN．
18．（7分）“一方有难八方支援”，某市筹集了大量的医疗物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往疫情严重的地区，具体运输情况如下：
第一批 第二批
A型号货车的辆数（单位：辆） 1 2
B型号货车的辆数（单位：辆） 4 3
累计运送货物的吨数（单位：吨） 34 38
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨医疗物资；
（2）该市后续又筹集了60吨医疗物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需要多少辆B型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地．
四．解答题（二）：本大题共5小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）某校进行九年级体能测试，测试后，将学生的体能成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图．
请你根据统计图信息，回答下列问题：
（1）参加体能测试的学生共有 　 　 名；在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为 　 　 ；图中m的值为 　 　 ．
（2）补全条形统计图；
（3）等级为C的学生有4名来自九年级1班，这4名学生中有两名是女生．王老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用树状图或列表格的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率．
20．（9分）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CE＝4，OC＝5，则△DBC的面积＝　 　 ．
21．（9分）我们定义：如果一个矩形A的周长和面积分别是矩形B的周长和面积的n倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全n倍体．
【概念辨析】：若矩形B为正方形，是否存在一个正方形A是正方形B的完全2倍体？　 　 （填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】：（1）长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？小颖和小丽分别有以下思路：
①小颖：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝14，xy＝24，联立，得x2﹣14x+24＝0，再探究根的情况；
②小丽：如图，也可用反比例函数l2：与一次函数l1：y＝﹣x+14来研究，作出图象，两图象有交点，则意味着存在完全2倍体．
请直接写出这个完全2倍体的长与宽：　 　 ．
（2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．
（3）如果长为4，宽为3的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k满足的不等式．
22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A（﹣6，8），点C在x轴正半轴上，对角线AC交y轴于点M，边AB交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动．
（1）求点B的坐标．
（2）求对角线AC所在直线的解析式．
（3）设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM，△PBM的面积为S，请用含t的式子表示S；
（4）当t＝8时，直线AC上是否存在点N，使S△NBM＝S△PBM．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（14分）【尝试】
如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0）和B（3，0），与y轴相交于点C．已知位于点B右侧图象上有一动点P，并且射线PA、PB分别交y轴于点D、点E．
（1）求二次函数表达式；
（2）线段DE、CD有什么数量关系？请说明理由．
【探究】
若二次函数y＝mx2+nx+p（m＞0）的图象经过上述A、B两点，其它条件不变，线段DE、CD的以上数量关系还成立吗？说明理由．
【拓展】
若开口向上的二次函数的图象经过两点（a，0）和（b，0），且b＞a＞0，其它条件不变，请直接写出线段DE、CD的数量关系是 　 　 ．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A B D A B B C
二．填空题
11．．
12．﹣7．
13．a（ab﹣3）（ab+3）．
14．．
15．．
三．解答题
16．解：
＝[]



，
当x＝﹣4时，原式．
17．（1）解：如图，作线段BD的垂直平分线，交AB于点M，交BC于点N，连接DM，DN，MN交BD于点H．
．
（2）证明：∵BD平分∠ABC，DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠ABD＝∠CBD，DE＝DF，
∵MN是BD的垂直平分线，
∴∠BHM＝∠BHN＝90°，BM＝DM，BN＝DN，
在△BHM和△BHN中，
，
∴△BHM≌△BHN（ASA），
∴BM＝BN，
∴DM＝DN（等量代换）．
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEM＝∠DFN＝90°．
在Rt△DME和Rt△DNF中，
，
∴Rt△DME≌Rt△DNF（HL），
∴EM＝FN．
故答案为：①DE＝DF；②角平分线的性质；③BM＝BN；④等量代换；⑤DM＝DN．
18．解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，
依题意，得，
解得，
答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．
（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，
依题意，得：10×3+6m≥60，
解得：m≥5，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为5．
答：至少还需联系5辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
四．解答题
19．解：（1）参加体能测试的学生共有30÷15%＝200（名）．
在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为．
∵，
∴m＝40．
故答案为：200；72°，40．
（2）A等级的人数为200﹣30﹣40﹣80＝50（人）．
补全条形统计图如图所示．
（3）列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴所选的学生恰好是一男一女的概率为．
20．（1）证明：连接OD，如图所示：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，OC＝AB，
∴∠DOC＝∠ODA，∠EOC＝∠OAD，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EOC＝∠DOC，
在△EOC和△DOC中，
，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠OEC＝∠ODC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OE⊥EC，即∠OEC＝90°，
∴∠ODC＝90°，即OD⊥DC，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OF⊥AB于点F，如图所示：
∴AD＝2AF，
由（1）OE⊥EC，OC＝AB＝5，
∵CE＝4，OC＝5，
∴，
∵∠OEC＝∠AFO＝90°，∠EOC＝∠OAD，
∴△EOC∽△FAO，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
21．解：概念辨析：不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，
则面积比必定是4，所以不存在．
故答案为：不存在．
（1）①长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形，
∵矩形ABCD长为4，宽为3，
∴矩形ABCD的周长为14，面积为12，
小颖：设新矩形长和宽分别为x、y，则依题意x+y＝14，xy＝24，
联立，
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得：x1＝12，x2＝2，
∴新矩形的长为12，宽为2时，周长为28，面积为24，
∴长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形．
②小丽：设新矩形长和宽为x、y，
则依题意x+y＝14，xy＝24，
即，
利用反比例函数与一次函数l1：y＝﹣x+14来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体，
故答案为：长为12，宽为2；
（2）长为4，宽为3的矩形C的周长为14，面积为12．
设新矩形长和宽为x、y，则依题意，xy＝6，
联立得，
整理得：2x2﹣7x+12＝0，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×12＝﹣47＜0，
∴此方程没有实数根，即长为4，宽为3的矩形C不存在完全倍体．
（3）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k（4+3）﹣x，即7k﹣x，
由题意得：x （7k﹣x）＝12k，
整理得：x2﹣7kx+12k＝0，
Δ＝49k2﹣48k，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍，
∴Δ≥0，即：49k2﹣48k≥0，
解得：k，k≤0（不符合题意），
∴k的取值范围为：k．
22．解：（1）∵A（﹣6，8），
∴AH＝6，OH＝8，
∴OA10，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AB＝OA＝10，AB∥OC，
∴AH＝6，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∴B（4，8），
（2）设直线 AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣6，8），C（10，0）代入得：
，解得，
∴直线 AC的解析式为：yx+5，
（3）连接BM，如图3﹣1中，当0≤t＜5时，
∵对角线AC交y轴于点M，
∴M（0，5），
∴OM＝5，
∴MH＝OH﹣OM＝8﹣5＝3，
∴S PB MH（10﹣2t）×3＝15﹣3t，
如图3﹣2中，当5＜t≤10时，
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠OCM＝∠BCM，
∵CO＝CB，CM＝CM，
∴△OCM≌△BCM（SAS），
∴∠MOC＝∠MBC＝90°，
∴MB⊥BC，
∴S BP MB（2t﹣10）×5＝5t﹣25，
∴综上所述，，
（4）存在点N，如图4所示：
当t＝8时，点P在BC上运动，
∴S△PBM＝5t﹣25＝5×8﹣25＝15，
∵S△NBM＝S△PBM，
∴S△NBM＝15，
过点N作NP⊥x轴交MB于点Q，
设直线 MB的解析式为y＝k1x+b1，把M（0，5），B（4，8）代入得：
，解得：，
∴直线 MB的解析式为：yx+5，
设N（n，n+5），Q（n，n+5），
∴NQ＝|（n+5）﹣（n+5）|＝|n|，
∴S△NBM|n|×（8﹣0）＝15，
解得：n＝±3，
∴N（3，）或（﹣3，）．
23．解：【尝试】（1）将点A（1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx+3中，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）数量关系：DE＝2CD，理由如下：
过点P作PH⊥x轴于H，设 P（t，t2﹣4t+3），
∵△PAH∽△DAO，
∴，
∴，
∵△PBH∽△EBO，
∴，
∴DE＝OE﹣OD＝3t﹣3﹣（t﹣3）＝2t，
CD＝OC+OD＝3+（t﹣3）＝1，
∴DE＝2CD；
【探究】数量关系成立，理由如下：
设经过上述A、B两点的抛物线为：y＝m（x2﹣4x+3），则OC＝3m，
∴，，
∴DE＝OE﹣OD＝3mt﹣3m﹣（mt﹣3m）＝2mt，
CD＝OC+OD＝3m+（mt﹣3m）＝mt，
∴DE＝2CD；
【拓展】设抛物线的解析式为y＝n（x﹣a）（x﹣b），则OC＝abn，
∴OD＝an（t﹣b），OE＝bn（t﹣a），
∴DE＝OE﹣OD＝bn（t﹣a）﹣an（t﹣b）＝（b﹣a）nt，
CD＝OC+OD＝abn+an（t﹣b）＝ant，
∴DECD，
故答案为：DECD．

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