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2025-2026学年九年级下学期三月学情调查数学试题
一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列各选项中，是无理数的是（　　）
A．3.14 B．0 C． D．﹣2025
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．B．C． D．
3．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（　　）
A．150° B．155° C．130° D．80°
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．a5+a5＝2a5
C．（﹣a2）3＝a6 D．（﹣ab2）5＝a5b10
5．关于一次函数y＝2x的图象，下列说法正确的是（　　）
A．经过点（1，1） B．在第二、四象限
C．关于x轴成轴对称 D．y随x的增大而增大
6．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CB＝5，CD＝6.5，DE⊥CB于点E，则DE的长是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．6.5
7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E是AB边上一动点（不与A、B重合），且∠EDF＝∠A，点F在边BC上．下列结论：①AE＝BF；②∠ADE＝∠BEF；③△DEF是等边三角形；④△BEF的周长与点E的位置无关．其中正确的结论有（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
8．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0）．将二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3，则n的值是（　　）
A．或 B．或 C．1 D．
二．填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解：x2y﹣4y＝ 　 　 ．
10．五角星是常见的美丽图案，我国国旗上就有五个五角星，五角星图案中包含着许多数学知识，标准的五角星每个顶角都是36°．如图是活动课上同学们按如下步骤，沿虚线通过剪纸剪出的一个五角星，要得到一个标准的五角星，∠α应为　 　 度．
11．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为a的正方形，其中a2＝8，小等腰直角三角板M的面积为，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和M板的位置如图2所示，则图2的面积为 　 　 ．
12．我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系xOy中，双曲线与直线y＝3x交于第一象限内的点A，点P在射线OA上，分别过点P作x轴、y轴的垂线，交双曲线于点B、C，将线段PB、PC和函数的图象在B、C之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域W．如果区域W内恰有8个整点，那么点P的横坐标x的取值范围是　 　 ．
13．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 　 　 ．
三．解答题（共13小题，共计81分，解答题应写出过程）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）先化简，再求值：，其中．
17．（5分）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，用无刻度直尺作图．
（1）画△A'B'C'，使它与△ABC关于直线l对称；
（2）在直线l上作点P，使AP+CP的值最小；
（3）在直线l上找一点Q，使点Q到AB、BC两边的距离相等．
18．（5分）如图，∠A＝∠D，点E，F在BC上，AF∥DE，且BE＝CF．判断AB与CD的数量关系和位置关系，并证明．
19．（5分）某公司销售A、B两种设备，第一季度共卖出2000台，第二季度卖出A种设备的数量比第一季度多6%，卖出B种设备的数量比第一季度多5%，两种设备的总销售量增加了110台，第一季度两种设备各卖了多少台？
20．（5分）广州的白云山、越秀山、莲花山和大夫山被誉为广州四大名山，不仅风景秀美而且有丰厚的历史底蕴，是广州市民喜欢游玩之地．小明、小丽两家人决定周末去游玩，并用抽卡片的方式从白云山、越秀山、莲花山和大夫山（分别记为A、B、C、D）选出一个景点．他们准备了4张不透明的卡片，正面分别写上A、B、C和D．卡片除正面字母不同外其余均相同．
（1）小明随机抽取一张卡片，则抽取到A卡片的概率是 　 　 ；
（2）小明随机抽取一张卡片后，放回洗匀，小丽再随机抽取一张卡片，请用列或画树状图的方法求他们都抽取到同一地点的概率．
21．（6分）如图，在综合实践课上，李玲要测量一棵与地面垂直的大树AB的高度，她从大树底部点B处水平前进12m到达斜坡CD的底部点C处，然后沿斜坡CD前行6m到达最佳测量点D处，在点D处测得树顶A的仰角为30°，DE⊥AB于点E，已知斜坡的坡角为45°，且点A，B，C，D，E在同一平面内，求大树AB的高度．（参考数据：1.41，，2.45）
22．（7分）为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、读好书、好读书，学校决定购买若干甲、乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别为3000元和2500元，学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共60台．
（1）若恰好支出170000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
（2）若购买乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的2倍，问甲、乙两种品牌的平板电脑各购买多少台时花费最少？最少花费是多少元？
23．（7分）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7
甲种西瓜（分） 75 85 86 88 90 96 96
乙种西瓜（分） 80 83 87 90 90 92 94
甲、乙两种西瓜得分统计表
平均数 中位数 众数
甲种西瓜 a b 96
乙种西瓜 88 90 c
（1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（2）从离散程度看，　 　 种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，连接AD并延长至点C，使∠DBC＝∠DAB，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式．
25．（8分）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴，以过点O作垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求OE＝12m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数解析式；
（2）现需在这一隧道内壁的同样高度的A、B处安装上照明灯，如图所示，若要求A、B两个照明灯之间的水平距离为8m，求出此时A、B两个照明灯距离地面的高度．
26．（10分）【综合与实践】如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，F分别在边BC，CD上，连结AE，BF相交于点P，AE⊥BF．若BE＝1，则CF＝　 　 ；
【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题：
如图②，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，F分别在边BC，CD上，连结AE，BF相交于点P，∠D＝∠EPF．求证：．
小明发现，以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点Q，连结AQ．通过等腰三角形和平行四边形的性质可证明△AQE∽△BCF．再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：
证明：如图③，以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点Q，连结AQ．
∵AB＝AQ，
∴∠ABC＝∠AQB．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D．
∵∠ABC+∠C＝180°，∠D+∠C＝180°，
∴∠AQB+∠C＝180°．
∵∠AQB+∠AQE＝180°，
∴∠AQE＝∠C．
请你补全余下的证明过程．
【拓展迁移】如图④，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝5，CD＝4，点E在边BC上，F为CD的中点，连结AE，BF相交于点P．若∠D＝∠EPF＝60°，则AE的长为　 　 ．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C B D C C A
二．填空题
9．y（x+2）（x﹣2）．
10．54．
11．7．
12．2＜x．
13．2．
三．解答题
14．解：原式＝3﹣22
＝5﹣22
＝5．
15．解：由2x+1＞3得：x＞1，
由4x﹣1＜7得：x＜2，
则不等式组的解集为1＜x＜2．
16．解：
，
将代入得．
17．解：（1）与△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，如图1即为所求；
；
（2）如图2，点P即为所求；
；
（3）到AB、BC两边的距离相等的点Q，如图3即为所求．
．
18．解：AB＝CD，AB∥CD，
证明：∵点E，F在BC上，且BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
∴BF＝CE，
∵AF∥DE，
∴∠AFC＝∠DEB，
∴180°﹣∠AFC＝180°﹣∠DEB，
∴∠AFB＝∠DEC，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝CD，∠B＝∠C，
∴AB∥CD．
19．解：设第一季度A种设备卖了x台，B种设备卖了y台，则第二季度A种设备多卖了6%x台，B种设备多卖了5%y台，
根据题意得：，
解得：．
答：第一季度A种设备卖了1000台，B种设备卖了1000台．
20．解：（1）小明抽到A卡片的概率是；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中小明与小丽抽到同一卡片的结果数为4，
所以小明与小丽抽到同一地点的概率．
21．解：由题意可知：BC＝12m，CD＝6m，∠ADE＝30°，
如图：过点D作DF⊥BC，垂足为F，连接AC，
∵斜坡的坡角为45°，
∴CF＝DFCD6＝3（m），
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴BE＝DF＝3（m），DE＝BF＝BC+CF＝（12+3）m，
∵∠ADE＝30°，
∴AE＝DE tan30°＝（12+3）（4）m，
∴AB＝AE+BE＝434×1.73+2.45+3×1.41＝13.6（m），
∴大树AB的高度为13.6m．
22．解：（1）设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了y台．
则，
解得，
答：甲种品牌的电脑购买了40台，乙种品牌的电脑购买了20台；
（2）设甲种品牌的电脑购买了m台，乙种品牌的电脑购买了（60﹣m）台，
由题，60﹣m≤2m，
解得m≥20；
设费用为w，则w＝3000m+2500（60﹣m）＝500m+150000，
∵500＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝20时，w最少，此时w＝500m+150000＝160000，
∴甲种品牌的电脑购买20台，乙种品牌的电脑购买40台最省钱，最少费用为160000元．
23．解：（1）a88，
将甲种西瓜得分重新排列为：75，85，86，88，90，96，96，
其中位数b＝88，
乙种西瓜得分的众数c＝90，
故答案为：88，88，90；
（2）∵s甲2[（75﹣88）2+（85﹣88）2+（86﹣88）2+（88﹣88）2+（90﹣88）2+（96﹣88）2+（96﹣88）2]，
s乙2[（80﹣88）2+（83﹣88）2+（87﹣88）2+（90﹣88）2+（90﹣88）2+（92﹣88）2+（94﹣88）2]＝21.4，
s甲2＞s乙2，
∴乙种西瓜的得分较稳定，
故答案为：乙；
（3）甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．
乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高．
24．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵∠DBC＝∠DAB，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OD，OE，AE，BF，
∵∠PEA＝∠PBF，∠P＝∠P，
∴△PAE∽△PFB，
∴，
∴PE PF＝PA PB，
∵DE⊥AB，且AB为⊙O的直径，
∴，
∵，
∴∠BOE＝∠DFE，
∵∠PFG+∠DFE＝180°，∠POE+∠BOE＝180°，
∴∠POE＝∠PFG，
∵∠P＝∠P，
∴△PEO∽△PGF，
∴，
∴PE PF＝PO PG，
∴PA PB＝PO PG，
设AG＝m，则PG＝x+m，
∴x（x+2）＝（x+1）（x+m），
∴，
∴．
25．解：（1）∵OE＝12m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m，
∴抛物线的顶点P（6，9），
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+9，
把（0，0）代入，得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵A、B距离地面的高度相同，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称．
如图，过点B作y轴的垂线BQ，交y轴于点Q，交抛物线的对称轴于点F，则BF经过点A．
由（1）知，抛物线的对称轴为x＝6，则FQ＝6．
∵AB＝8，
则BF＝AF＝4，
∴AQ＝FQ﹣AF＝2，BQ＝QF+BF＝10，
∴A点的横坐标为2，B点的横坐标为10，
令x＝2，代入抛物线的解析式，
得y＝5，
∴此时A、B两个照明灯距离地面的高度为5m．
26．【综合与实践】解：∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF＝90°．
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝AD＝5，
∴∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABE＝∠C＝90°，
∴Rt△ABE∽Rt△BCF，
∴，
∵BE＝1，
∴CF．
故答案为：；
【类比探究】证明：以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点Q，连结AQ，如图，
则AB＝AQ，
∴∠ABC＝∠AQB．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D．
∵∠ABC+∠C＝180°，∠D+∠C＝180°，
∴∠AQB+∠C＝180°．
∵∠AQB+∠AQE＝180°，
∴∠AQE＝∠C．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠EPF＝∠D，
∴∠EPF+∠C＝180°．
∵∠EPF+∠PEC+∠C+∠CFP＝360°，
∴∠PEC+∠CFP＝180°，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PEB＝∠CFP．
∴△AQE∽△BCF，
∴．
∵AB＝AQ，
∴；
【拓展迁移】解：过点C作CG⊥AD于点G，过点BH⊥AD于点H，过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M，延长BF，交AD的延长线于点Q，如图，
∵∠D＝60°，CG⊥AD，
∴GDCD＝2，CGCD＝2，
∵AD∥BC，CG⊥AD，BH⊥AD，
∴四边形BCGH为矩形，
∴GH＝BC＝5，BH＝CG＝2，
∴AH＝AD﹣GD﹣GH＝1，
∴AB．
∵F为CD的中点，
∴CF＝DF＝2，
∵AD∥BC，
∴∠FBM＝∠Q，∠FCM＝∠D＝60°，
∴CMCF＝1，FMCF，
∴BM＝BC+CM＝6，
∴BF．
在△BFC和△QFD中，
，
∴△BFC≌△QFD（AAS），
∴BF＝QF，BC＝DQ＝5，
∴AQ＝AD+DQ＝13
∵∠D＝∠EPF，
∴∠QDF＝∠QPA．
∵∠Q＝∠Q，
∴△QDF∽△QPA，
∴，
∴，
∴QP，
∴BP＝BQ﹣QP＝2QF﹣PQ，
∵AD∥BC，
∴△BPE∽△QPA，
∴，
∴BE．
过点A作AN⊥CB，交CB的延长线于点N，则四边形ANBH为矩形，
∴BN＝AH＝1，AN﹣BH＝2，
∴EN＝BN+BE，
∴AE．

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